Programme de Maths en Prepa BCPST 2

Programme officiel maths BCPST 2 : variables à densité, séries

Programme de maths spé

Programme de prépa BCPST 2

Enseignées 7 heures par semaine, le programme de maths en BCPST 2 amène les élèves à définir une stratégie, modéliser un phénomène, raisonner et communiquer.

Dans la perspective des concours d’entrée aux grandes écoles supérieures, le programme de BCPST 2 a pour objectif de donner aux élèves les éléments nécessaires pour identifier un problème, critiquer et valider un modèle. L’épreuve de maths est la plus coefficientée du concours ENS pour les épreuves écrites d’admission.

Suivre ses cours au sein d’un des meilleurs lycées du classement des prepa BCPST ne suffira pas pour intégrer les meilleures écoles post prepa, un grand travail personnel est essentiel pour la réussite de ces concours, notamment pour les meilleures prepa BCPST au concours ENS.

Programme BCPST 2 maths

Le programme de maths en BCPST 2, chapitre par chapitre

21 chapitres répartis en analyse, algèbre et probabilités, avec le statut de chacun par rapport à la BCPST 1

Domaine	Chapitre officiel	Statut	Notions au programme
Analyse	Révisions 1 - Suites	Révision	Exercices reprenant les suites de BCPST 1, avec des exemples adossés au programme d'informatique.
Analyse	Révisions 2 - Fonctions et dérivées	Révision	Limites, continuité, dérivation, développements limités, études de fonctions vues en première année.
Analyse	Révisions 3 - Intégrales	Révision	Intégration d'une fonction continue sur un segment, techniques de calcul de primitives.
Analyse	Révisions 4 - Équations différentielles	Révision	Équations différentielles linéaires simples du premier et du second ordre étudiées en BCPST 1.
Analyse	Révisions 5 - Fonctions de deux variables	Révision	Dérivées partielles, fonctions de classe C1 sur un pavé ouvert, points critiques et extremums.
Analyse	Analyse 1 - Séries réelles	Nouveau	Sommes partielles et convergence, comparaison et équivalence pour les séries à termes positifs, séries géométrique et exponentielle, convergence de la série des 1 sur n carré et divergence de la série harmonique, convergence absolue. Les restes de séries et les séries semi-convergentes sont hors programme.
Analyse	Analyse 2 - Intégrales généralisées	Nouveau	Convergence d'une intégrale impropre traduite par des limites de primitives, linéarité et relation de Chasles, intégration par parties et changement de variable adaptés, comparaison et équivalence pour les fonctions positives, convergence absolue, intégrale de Gauss admise.
Analyse	Analyse 3 - Équations différentielles scalaires autonomes d'ordre 1	Nouveau	Exemples de résolution du type y'(t) = F(y(t)), toujours entièrement guidés. Modèles malthusien, logistique et de Gompertz. Programmation de la méthode d'Euler. Aucune théorie générale n'est attendue.
Algèbre	Révisions 6 - Nombres complexes	Révision	Reprise des outils sur les complexes travaillés en première année.
Algèbre	Révisions 7 - Systèmes linéaires et matrices	Révision	Résolution de systèmes, calcul matriciel, rang, inversibilité, tels qu'abordés en BCPST 1.
Algèbre	Algèbre - Polynômes	Approfondissement	Passage aux coefficients complexes, notation X, unicité de l'écriture, coefficient dominant et degré, racines et factorisation, ordre de multiplicité. La division euclidienne des polynômes est hors programme.
Algèbre	Algèbre linéaire 1 - Espaces vectoriels	Approfondissement	Sortie du cadre Kn de la première année vers les K-espaces vectoriels généraux, dont les matrices, les fonctions et les polynômes. Familles libres et génératrices, bases, dimension, rang. La somme de sous-espaces vectoriels n'est pas au programme.
Algèbre	Algèbre linéaire 2 - Applications linéaires et matrices	Approfondissement	Noyau et image, théorème du rang admis, matrice d'une application linéaire dans des bases choisies, changement de base et matrice de passage, matrices semblables et calcul des puissances.
Algèbre	Algèbre linéaire 3 - Valeurs propres, vecteurs propres	Nouveau	Éléments propres d'un endomorphisme et d'une matrice carrée, spectre, valeurs propres d'une matrice triangulaire, critère de diagonalisabilité par la somme des dimensions des sous-espaces propres. Le polynôme annulateur est hors programme.
Géométrie	Révisions - Géométrie	Révision	Exercices illustrant la géométrie du plan et de l'espace vue en première année.
Géométrie	Géométrie - Produit scalaire dans Rn	Nouveau	Produit scalaire usuel et écriture matricielle, inégalité de Cauchy-Schwarz, bases orthonormales, orthogonal d'un sous-espace, projection orthogonale et distance à un sous-espace, lecture de la méthode des moindres carrés comme une projection, théorème spectral. Les algorithmes d'orthonormalisation ne sont pas au programme.
Probabilités	Probabilités 1 - Concepts de base des probabilités et des variables aléatoires	Approfondissement	Notion de tribu et axiome de sigma-additivité, événements négligeables et presque sûrs, systèmes complets infinis, formule des probabilités totales étendue, variable aléatoire réelle, fonction de répartition, indépendance. Aucune question sur les tribus ne peut être posée en épreuve de maths.
Probabilités	Probabilités 2 - Variables aléatoires réelles discrètes	Approfondissement	Variables discrètes prenant une infinité de valeurs, indépendance et lemme des coalitions, espérance et théorème de transfert, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, variance et König-Huygens, loi de Poisson, loi géométrique et absence de mémoire.
Probabilités	Probabilités 3 - Couples de variables aléatoires discrètes	Nouveau	Loi conjointe, lois marginales et lois conditionnelles, loi du minimum et du maximum, somme de deux lois de Poisson indépendantes, covariance et variance d'une somme. Les séries doubles et l'espérance conditionnelle ne sont pas au programme.
Probabilités	Probabilités 4 - Variables aléatoires à densité	Nouveau	Densité de probabilité et lien avec la fonction de répartition, théorème de transfert, espérance et variance, lois uniforme, exponentielle avec absence de mémoire et normale, somme de variables à densité indépendantes, somme de gaussiennes indépendantes. Les couples ne sont traités que dans le cas discret.
Probabilités	Probabilités 5 - Théorèmes limites	Nouveau	Moyenne empirique et loi faible des grands nombres, convergence en loi, approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson, théorème central limite sous ses deux formes, théorème de de Moivre-Laplace, introduction aux tests avec le test de conformité à la moyenne. Les notions de risque et de puissance ne sont pas au programme.

Aucun chapitre ne correspond à cette recherche.

L'ordre des chapitres est donné à titre indicatif par le programme officiel et ne constitue pas une progression obligatoire. Source : Ministère de l'enseignement supérieur, de la recherche et de l'innovation, 2021.

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Questions fréquentes sur le programme de maths en BCPST 2

Combien d'heures de maths par semaine en BCPST 2 ?

L’horaire officiel est de 7 heures par semaine, réparties en 5 heures de cours et 2 heures de travaux dirigés. C’est une heure de moins qu’en BCPST 1, où l’horaire atteint 8 heures avec 5 heures de cours et 3 heures de TD. À cela s’ajoutent les colles ainsi qu’une part des travaux d’initiative personnelle encadrés, qui revient au professeur de maths. L’arrêté ne prévoit plus de créneau horaire distinct pour l’informatique en seconde année, alors que le programme d’informatique couvre bien les semestres 3 et 4 : la programmation en Python est donc travaillée en appui des chapitres de maths, notamment pour la méthode d’Euler, la simulation de variables aléatoires et les tests statistiques.

Quelles sont les nouveautés du programme de maths de BCPST 2 par rapport à la BCPST 1 ?

Le programme distingue explicitement huit chapitres de révisions et treize chapitres nouveaux ou approfondis. En analyse, les nouveautés sont les séries réelles, les intégrales généralisées et les équations différentielles autonomes d’ordre 1. En algèbre, la première année travaillait seulement dans Kn : la seconde passe aux espaces vectoriels généraux, ce qui rend possible l’étude des bases, des changements de base puis de la diagonalisation, et ajoute le produit scalaire dans Rn avec la projection orthogonale et le théorème spectral. En probabilités, les couples de variables discrètes, les variables aléatoires à densité et les théorèmes limites sont entièrement nouveaux. En revanche les suites, les fonctions, les intégrales sur un segment, les fonctions de deux variables, les nombres complexes et les systèmes linéaires ne reviennent qu’au titre des révisions.

Quelles notions sont hors programme en maths en BCPST 2 ?

Le programme officiel liste ses exclusions de façon précise. En analyse, sont hors programme les restes de séries, les séries semi-convergentes, les intégrales semi-convergentes et tout critère de convergence autre que la comparaison et l’équivalence. En algèbre, la division euclidienne des polynômes, la somme de sous-espaces vectoriels, le polynôme annulateur et les algorithmes d’orthonormalisation sont exclus. En probabilités, les séries doubles et l’espérance conditionnelle ne sont pas au programme, les couples de variables aléatoires ne sont traités que dans le cas discret pour éviter les intégrales doubles, et l’introduction aux tests s’arrête au test de conformité à la moyenne, sans les notions de risque ni de puissance. Enfin aucune question sur les tribus ne peut être posée dans une épreuve de mathématiques.

Quelles sont les épreuves de maths aux concours après une BCPST 2 ?

Cela dépend de la banque. À Agro-Véto, deux épreuves écrites relèvent des maths : Méthodes de calcul et raisonnement, sur 2 heures, et Modélisation mathématique et informatique, sur 3 heures, à laquelle s’ajoute un oral de mathématiques pratiques et informatique à l’admission. Le concours G2E propose une épreuve écrite de mathématiques de 4 heures ainsi qu’un oral. Les ENS fonctionnent différemment puisque les maths n’y intervient pas à l’admissibilité mais parmi les épreuves écrites d’admission, où le coefficient est le plus élevé des trois épreuves concernées. Le nombre de places aux ENS reste très réduit, ce qui en fait un objectif spécifique plutôt qu’un repère pour l’ensemble des candidats.

Comment réussir l’épreuve de maths aux concours BCPST ?

Ce que les épreuves évaluent réellement

Les épreuves de maths de la filière BCPST ne ressemblent pas à celles des filières MP ou PC, et c’est une bonne nouvelle pour qui l’anticipe. Le programme officiel le dit sans détour : les capacités de calcul propres aux maths restent relativement simples et l’objectif n’est pas la virtuosité technique. Ce que les jurys cherchent, c’est la capacité à reformuler un problème qui ne se présente pas d’emblée sous forme mathématique, puis à valider ou critiquer le modèle obtenu.

Cela se lit directement dans l’intitulé des épreuves. À Agro-Véto, Méthodes de calcul et raisonnement mesure la fiabilité technique sur 2 heures, dans un format volontairement resserré où la vitesse et l’absence d’erreur de calcul comptent autant que les idées. Modélisation mathématique et informatique fonctionne à l’inverse sur 3 heures : le sujet part d’une situation biologique ou chimique et l’on attend une mise en équations, une résolution puis une lecture critique du résultat, souvent avec du code Python à écrire ou à compléter.

À G2E, l’épreuve de mathématiques dure 4 heures et se rapproche davantage d’un problème classique. L’oral Mathématiques pratiques et informatique, lui, se prépare comme un exercice à part entière avec ses 40 minutes et son format guidé.

Les priorités de travail dans l’année

Sept heures de maths par semaine laissent peu de place à la reprise, donc l’ordre dans lequel vous consolidez les chapitres compte beaucoup.

Les séries et les intégrales généralisées passent devant tout le reste au premier trimestre. Le programme les introduit uniquement comme outils des probabilités, ce qui signifie qu’un chapitre mal digéré bloque mécaniquement les variables à densité et les théorèmes limites, soit la moitié du bloc probabilités. Un élève qui hésite encore sur un critère de comparaison en février aura du mal à tenir le rythme au printemps.

Les probabilités méritent ensuite l’investissement le plus lourd, puisque le préambule officiel en fait l’enjeu majeur de la seconde année et que cinq chapitres y sont consacrés. Deux réflexes y font gagner beaucoup de points : savoir déterminer une loi à partir d’une fonction de répartition, attendu explicite du programme aussi bien pour les variables discrètes que pour les variables à densité, et manier sans hésiter la variable centrée réduite associée, qui est le passage obligé de presque tout exercice sur la loi normale.

L‘algèbre linéaire se travaille autrement. Les énoncés y sont plus courts mais la rédaction est sanctionnée sévèrement, notamment sur les critères de diagonalisabilité, où il faut justifier explicitement la somme des dimensions des sous-espaces propres au lieu de conclure par analogie.

Enfin le Python ne se sépare jamais des maths. La méthode d’Euler, la simulation d’une variable aléatoire à partir d’une loi uniforme et le mécanisme d’un test statistique sont mentionnés dans le programme de maths lui-même, pas seulement dans celui d’informatique. Écrire ces trois scripts de mémoire, sans support, est un exercice qui rapporte directement à l’épreuve de modélisation.

Les erreurs qui coûtent le plus de points

Trois pièges reviennent d’année en année dans les rapports de jury et dans les copies.

Se lancer dans une théorie que le programme n’attend pas. Sur les équations différentielles autonomes d’ordre 1, l’arrêté précise que toute étude devra être entièrement guidée et qu’aucune théorie générale ne doit être faite. Un candidat qui construit un raisonnement général au lieu de suivre les questions perd du temps sans gagner de points.

Confondre les frontières du programme. Vouloir calculer une espérance par une série double, invoquer un polynôme annulateur ou parler de risque de première espèce sur un test signale une préparation mal calibrée, puisque ces trois notions sont explicitement hors programme.

Négliger la calculatrice. Les valeurs de la fonction de répartition de la loi normale et celles de sa réciproque s’obtiennent à la calculatrice ou par une bibliothèque de programmation. Savoir les récupérer rapidement, et savoir de tête l’ordre de grandeur des valeurs usuelles, évite de bloquer sur une question de barème facile.

Se faire accompagner sur les chapitres qui résistent

Le rythme de la BCPST 2 laisse peu de temps pour revenir seul sur un chapitre mal compris, et les nouveautés de l’année s’enchaînent trop vite pour espérer combler un retard en cours de route. Beaucoup d’élèves passent par des cours particuliers de maths pour reprendre un point précis, en général les séries, les intégrales généralisées ou la diagonalisation, avant que le retard ne se propage aux probabilités.

Les vacances scolaires offrent l’autre fenêtre utile. Un stage intensif en maths spé permet de reprendre les chapitres du semestre en volume resserré et de travailler les formats d’épreuve, ce qui est difficile à organiser seul. Pour un travail centré sur les attendus propres à la filière et sur les épreuves d’Agro-Véto et de G2E, le stage de maths en BCPST 2 cible directement le programme de seconde année plutôt que le tronc commun des maths spé.

STAGE PRE RENTREE MP PC PSI MPI PT

Profitez de l’été pour préparer l’année des concours

–> Meilleurs profs de CPGE
–> Exercices et d’annales incontournables
–> Ambiance bienveillante et studieuse