Chapitres de maths en Terminale S2

Résumé de cours sur les suites en Terminale S2

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale S2

Nous vous proposons un résumé de cours de maths sur les suites numériques. Ce résumé est à destination des élèves qui préparent le bac S2.

1. Définitions sur les suites en terminale S2

On appelle suite numérique toute fonction $U$ de l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ dans l’ensemble des réels $\mathbb{R}$ .

Une suite $U$ se note aussi $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou plus simplement $(U_n)$ .

Suite définie par une formule explicite : Ce sont les suites telles que pour tout entier $n$ , $U_n$ est exprimé en fonction de $n$ , donc telles qu’il existe une fonction $f$ telle que pour tout entier $n$ , $U_n = f(n)$ .

Suite définie par une relation de récurrence : $\bullet$ Une suite peut également être définie par son premier terme $U_0$ ou $U_1$ et une formule exprimant $U_{n+1}$ en fonction de $U_n\,$ sous la forme $U_{n + 1} = f(U_n)$ où $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

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2 – Suites arithmétiques en terminale S2

Définition : On dit que la suite $(u_{n})$ est une suite arithmétique si pour tout $n$ ,

$\qquad \quad \boxed{u_{n+1}=u_{n}+r}$ ,

où $r$ est un nombre réel, appelé raison de la suite arithmétique.

Si la suite $(u_n)_ n$ est une suite arithmétique, elle vérifie :

pour tout entier $n$ , $\boxed{u_{n}=u_{0}+ n\, r}$ .

et si $n \geqslant p$ , $u_n = u_p + (n - p) \, r$ .

Elle est définie de façon explicite par la fonction $f : n \mapsto u_0 + n \, r$ .

Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ ,

On peut calculer la somme $\qquad \quad S_n = u_0+u_1+...+u_n$

par la formule :

$\qquad \boxed{S_n = (n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}}$ .

3 – Suites géométriques en terminale S2

Définition :

$(u_{n})_{n \geqslant 0}$ est une suite géométrique s’il existe un réel $q$ tel que pour tout $n$ , $\qquad \qquad u_{n+1}=u_{n} \times q$ .
Le réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.

Si $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ , elle vérifie pour tout entier $n$ , $\qquad \quad \boxed{u_n = u_{0} \times q^{n}}$
et plus généralement
si $k \in \mathbb{N}^*$ et $n \geqslant k$ , $u_n = u_k \, q ^ {n - k}$ .

$q$ est un réel non égal à 1,

$S_n = 1 + q + \cdots + q^n = \displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

et si $q = 1, \, S_n = n + 1$ .

Propriété : terme général d’une suite géométrique

Une suite géométrique $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ vérifie :

$\forall n \geq 0 \text{, }\forall p \geq 0\text{, }\boxed{u_{n}=u_{p} \times q^{n-p}}$ .

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4. Limites en terminale S2

Limite infinie d’une suite :

On dit que la suite $(u_n)$ admet pour limite $+ \infty$ et on écrit

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n = + \infty$ si tout intervalle de la forme $]a, +\infty[$ contient tous les termes de $(u_n)$ à partir d’un certain rang.

De même, on dit que la suite $(u_n)$ admet pour limite $- \infty$ et on écrit

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n = - \infty$ si tout intervalle de la forme $]-\infty, b[$ contient tous les termes de $(u_n)$ à partir d’un certain rang.

Exemples

La suite $(u_n)$ définie par $u_n = n^2$ admet pour limite $+ \infty$ .

La suite $(v_n)$ définie par $v_n = 100-n^3$ admet pour limite $- \infty$ .

Limite finie d’une suite :

Définition

Soit $L$ un réel. On dit que la suite $(u_n)$ admet pour limite $L$ et on écrit $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n = L$

Si tout intervalle de la forme $]a, b[$ avec $a < L < b$ contient tous les termes de $(u_n)$ à partir d’un certain rang.

On dit alors que $(u_n)$ est convergente vers $L$ , ou que $(u_n)$ converge vers $L$

Exemples :

$u_n = \dfrac{1}{n^2}+3$ est convergente vers 3.

Propriété :

Si $(u_n)$ est convergente vers $L$ et convergente vers $L'$ , alors $L=L'$ .

Cette propriété s’appelle l’unicité de la limite.

Définition

Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente.

Exemples :

$(u_n)$ définie par $u_n= (-1)^n$ est divergente

$(u_n)$ définie par $u_n = n$ est divergente (car sa limite est $+ \infty$ qui n’est pas un réel).

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5. Opérations sur les limites et formes indéterminées

Limite d’une somme

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites numériques. On s’intéresse à la limite éventuelle de la suite de terme général $u_n+v_n$

Si $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n = L$ et $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} v_n = L'$ , alors $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n + v_n = L + L'$

Si $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n = + \infty$ et $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} v_n = L'$ , alors $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n + v_n =+ \infty$

Si $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n = - \infty$ et $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} v_n = L'$ , alors $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n + v_n = - \infty$

Si $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n = + \infty$ et $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} v_n = + \infty$ , alors $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n + v_n = +\infty$

Si $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n = - \infty$ et $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} v_n = - \infty$ , alors $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n + v_n = - \infty$

Si $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n = + \infty$ et $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} v_n = - \infty$ , alors on a une forme indéterminée de type $\infty - \infty$

Définition

On dit que l’on a une forme indéterminée lorsque la connaissance des limites respectives de $(u_n)$ et $(v_n)$ ne donne pas assez d’information pour déterminer la limite de $(u_n+v_n)$ . On ne peut pas prévoir la limite éventuelle. Il faut alors lever l’indétermination par une technique spécifique.

Limite d’un produit

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites numériques. On s’intéresse à la limite éventuelle de la suite de terme général $u_n \times v_n$

Si $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n = L$ et $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} v_n = L'$ , alors $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n \times v_n = L \times L'$

Dans les autres cas, la limite d’un produit suit les règles de calcul usuelles, similaires à la règle des signes. Attention cependant aux formes indéterminées :

Si $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n = + \infty$ et $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} v_n = 0$ , alors on a une forme indéterminée de type $\infty \times 0$

Si $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n = - \infty$ et $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} v_n = 0$ , alors on a une forme indéterminée de type $\infty \times 0$

Limite d’un quotient

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites numériques, avec $(v_n)$ qui ne s’annule pas. On s’intéresse à la limite éventuelle de la suite de terme général $\dfrac{u_n}{v_n}$

Si $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n = L$ et $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} v_n = L'$ , et que $L' \neq 0$ , alors $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{L}{L'}$

Dans les autres cas, la limite d’un quotient suit les règles de calcul usuelles, similaires à la règle des signes. Attention cependant aux formes indéterminées :

Si $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} u_n = \pm \infty$ et $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} v_n = \pm \infty$ , alors on a une forme indéterminée de type $\dfrac{\infty}{\infty}$