Chapitres de maths en Terminale D

Cours sur les nombres complexes et géométrie en Terminale D

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale D

Vous trouverez ci-dessous un cours de maths sur les nombres complexes proposé aux élèves de terminale D.

1. Ecriture algébrique et trigonométrique des complexes en terminale D

Le corps des nombres complexes $\mathbb{C}$ peut être représenté par un plan. On parle du plan complexe. Tout nombre complexe d’affixe $z$ sera alors représenté par ses coordonnées dans une base orthonormée du plan. On distingue dès lors deux principaux systèmes de coordonnées :

– les coordonnées cartésiennes;

– les coordonnées polaires.

Coordonnées cartésiennes et écriture algébrique

Soit $(O,\overrightarrow{u_{x}},\overrightarrow{u_{y}})$ un repère orthonormé du plan. Ce repère est dit cartésien si les vecteurs de la base $\overrightarrow{u_{x}}$ et $\overrightarrow{u_{y}}$ sont fixes. Dans un tel repère, tout point $M$ d’affixe $z \in \mathbb{C}$ est déterminé par le couple de réels $(x,y)$ tels que :

$\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{u_{x}}+y.\overrightarrow{u_{y}} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}$

Les réels $(x,y)$ sont les coordonnées cartésiennes du point $M$ dans la base $(\overrightarrow{u_{x}},\overrightarrow{u_{y}})$ . Dans le vocabulaire des nombres complexes, $x$ est appelé partie réelle et $y$ partie imaginaire. Ces coordonnées permettent d’écrire l’écriture algébrique du nombre complexe $z$ :

$z = x + i.y = \Re(z) + i. \Im(z)$

Coordonnées polaires et écriture trigonométrique ou exponentielle

Pour introduire les coordonnées polaires, il convient tout d’abord de tracer le cercle trigonométrique et de placer un point M quelconque sur ce cercle. On définit alors un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{u_{r}},\overrightarrow{u_{\theta}})$ tel qu’indiqué sur la figure ci-dessous :

– le vecteur radial $\overrightarrow{u_{r}}$ est un vecteur unitaire dirigé suivant le vecteur $\overrightarrow{OM}$ ; il suit le déplacement du point M;

– le vecteur orthoradial $\overrightarrow{u_{\theta}}$ est un vecteur unitaire orthogonal au vecteur $\overrightarrow{u_{r}}$ , avec un angle de $\frac{\pi}{2}$ dans le sens trigonométrique (anti-horaire).

Dans un tel repère, le point M d’affixe $z \in \mathbb{C}$ est décrit par le couple de réels $(r,\theta)$ , avec $r \geq 0$ et $\theta \in \mathbb{R}$ , tels que :

$\overrightarrow{OM} = r. \overrightarrow{u_{r}}$

Dans l’expression ci-dessus, la variable $\theta$ n’apparaît pas explicitement. Cependant, elle est bien présente dans le vecteur $\overrightarrow{u_{r}}$ , dont l’expression dans la base cartésienne $(\overrightarrow{u_{x}},\overrightarrow{u_{y}})$ est donnée par:

$\overrightarrow{u_{r}} = \cos(\theta).\overrightarrow{u_{x}} + \sin(\theta).\overrightarrow{u_{y}} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \\ \end{pmatrix}$

Grâce aux coordonnées polaires $(r,\theta)$ , nous pouvons écrire la forme trigonométrique du complexe $z$ :

$z = r \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right)$

Le nombre $r \geq 0$ est le module de $z$ , noté $\vert z \vert$ , et le réel $\theta$ est appelé l’argument de $z$ . Nous pouvons donc écrire:

$r = \vert z \vert = \left \| \overrightarrow{OM} \right \|$

$\theta = (\overrightarrow{u_{x}},\overrightarrow{OM})$ $[2\pi]$

Nous pouvons dès lors introduire la notation exponentielle complexe, qui s’avérera très utile par la suite :

$e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$

On obtient ainsi la forme exponentielle du nombre complexe $z$ :

$z = r e^{i \theta} = \vert z \vert e^{i \theta}$

La figure ci-dessous représente le cercle trigonométrique avec les angles remarquables.

Liens entre les coordonnées cartésiennes et polaires : module et argument

Il est très facile de passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires, et vice-versa. En effet, si l’on observe la figure précédente, un théorème de Pythagore et les relations de trigonométrie nous donnent :

$\left \| \overrightarrow{OM} \right \| = \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r = \vert z \vert$

$\cos(\theta) = \dfrac{x}{r}$ , si $r > 0$

$\sin(\theta) = \dfrac{y}{r}$ , si $r > 0$

$\tan(\theta) = \dfrac{y}{x}}$ , si $x > 0$

On peut donc aisément passer des coordonnées $(x,y)$ aux coordonnées $(r,\theta)$ .

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2 – Ensemble des nombres complexes en terminale D

L’ensemble des nombres complexes peut être noté :

$\mathbb{C} = \left \{ x + i.y$ , $(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \right\}$

L’ensemble des complexes $\mathbb{C}$ contient donc l’ensemble des réels $\mathbb{R}$ . Les lois d’addition et de multiplication sont étendues à $\mathbb{C}$ de manière identique.

ATTENTION : il n’y a pas de relation d’ordre sur $\mathbb{C}$ , autrement dit il n’est pas possible d’affirmer qu’un nombre complexe $z_{1}$ est inférieur ou supérieur à un nombre $z_{2}$ . On pourra seulement écrire :

$\vert z_{1} \vert \leq \vert z_{2} \vert$ ou $\vert z_{1} \vert \geq \vert z_{2} \vert$

Le nombre $i$ indiqué plus haut est appelé nombre imaginaire pur. Il est défini par l’équation : $\boxed{i^{2} = -1}$

Définition : Conjugué d’un complexe

Soit $z \in \mathbb{C}$ , dont l’écriture algébrique est $z = x + i.y$ , avec $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ .

Le complexe conjugué de $z$ , noté $\overline{z}$ , est défini par:

$\overline{z} = x - i.y$

Propriétés : soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes :

$z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, autrement dit ssi $z = \overline{z}$ ;

$z$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle, autrement dit ssi $z = - \overline{z}$ ;

Les points d’affixes $z$ et $\overline{z}$ sont symétriques par rapport à l’axe des réels (abscisses);

$z + \overline{z} = 2 \Re(z)$ ;

$z - \overline{z} = 2i \Im(z)$ ;

$\overline{\overline{z}} = z$ ;

$\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$ ;

$\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$ ;

Si $z \neq 0$ , alors $\overline{\dfrac{1}{z}} = \dfrac{1}{\overline{z}}$ ;

Si $z' \neq 0$ , alors $\overline{\left( \dfrac{z}{z'} \right)} = \dfrac{ \overline{z} }{ \overline{z'} }$ ;

Si $n \in \mathbb{N}^{*}$ , alors $\overline{ z^{n} } = \left( \overline{z} \right)^{n}$ .

Argument d’un nombre complexe non nul

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. On notera $arg(z)$ l’argument de $z$ . Nous avons alors :

$z \in \mathbb{R}$ ssi $arg(z) = 0$ $[\pi]$ ;

$z$ est imaginaire pur ssi $arg(z) = \dfrac{\pi}{2}$ $[\pi]$ ;

$arg \left( z \times z' \right) = arg(z) + arg(z')$ $[2\pi]$ ;

$arg \left( \dfrac{1}{z} \right) = - arg(z)$ $[2\pi]$ ;

$arg \left( \dfrac{z}{z'} \right) = arg(z) - arg(z')$ $[2\pi]$ .

Module d’un nombre complexe

Soit $z \in \mathbb{C}$ . On rappelle que son module est défini par :

$\vert z \vert = \sqrt{ \Re(z)^{2} + \Im(z)^{2} }$

Soient $z$ et $z'$ deux complexes :

$\vert z \vert \geq 0$ ;

$\vert z \vert = 0$ si et seulement si $z = 0$ ;

$\vert z + z' \vert \leq \vert z \vert + \vert z' \vert$ : IMPORTANT : on parle d’inégalité triangulaire;

$\vert z \times z' \vert = \vert z \vert \times \vert z' \vert$ ;

Si $z' \neq 0$ , alors $\left \vert \dfrac{z}{z'} \right \vert = \dfrac{ \vert z \vert }{ \vert z' \vert }$ ;

$z \times \overline{z} = \vert z \vert^{2}$ ;

Si $n \in \mathbb{N}^{*}$ , $\left \vert z^{n} \right \vert = \vert z \vert^{n}$ .

Formules d’Euler : liens entre fonctions trigonométriques et exponentielle complexe

Nous avons vu plus haut qu’un nombre complexe $z \in \mathbb{C}$ peut s’écrire sous les formes équivalentes:

$z = \vert z \vert \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right)$

$z = \vert z \vert e^{i \theta}$

Ainsi, on remarque tout de suite que :

$\cos(\theta) = \Re \left( e^{i\theta} \right)$

$\sin(\theta) = \Im \left( e^{i \theta} \right)$

Par ailleurs, en exploitant les relations $z + \overline{z} = 2 \Re(z)$ et $z - \overline{z} = 2i \Im(z)$ , nous obtenons les formules d’Euler :

$\cos(\theta) = \displaystyle{\dfrac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2}}$

$\sin(\theta) = \displaystyle{\dfrac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i}}$

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3 – Equations du second degré dans $\mathbb{C}$

La résolution des équations du second degré diffère quelque peu lorsque l’inconnue $z$ est complexe.

Cas n°1 : équation $z^{2} = \alpha$ , avec $\alpha \in \mathbb{R}$

Il faut ici distinguer 2 cas de figure suivant le signe de la constante $\alpha$ .

cas 1.1 : $\alpha \geq 0$

Si $\alpha = 0$ , alors $z^{2} = 0 \Longrightarrow \vert z \vert^{2} = 0 \Longrightarrow z = 0$ ;

Si $\alpha > 0$ , alors $z^{2} = \alpha \Longrightarrow \left( \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right)^{2} = 1$ .

Une égalité entre 2 nombres complexes contient toujours 2 informations : le module et l’argument. Nous avons ainsi :

$\left \vert \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right \vert^{2} = 1$

$arg \left( \left( \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right)^{2} \right)= 2 arg \left( \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right)$

$= 2 \left( arg(z) - arg \left( \sqrt{\alpha} \right) \right) = arg(1)$

On en déduit tout d’abord que $\vert z \vert = \sqrt{\alpha}$ .

De plus, l’argument d’un nombre réel strictement positif vaut 0 modulo $2\pi$ (attention, il vaut $\pi$ pour un nombre réel négatif).

Ainsi, l’équation sur les arguments nous donne:

$2 arg(z) = 0$ $[2\pi] = 2k \pi$ , $k \in \mathbb{Z}$

$arg(z) = k \pi$ , $k \in \mathbb{Z}$

Finalement, le nombre $z$ s’avère être un nombre réel, dont le module vaut $\sqrt{\alpha}$ , et l’argument $0$ ou $\pi$ (module $2\pi$ ).

Autrement dit :

$z \in \left\{ -\sqrt{\alpha}, \sqrt{\alpha} \right\}$

cas 1.2 : $\alpha < 0$

Dans le cas réel, l’équation $x^{2} = \alpha$ n’admet aucune solution. Mais dans $\mathbb{C}$ , les choses sont différentes !

A nouveau, le module et l’argument nous fournissement deux équations :

$\vert z \vert ^{2} = \vert \alpha \vert \Longrightarrow \vert z \vert = \sqrt{ \vert \alpha \vert }$

$arg \left( z^{2} \right) = 2 arg(z) = arg (\alpha)$

= $\pi + 2k \pi\text{, }k \in \mathbb{Z} \Longrightarrow arg(z) = \dfrac{\pi}{2} + k \pi\text{, }k \in \mathbb{Z}$

Ainsi, $z$ est un nombre imaginaire pur, de module $\sqrt{ \vert \alpha \vert }$ , et d’argument $\dfrac{\pi}{2}$ $[\pi]$ .

Finalement :

$z \in \left \{ -i \sqrt{ \vert \alpha \vert }, i \sqrt{ \vert \alpha \vert } \right \}$

Cas n°2 : équation $az^{2} + bz + c = 0$ , avec $z \in \mathbb{C}, a \in \mathbb{R}^{*}, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}$

A l’instar du cas réel, on commence par calculer le discriminant du polynôme :

$\Delta = b^{2} - 4 ac$

Comme les coefficients $a$ , $b$ et $c$ sont réels, nous pouvons étudier le signe de $\Delta$ :

Si $\Delta > 0$ : le polynôme du 2nd degré admet deux racines réelles distinctes :

$z_{1} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \in \mathbb{R}$

$z_{2} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \in \mathbb{R}$

Si $\Delta = 0$ : le polynôme admet une racine réelle double : $z_{0} = - \frac{b}{2a}$ ;

Si $\Delta < 0$ : le polynôme admet 2 racines complexes conjuguées :

$z_{1} = \dfrac{-b - i \sqrt{ \vert \Delta \vert }}{2a} \in \mathbb{C}$

$z_{2} = \dfrac{-b + i \sqrt{ \vert \Delta \vert }}{2a} = \overline{z_{1}}$

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