Chapitres de maths en Terminale S2

Exercices et corrigés sur la fonction exponentielle en Terminale S2

Beaucoup d’exercices sont classiques et permettent de progresser sur les fonctions exponentielles en terminale S2. Retrouvez ci-dessous quelques exercices corrigés qui vous seront utiles dans votre préparation du bac S2.

QCM sur la fonction exponentielle en terminale S2

Question 1 :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x)=2e^{-3X}-4x+6\cos(0,5x)$ , $f'$ sa fonction dérivée et $F$ sa primitive s’annulant en 0.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=$

a. $-\infty$

b. $+\infty$

c. n’existe pas

d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte.

Question 2 :

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=$

a. $-\infty$

b. $+\infty$

c. n’existe pas

d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte.

Question 3 :

Le nombre de solution(s) de l’équation $f(x)=0$ est:

a. 0

b. 1

c. 2

d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte.

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Corrigé du QCM de terminale S2 les fonctions exponentielles

Question 1 :

On sait que, pour tout nombre réel $x$ , $-1 \leqslant \cos (x) \leqslant 1$

Donc, pour tout nombre réel $x$ , $-1 \leqslant \cos (0,5x) \leqslant 1 \Leftrightarrow -6 \leqslant 6\cos(0,5x) \leqslant 6$

Donc, pour tout nombre réel $x$ , $-4x -6 \leqslant -4x + 6\cos (0,5x) \leqslant -4x + 6$

Donc, pour tout nombre réel $x$ , $2e^{-3x} - 4x - 6 \leqslant f(x) \leqslant 2e^{-3x} - 4x + 6$

On sait que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}(-3x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(e^{x})=+\infty$

Donc par composition $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{-3x}=+\infty$

De plus, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}(-4x)=+\infty$

Donc, par somme, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}(e^{-3x}+(-4x)-6)=+\infty$

On a, pour tout $x$ , $f(x) \geqslant 2e^{-3x} - 4x - 6$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow}(e^{-3x}+(-4x)-6)=+\infty$

Donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=+\infty$

Question 2 :

On a montré que pour tout nombre réel $x$ , $2e^{-3x} - 4x - 6 \leqslant f(x) \leqslant 2e^{-3x} - 4x + 6$

On sait que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(-3x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}(e^{x})=0$

Donc par composition $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{-3x}=0$

De plus, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}(-4x)=-\infty$

Donc, par somme, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(e^{-3x}+(-4x)+6)=-\infty$

On a, pour tout $x$ , $f(x) \leqslant 2e^{-3x} - 4x + 6$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}2e^{-3x}+( - 4x) + 6=-\infty$

Donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty$

Question 3 :

Il ne faut bien sûr pas chercher à résoudre directement l’équation!

On a montré que $f'(x)=-6e^{-3x}-4-3\sin(0,5x)$

On sait que pour tout nombre réel $x$ , $-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$

Donc pour tout nombre réel $x$ , $-1 \leqslant \sin(0,5x) \leqslant 1$

Donc $-3 \leqslant -3\sin(0,5x) \leqslant 3$

Donc

$-6e^{-3x}-4-3$

$\leqslant -6e^{-3x}-4-3\sin(0,5x)$

$\leqslant-6e^{-3x}-4+3$

Soit $-6e^{-3x}-7\leqslant f'(x)\leqslant-6e^{-3x}-1$

Or, pour tout nombre réel $x$ , $e^x>0$ donc $e^{-3x}>0$ et donc $-6e^{-3x}>0$

Soit $-6e^{-3x}-1<-1<0$

Donc, pour tout nombre réel $x$ , $f'(x)\leqslant-6e^{-3x}-1<0$

Donc, pour tout nombre réel $x$ , $f'(x)<0$

Donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .

De plus, la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ ( somme de fonctions continues sur $\mathbb{R}$ )

Enfin, on a montré que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) =+\infty> 0$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty<0$

Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$ .

Exercices sur les fonctions exponentielles terminale S2

Exercice calculer une limite en terminale S2

Calculer $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle{\frac{e^x+x}{e^x-x^2}}}$

Exercice sur la dérivation

Dériver la fonction f définie sur R par $f(x)$ = $e^{4x+3}$

Corrigé des exercices sur les fonctions logarithme

Corrigé de l’exercice sur le calcul d’une limite

Solution:

$\displaystyle{\frac{e^x+x}{e^x-x^2}}=\displaystyle{\frac{e^x}{e^x}\times\displaystyle{\frac{1+\frac{x}{e^x}}{1-\displaystyle{\frac{x^2}{e^x}}}}}$

$=\displaystyle{\frac{1+\frac{x}{e^x}}{1-\displaystyle{\frac{x^2}{e^x}}}}$

Or $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle{\frac{e^x}{x}}}$ = $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle{\frac{e^x}{x^2}}}$ = $+\infty$

donc

$\displaystyle{\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle{\frac{x}{e^x}}}$ = $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle{\frac{x^2}{e^x}}}$ = $0$

Donc $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow+\infty}\displaystyle{\frac{1+\frac{x}{e^x}}{1-\displaystyle{\frac{x^2}{e^x}}}}}$ = $\displaystyle\frac{1}{1}$