Chapitres de maths en 1ère

Suites numériques en 1ère

Ce cours en ligne de maths en première sur les suites numériques permet aux élèves de savoir reconnaître et travailler avec une suite numérique au même titre que les équations du second degré par exemple ou encore les suites arithmétiques et géométriques. Les élèves peuvent aussi consulter le cours sur la dérivation ou sur la fonction exponentielle. Vous pouvez aussi consulter nos cours de maths à Lyon pour progresser les suites numériques.

Suite numérique en première : définition

$\bullet$ On appelle suite numérique toute fonction $u$ de l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ dans l’ensemble des réels $\mathbb{R}$ .

$\bullet$ Notation :
L’image de l’entier naturel $n$ par $u$ , $u(n)$ , est en général notée $u_n\,$ , est appelée terme général de la suite ou encore terme d’indice $n$ .
Une suite numérique $u$ se note aussi $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou plus simplement $(u_n)$ .

⚠️ Attention aux parenthèses, il ne faut pas confondre $(u_n)$ qui désigne la suite $u$ et $u_n$ qui désigne simplement son terme de rang $n$ .

$\bullet$ Généralisation
Soit $N \in \mathbb{N}^*$ , il est possible de rencontrer des suites numériques définies par une fonction $u : \{ n \in \mathbb{N}\, / \, n \geqslant N \} \to \mathbb{R}$ .
Dans ce cas, on note $(u_n) _{n \geqslant N}$ l’ensemble des valeurs prises par la suite.
Il est fortement conseillé dans ce cas de ne pas oublier le $n\geqslant N$ dans la notation de la suite.

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Suite numérique : différents modes de génération

Suite définie par une formule explicite

$\bullet$ Ce sont les suites telles que pour tout entier $n$ , $u_n$ est exprimé en fonction de $n$ , donc telles qu’il existe une fonction $f$ telle que pour tout entier $n$ , $u_n = f(n)$ .

$\bullet$ exemple
La suite numérique définie par $u_n = \displaystyle \frac {2} {1 + n}$ est définie par une formule explicite.
On peut calculer directement la valeur de $u_n\,$ pour tout entier $n$ .

Par exemple :
$\ast$ La suite des entiers impairs est définie par $f : n \mapsto 2\, n + 1$ et peut s’écrire $(2\, n + 1)_{n \in \mathbb{N}}$ .
$\ast$ La suite des cubes des entiers naturels est définie par $f : n \mapsto n ^3$ et peut s’écrire $(n ^3 )_{n \in \mathbb{N}}$
$\ast$ La suite des inverses des carrés d’entiers naturels non nuls est définie par $f : \mathbb{N} ^* \to \mathbb{R},n \mapsto \displaystyle \frac 1 {n ^2}$ .

Suite définie par une relation de récurrence

$\bullet$ Une suite numérique peut également être définie par son premier terme $u_0$ ou $u_1$ et une formule exprimant $u_{n+1}$ en fonction de $u_n\,$ sous la forme $u_{n + 1} = f(u_n)$ où $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ .
On appelle cette formule une relation de récurrence.
On calcule chaque terme à partir du terme précédent.

Suite numérique $u_{n + 2}$ en fonction de $u_n$ et $u_{n + 1}$

On peut aussi définir des suites numériques par récurrence par la donnée des termes $u_0$ et $u_1$ et définir $u_{n + 2}$ en fonction de $u_n$ et $u_{n + 1}$ par une formule de récurrence.

Exemple : C’est le cas par exemple pour la suite de Fibonacci définie par $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N},$

$\qquad \qquad u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n\,$ .

Définition d’une suite numérique $(v_n)_n$ en fonction d’une autre suite

Par exemple si l’on connaît la suite $(u_n)_n$ , on peut définir $S_0 = u_0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}, S_{n + 1} = S_n + \, u_n$

alors $S_n = u_ 0\, + \, u_1 \, +\, \cdots \,+ u_n \,$ .

$S_n$ est la somme des termes d’indices compris entre $0$ et $n$ de la suite $u$ .

Exemple : On garde les notations précédentes et on définit une suite $(w_n)_n$ par :

$w_0 = u_0$ et pour tout $n \in \mathbb{N},$ $\qquad \qquad w_{n + 1} = w_n + \, u_{2\, n}$

Suite numérique pour laquelle on doit trouver la relation de récurrence.

Exemple : Soit une urne contenant une boule au temps initial noté $0$ .
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , au temps $n$ , on double le nombre de boules dans l’urne et on en ajoute $n - 1$ autres.

Si $u_n$ est le nombre de boules dans l’urne à l’issue de la manipulation $n$ , la suite $(u_n)_n$ est définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier $n$ , $u_{n + 1} = 2 . u_n + a$ avec $a =$

Suite numérique définie par un algorithme.

Exemple : C’est le cas pour la suite de Syracuse définie par la donnée d’un terme $u_0$ et les conditions
pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$\ast$ si $u_n$ est impair, $u_{n + 1} = \displaystyle {3 \, u_n + 1}$
$\ast$ si $u_n$ est pair, $u_{n + 1} = \displaystyle \frac {u_n} 2$ .

On remarquera que
$\bullet$ Si $u_0 = 1$ , $u_1 = 4$ , $u_2 = 2$ et $u_3 = 1$ puis $u_4 = 4$ etc …
On retrouve les termes $\qquad 1,4,2,1,4,2, ...$

$\bullet$ Lorsque $u_0 = 11$ , trouver le plus petit entier $p$ tel que $u_p = 11$ .

Suite numérique : représentation graphique

Une suite explicite $U_n$ peut être représentée de deux façons :

1. en plaçant les réels $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ … sur une droite graduée ;

2. en plaçant les points de coordonnées (n ; Un) dans un repère.

Une suite $U_n$ définie par récurrence $u_{n + 1} = f (u_n)$ est représentée par la courbe représentative de la fonction $f$ .

Méthode :

Dans le cas d’une suite reporter les termes de la suite $u_{n + 1} = f (u_n)$ , il faut tracer la droite d’équation y = x.

Exemple :

Soit la suite $U_n$ définie par récurrence $u_{n + 1} = - 2 u_n^2 + 5 u_n - 1$ avec $u_0 = 0,5$ .

La courbe représentative de la fonction f définie par $f (x) = - 2 x^2 + 5 x - 1$ est représentée ci-dessous ainsi que la droite d’équation $y = x$ .

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Suite numérique : sens de variation

$\bullet$ Une suite $(U_n)$ est croissante si et seulement si pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n + 1} \geqslant u_n.$

$\bullet$ Une suite $(U_n)$ est décroissante si et seulement si pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n + 1} \leqslant u_n.$

$\bullet$ Une suite est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.

$\bullet$ Une suite peut n’être ni croissante, ni décroissante, ni constante.

Méthode :

Pour déterminer le sens de variations d’une suite $U_n$ , il faut déterminer le signe de $u_{n + 1} - u_n.$

Si pour tout n $n\in \mathbb{N}$ , $u_{n + 1}-u_n \geqslant 0$ alors la suite $(U_n)$ est croissante.

Si pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $u_{n + 1}-u_n \leqslant 0$ alors la suite $(U_n)$ est décroissante.

Dans certains cas, on peut aussi déterminer le rapport $\dfrac {u_{n + 1}}{u_n}$ . On doit au préalable vérifier que la suite $(U_n)$ ne s’annule jamais.

Si pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $\dfrac {u_{n + 1}}{u_n} \geqslant 1$ alors la suite $(U_n)$ est croissante.

Si pour tout n $\in \mathbb{N}$ , $\dfrac {u_{n + 1}}{u_n} \leqslant 1$ alors la suite $(U_n)$ est décroissante.

Le cours complet sur les suites numériques en 1ère se trouve sur l’application mobile PrepApp.

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