Programme de maths en PT
Programme de maths en PT officiel : endomorphismes, séries
Programme de maths spé
Programme de prépa PT
Les cours de maths en PT ont un aspect beaucoup moins abstrait et théorique que dans le programme de MP ou le programme de PC. En effet, les mathématiques sont utilisées comme outils de résolution pour les problèmes abordés dans le programme de Sciences de l’Ingénieur de PT et le programme de Physique Chimie de PT.
Les notions vues en PTSI sont développées et introduisent de nouveaux outils, comme les séries par exemple. Les coefficients des écrits de la Banque PT accordent 25% du total des coefficients aux maths.
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Programme de maths prépa PT
Quinze sections officielles réparties entre algèbre, analyse et probabilités, avec les limites fixées par le programme.
| Domaine | Section du programme | Notions clés | Limites fixées par le programme |
|---|---|---|---|
| Algèbre | Compléments d'algèbre linéaire | Produit d'espaces vectoriels, somme et somme directe de sous-espaces, base adaptée, sous-espace stable et endomorphisme induit, matrice par blocs, trace d'une matrice et d'un endomorphisme, hyperplans et systèmes d'équations d'un sous-espace. | Pour une somme de plus de trois sous-espaces, toute caractérisation autre que l'unicité de la décomposition du vecteur nul est exclue. |
| Algèbre | Déterminants | Déterminant d'une matrice carrée, caractérisation par la linéarité et l'antisymétrie sur les colonnes, effet des opérations élémentaires, matrice triangulaire, critère d'inversibilité, déterminant d'un produit et d'une transposée, développement par rapport à une ligne ou une colonne, déterminant d'une famille de vecteurs et d'un endomorphisme. | Formes multilinéaires alternées, groupe symétrique, formules de Cramer et comatrice hors programme. Tout excès de technicité est exclu, l'outil informatique prend le relais. |
| Algèbre | Réduction des endomorphismes et des matrices carrées | Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre, spectre, polynôme caractéristique et multiplicité, diagonalisation et critères associés, calcul des puissances, trigonalisation, trigonalisabilité sur C. | Tout développement sur les polynômes d'endomorphisme est hors programme. Aucune technique de trigonalisation effective n'est exigible. |
| Algèbre | Structure préhilbertienne | Produit scalaire, espace préhilbertien et euclidien, produits scalaires intégraux, norme et distance associées, inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité, orthogonalité, algorithme de Gram-Schmidt, bases orthonormées, projection orthogonale, distance d'un vecteur à un sous-espace et recherche de minimum. | La projection orthogonale se limite aux sous-espaces de dimension finie. Espaces vectoriels normés et topologie générale hors programme. |
| Algèbre | Isométries d'un espace euclidien | Isométrie vectorielle, symétries orthogonales et réflexions, groupe orthogonal, matrices orthogonales, isométries directes et indirectes, rotations d'un plan orienté, classification en dimension 2, rotations et réflexions en dimension 3 avec axe et angle, matrices symétriques réelles, théorème spectral. | La notion d'endomorphisme symétrique est hors programme. La définition axiomatique des groupes n'est pas exigible. Démonstration du théorème spectral hors programme. |
| Analyse | Fonctions vectorielles et courbes paramétrées | Limite, continuité et dérivation d'une fonction à valeurs dans R2 ou R3, interprétation cinématique, formule de Leibniz, Taylor-Young, tangente et point régulier, étude locale et branches infinies, longueur et abscisse curviligne, repère de Frenet, courbure et formules de Frenet, rayon et cercle de courbure, développée, enveloppe d'une famille de droites. | Courbes définies par une équation polaire hors programme. La formule donnant la courbure à partir du déterminant de la vitesse et de l'accélération est hors programme. |
| Analyse | Séries numériques | Comparaison série-intégrale, théorème des séries alternées et encadrement de la somme, convergence absolue, comparaison par domination et par équivalence, règle de d'Alembert, produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. | Le critère de Cauchy est hors programme. Les séries semi-convergentes se limitent aux exemples fournis par les séries alternées. |
| Analyse | Séries entières | Lemme d'Abel, rayon de convergence, disque et intervalle ouverts de convergence, comparaison des rayons, somme et produit de Cauchy, continuité de la somme, primitivation et dérivation terme à terme, série de Taylor, unicité du développement, développements usuels, série géométrique et exponentielle complexe. | Les études au bord de l'intervalle ouvert de convergence ne sont pas un attendu du programme. |
| Analyse | Intégration sur un intervalle quelconque | Intégrale généralisée, convergence et divergence, intégration par parties et changement de variable sur un intervalle quelconque, convergence absolue et fonction intégrable, intégrales de Riemann et fonctions de référence, intégration terme à terme, continuité et dérivation d'une intégrale à paramètre. | L'étude des intégrales semi-convergentes n'est pas un objectif du programme. Les hypothèses de régularité ne sont pas à rappeler dans les calculs concrets. |
| Analyse | Équations différentielles scalaires d'ordre 2 | Équation à coefficients continus, équation homogène associée, théorème de Cauchy linéaire, structure de l'ensemble des solutions, principe de superposition, recherche de solutions développables en série entière, résolution à partir d'une solution de l'équation homogène ne s'annulant pas. | L'étude se limite aux équations linéaires scalaires d'ordre 2. Les systèmes différentiels ne sont pas au programme de PT. |
| Analyse | Fonctions de deux ou trois variables | Norme euclidienne, boules, parties ouvertes et fermées, limite et continuité, théorème des bornes atteintes, dérivées partielles d'ordre 1, fonction de classe C1, gradient, dérivée selon un vecteur, règle de la chaîne, dérivées partielles d'ordre 2 et théorème de Schwarz, matrice hessienne, points critiques et nature d'un extremum, extremums globaux sur une partie fermée bornée. | La notion de différentielle et celle de fonction différentiable sont hors programme. L'étude de la continuité n'est pas un objectif en soi. |
| Analyse | Courbes implicites du plan et coniques | Courbe définie par une équation cartésienne, lignes de niveau, point régulier, gradient normal à la tangente, coniques définies par foyer, directrice et excentricité, équation réduite et classification, axes, centre, asymptotes d'une hyperbole, réduction d'une matrice symétrique d'ordre 2, paramétrage des ellipses et des hyperboles. | Les formules de calcul des éléments géométriques ne sont pas exigibles et doivent être fournies au besoin. |
| Analyse | Surfaces | Surface paramétrée, point régulier, courbes coordonnées, plan tangent, vecteur normal et droite normale, surface définie par une équation cartésienne et surfaces de niveau, surface d'équation z égale f de x et y, surfaces réglées et génératrices, surfaces de révolution avec axe, méridiennes et parallèles, courbe définie par l'intersection de deux surfaces. | Définition et classification des quadriques hors programme. Aucune connaissance spécifique n'est attendue sur les surfaces réglées. |
| Probabilités | Probabilités, variables aléatoires discrètes et lois usuelles | Ensembles dénombrables, univers et tribu, variable aléatoire discrète, probabilité et sigma-additivité, continuité croissante et décroissante, sous-additivité, probabilités conditionnelles, formules des probabilités composées et totales, formule de Bayes, loi géométrique et loi de Poisson, couple de variables, lois conjointe, marginales et conditionnelle, événements et variables indépendants, suites i.i.d., lemme des coalitions. | La tribu se limite à sa définition. Étude de la dénombrabilité et construction d'espaces probabilisés hors programme. Les variables à densité ne sont pas au programme. |
| Probabilités | Espérance et variance | Espérance d'une variable discrète réelle, formule de transfert, linéarité et croissance, espérance d'un produit de variables indépendantes, variance et écart type, variable centrée réduite, covariance et décorrélation, variance d'une somme, fonctions génératrices, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres. | Les convergences presque sûre, en probabilité et en loi sont hors programme, ainsi que la notion de famille sommable. |
15 sections affichées sur 15.
Source : Ministère de l'enseignement supérieur, de la recherche et de l'innovation, 2021.
Comment s’organise le programme de maths en PT ?
Le programme se répartit entre trois domaines, l’algèbre, l’analyse et les probabilités, découpés en quinze sections.
La géométrie n’apparaît pas comme un domaine à part mais traverse les deux premiers : elle est présente dans les isométries d’un espace euclidien, dans l’étude métrique des courbes paramétrées, dans les coniques et dans les surfaces. C’est la marque de fabrique de la filière et le programme insiste dessus, en demandant d’illustrer les notions par de nombreuses figures et de privilégier la vision géométrique plutôt que l’application de formules.
Autre parti pris du texte officiel : la technicité pure est explicitement bornée. Sur les déterminants, tout excès de technicité est exclu et l’outil informatique prend le relais dès que le calcul devient lourd. Vous serez donc jugé sur la compréhension des objets et sur la capacité à choisir le bon cadre, pas sur des calculs interminables.
L’algèbre en PT
L’algèbre se joue en cinq sections. Les compléments d’algèbre linéaire introduisent le produit et la somme de plusieurs sous-espaces, la notion de sous-espace stable avec son endomorphisme induit, la trace et les hyperplans. Vous devez savoir passer d’une écriture matricielle par blocs à la stabilité d’un sous-espace, et inversement.
Les déterminants sont présentés dans leur version matricielle, avec l’interprétation en aire et volume algébriques via le produit mixte. L’objectif est de calculer proprement par opérations élémentaires sur les colonnes, pas de mémoriser des formules.
Vient ensuite le morceau central de l’année, la réduction des endomorphismes et des matrices carrées : éléments propres, polynôme caractéristique, multiplicité, diagonalisation puis trigonalisation. Les deux dernières sections construisent l’algèbre euclidienne. La structure préhilbertienne généralise le produit scalaire, avec Cauchy-Schwarz, Gram-Schmidt et la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, qui sert directement aux problèmes de minimum. Les isométries d’un espace euclidien ferment la boucle avec les matrices orthogonales, la classification en dimension 2, les rotations et réflexions en dimension 3, et le théorème spectral pour les matrices symétriques réelles.
L’analyse et la géométrie en PT
C’est le domaine le plus fourni, avec huit sections. Il commence par les fonctions vectorielles d’une variable réelle et les courbes paramétrées, où le programme relie le registre analytique et le registre géométrique : tangente, point régulier, étude locale par développements limités, branches infinies, puis les propriétés métriques avec l’abscisse curviligne, le repère de Frenet, la courbure et la développée. L’enveloppe d’une famille de droites conclut la section et se rattache à la développée, définie comme l’enveloppe des normales.
Les séries numériques étendent l’étude de première année aux termes réels et complexes, avec la comparaison série-intégrale, le théorème des séries alternées et la convergence absolue. Elles servent de tremplin aux séries entières, qui interviennent ensuite partout : développement d’une fonction, calcul de la somme d’une série numérique, résolution d’une équation différentielle, définition des séries génératrices en probabilités.
L’intégration sur un intervalle quelconque introduit l’intégrale généralisée et la notion de fonction intégrable, puis deux outils très rentables aux concours, le théorème d’intégration terme à terme et l’étude d’une fonction définie par une intégrale à paramètre.
Les équations différentielles se limitent au cas linéaire scalaire d’ordre 2, avec le théorème de Cauchy pour établir la structure de l’ensemble des solutions. Les fonctions de deux ou trois variables mettent en place le gradient, la règle de la chaîne, le théorème de Schwarz et la matrice hessienne, qui sert à classer les points critiques. Les deux dernières sections sont purement géométriques : les courbes implicites du plan avec les coniques définies par foyer, directrice et excentricité, puis les surfaces paramétrées ou cartésiennes, le plan tangent, les surfaces réglées et les surfaces de révolution.
Les probabilités en PT
Les probabilités occupent deux sections et prolongent les variables aléatoires finies de PTSI. Le formalisme reste volontairement minimal : la tribu est réduite à sa définition, la dénombrabilité est abordée a minima et la construction d’espaces probabilisés n’est pas au programme. L’objectif est d’élargir le champ des situations modélisables, pas de faire de la théorie de la mesure.
Vous étudiez le conditionnement avec les formules des probabilités composées, des probabilités totales et de Bayes, deux nouvelles lois usuelles, la géométrique et celle de Poisson, puis l’indépendance avec le lemme des coalitions. La seconde section porte sur l’espérance et la variance : formule de transfert, covariance, décorrélation, fonctions génératrices, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres. Les fonctions génératrices sont le point de rencontre avec les séries entières, un lien que les sujets exploitent régulièrement.
Les maths de PT aux concours
Toutes les écoles qui recrutent en PT passent par la Banque PT, ce qui simplifie la préparation : vous ne composez qu’une fois, chaque concours partenaire appliquant ensuite ses propres coefficients. Les maths sont réparties sur trois épreuves écrites de 4 heures, de difficulté graduée, qui balaient les grandes parties du programme de PTSI et de PT. Mathématiques A associe une composante d’algèbre et une composante de probabilités, Mathématiques B croise géométrie et algèbre linéaire ou bilinéaire, une partie pouvant être traitée sans passer par les coordonnées, Mathématiques C est à dominante d’analyse. Prévoyez votre matériel de géométrie, il est demandé pour les trois.
Selon le concours visé, les maths représentent entre un quart et la moitié des coefficients écrits. C’est le poids le plus élevé aux concours des Écoles normales supérieures et à celui de l’École Polytechnique, plus modéré à Centrale-Supélec et à Arts et Métiers, où les sciences industrielles reprennent la main.
À l’oral, deux épreuves de maths vous attendent. Mathématiques I dure 30 minutes sans préparation, avec au moins un exercice et des questions de cours, et le jury attend que vous exprimiez vos pistes de réflexion même inabouties. Mathématiques et Algorithmique est une spécificité de la filière : une heure, deux exercices de durées voisines, l’un au tableau sur le programme de maths de PTSI et de PT, l’autre sur ordinateur en Python. Cette seconde épreuve se prépare, elle mobilise à la fois le programme d’informatique commune et les outils numériques mentionnés avec les programmes de physique-chimie.
Comment travailler le programme de maths en PT ?
Le rythme est le principal écueil. Le programme avance vite dès septembre et les concours arrivent fin avril, ce qui laisse peu de place au rattrapage tardif. Trois réflexes tiennent sur toute l’année. Reprenez les démonstrations du cours en les rédigeant, parce que les questions de cours à l’oral portent exactement sur les capacités exigibles du programme officiel. Faites des figures dès que la situation le permet, en algèbre euclidienne comme en géométrie différentielle, le programme le recommande explicitement. Enfin, travaillez les annales de la Banque PT plutôt que celles des autres filières : les épreuves de Mathématiques B en particulier n’ont pas d’équivalent en MP ou en PC.
Si un chapitre reste flou, mieux vaut traiter le problème tout de suite. Un accompagnement en cours particuliers en PT permet de reprendre une notion précise, réduction ou intégrales à paramètre par exemple, et de la retravailler sur des exercices de concours. Les élèves qui préfèrent un format resserré passent par un stage de prépa PT pendant les vacances, ou par un stage de pré-rentrée en maths spé avant la rentrée de deuxième année, pour consolider les acquis de PTSI avant l’accélération. Nos cours particuliers en maths couvrent l’ensemble des chapitres de maths si vous cherchez un prof particulier de maths disponible dans votre ville ou en ligne.
Pour réviser chapitre par chapitre, retrouvez aussi nos cours de maths en ligne et les autres programmes de la filière, le programme de physique-chimie en PT, le programme de SI en PT et le programme d’anglais en PT.
Questions fréquentes sur le programme de maths en PT
La PT écarte plusieurs blocs abstraits que la MP travaille en profondeur : la topologie et les espaces vectoriels normés, les suites et séries de fonctions donc la convergence uniforme, les polynômes d’endomorphisme, les systèmes différentiels et la notion de différentielle. En échange, elle possède un bloc géométrique que la MP n’a pas : propriétés métriques des courbes planes avec la courbure et la développée, enveloppes de familles de droites, coniques et surfaces réglées ou de révolution. Sur la réduction, les séries entières, l’intégration sur un intervalle quelconque et les probabilités discrètes, les deux programmes se recouvrent largement. La PT n’est donc pas une MP allégée, c’est un programme orienté vers la modélisation et la géométrie.
Le programme de maths représente 9 heures hebdomadaires en PT, cours et travaux dirigés confondus, auxquelles s’ajoutent les colles et les devoirs surveillés. C’est un volume important mais inférieur à celui de la MP, la filière PT réservant une part significative de son emploi du temps aux sciences industrielles de l’ingénieur et aux travaux pratiques. En pratique, le travail personnel demandé dépasse largement les heures de cours, en particulier sur les démonstrations et la rédaction, qui sont évaluées aux concours.
Le programme officiel exclut nommément les polynômes d’endomorphisme, les espaces vectoriels normés et la topologie générale, les suites et séries de fonctions, les systèmes différentiels et les équations d’ordre supérieur à 2, la notion de différentielle, les variables aléatoires à densité, les formes multilinéaires alternées, le groupe symétrique, les formules de Cramer, la comatrice, les courbes en équation polaire et la classification des quadriques. Une nuance utile : l’exclusion d’un cadre théorique n’entraîne pas celle du résultat pratique. L’intégration terme à terme d’une série de fonctions est bien exigible, elle est simplement énoncée dans la section sur l’intégration.
Trois épreuves écrites de 4 heures chacune via la Banque PT. Mathématiques A associe algèbre et probabilités, Mathématiques B croise géométrie et algèbre linéaire ou bilinéaire, Mathématiques C est à dominante d’analyse. Le matériel de géométrie est demandé pour les trois. À l’oral s’ajoutent deux épreuves : Mathématiques I, 30 minutes sans préparation avec un exercice et des questions de cours, puis Mathématiques et Algorithmique, une heure avec un exercice au tableau et un exercice sur ordinateur en Python. Selon le concours visé, les maths pèsent entre un quart et la moitié des coefficients écrits.
La réduction des endomorphismes et des matrices carrées est le chapitre le plus rentable, parce qu’elle sert ensuite au théorème spectral, à la réduction des coniques et à l’étude des points critiques via la matrice hessienne. Viennent ensuite les séries entières, qui alimentent la résolution d’équations différentielles et les fonctions génératrices en probabilités, puis l’intégration sur un intervalle quelconque avec les intégrales à paramètre. La géométrie différentielle mérite un traitement à part : elle est propre à la filière, donc peu couverte par les annales des autres voies, et elle porte l’identité de l’épreuve de Mathématiques B. Quelle différence entre le programme de maths en PT et celui en MP ?
Combien d'heures de maths par semaine en PT ?
Quelles notions ne sont pas au programme de maths en PT ?
Combien d'épreuves de maths passe-t-on aux concours en PT ?
Quels chapitres de maths faut-il travailler en priorité en PT ?
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