Chapitres de maths en Terminale D

Exercices et corrigés sur les limites, continuité et dérivabilité en Terminale D

Vous trouverez ci-dessous des exercices corrigés gratuits sur les nombres complexes et géométrie pour les élèves préparant le bac D.

QCM sur les limites, continuité et dérivabilité en terminale D

Question 1 :

Soient $f$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x^4}$ et $f(0)=0$ et $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=f(-x)$

Sur $\mathbb{R}$ , $f$ est

a. constante

b. strictement décroissante

c. strictement croissante

d. aucune réponse n’est exacte

Question 2 :

Le plus grand ensemble sur lequel $g(x)\geqslant0$ est

a. $\mathbb{R}$

b. $\mathbb{R}^-$

c. $\mathbb{R}^+$

d. $\mathbb{R}^*$

Question 3 :

Sur $\mathbb{R}$ , $g$ est

a. constante

b. strictement décroissante

c. strictement croissante

d. non monotonne

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Corrigé du QCM de terminale D les nombres complexes et géométrie

Question 1 :

On sait que, pour tout nombre $x$ , $x^4=(x^2)^2\geqslant0$

Donc $1+x^4\geqslant1>0$

Donc $f'(x) > 0$ sur $\mathbb{R}$

Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

Question 2 :

On sait que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et que $f(0) = 0$

Donc, pour tout $x \geqslant 0$ , $f(x)\geqslant 0$

Or, pour tout $x \leqslant 0$ , $- x \geqslant 0$

Donc, pour tout $x \leqslant 0$ , $f(-x) \geqslant 0$ (puisque $- x \geqslant 0$ )

Donc $g(x) \geqslant 0$ sur $\mathbb{R}^-$

Question 3 :

On sait que ; $g'(x)=-f'(-x)$

Or $f'(x) > 0$ sur $\mathbb{R}$

Donc $f'(-x) > 0$ sur $\mathbb{R}$

Donc $- f'(-x) < 0$ sur $\mathbb{R}$

Donc $g'(x) < 0$ sur $\mathbb{R}$

Donc $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$

Exercices sur les limites, continuité et dérivabilité en terminale D

Exercice sur asymptote et centre de symétrie

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}-\{1\}$ par : $f(x)=\displaystyle{\frac{x^{2}+x-1}{x-1}}$ .

Soit $C$ sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

Déterminer les réels $a$ , $b$ et $c$ tels que :

$\forall x \in \mathbb{R}-\{1\}$ , $f(x)=ax+b+\frac{c}{x-1}$

Exercice sur les limites terminale D

Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition, puis déterminer la dérivée $f'$ de $f$ .

Dresser le tableau de variations de $f$ .

Corrigé des exercices sur les limites et dérivabilité terminale D

Corrigé de l’exercice sur asymptote et centre de symétrie

Partons de la relation proposée

$\forall x \in \mathbb{R}-\{1\}$ , $ax+b+\frac{c}{x-1}$

$= \displaystyle {\frac{ax(x-1)+b(x-1)+c}{x-1}}$

$= \displaystyle {\frac{ax^{2}+(b-a)x+(c-b)}{x-1}}$

Ainsi, $\forall x \in \mathbb{R}-\{1\}$ , $f(x) = ax+b+\dfrac{c}{x-1}$

$\Longleftrightarrow x^{2}+x-1 = ax^{2}+(b-a)x+(c-b)$

Or, deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux.

Ainsi, par identification, nous avons affirmer que les nombres $a$ , $b$ et $c$ doivent satisfaire :

$a=1$ , $b-a=1$ et $c-b=-1$

$a=1$ , $b=2$ et $c=1}$

Ainsi, $\forall x \in \mathbb{R}-\{1\}$ , $f(x)=x+2+\dfrac{1}{x-1}$

Corrigé de l’exercice sur les limites en terminale D

Par quotient et somme de limites, nous avons les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition et à gauche et à droite en $1$ :

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$

$\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} f(x) = -\infty$

$\lim\limits_{x \rightarrow 1\text{, }x<1} f(x) = -\infty$

$\lim\limits_{x \rightarrow 1\text{, }x>1} f(x) = +\infty$

Déterminons à présent la dérivée $f'$ de la fonction $f$

$\forall x \in \mathbb{R} - \{1\}$ , $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x-1)^{2}}$

$=\frac{(x-1)^{2}-1}{(x-1)^{2}}$

$=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}$

$=\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}$

Le dénominateur étant ici toujours strictement positif, le signe de la dérivée est donc donné par le signe du numérateur : $x(x-2)$ .

On en déduit donc que la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty,0]$ , décroissante sur $[0,2]$ puis à nouveau croissante sur $[2,+\infty[$ .

La dérivée $f'$ s’annule en $x=0$ et en $x=2$ . Pour compléter le tableau de variations de la fonction, il convient de calculer ses limites aux bornes de son domaine de définition ainsi que ses valeurs particulières :