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Variation d’une fonction en seconde générale

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Seconde générale

Ce chapitre sur la variation d’une fonction fait partie des chapitres du programme des cours en ligne de maths en seconde générale.

D’autres chapitres de seconde générale sont également disponibles, comme les fonctions affines ou arithmétique etc…

Il est recommandé aux lycéens de considérer des cours de maths à Paris afin de consolider leurs connaissances dans les autres domaines de la seconde où ils peuvent avoir des lacunes ou chercher à se perfectionner.

Variation d’une fonction : sens de variation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb {R}$ .

On considère deux nombres $a$ et $b$ quelconques dans $I$ tels que $a$ < $b$ .

$\bullet$ On dit que $f$ est strictement croissante sur $I$ si $f (a) < f (b)$ .

$\bullet$ On dit que $f$ est strictement décroissante sur $I$ si $f (a) > f (b)$ .

$\bullet$ On dit que $f$ est constante sur $I$ si $f (a) = f (b)$ .

$a < b \Longrightarrow f(a) < f(b)$

$f$ est strictement croissante

$a < b \Longrightarrow f(a) > f(b)$

$f$ est strictement décroissante

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Variation d’une fonction : tableau de variation

Soit f une fonction définie sur un domaine de définition $\mathscr{D}_f$ .

Le tableau de variation d’une fonction $f$ sur $\mathscr{D}_f$ est un tableau comportant deux lignes :

$\bullet$ sur la première sont reportées toutes les valeurs de $x$ importantes (bornes du domaine de définition, valeurs interdites de la fonction, valeurs de $x$ où la fonction change de sens de variation);

$\bullet$ sur la deuxième sont représentées les variations de $f$ (une flèche montante quand $f$ est croissante, une flèche descendante quand $f$ est décroissante), ainsi éventuellement que la donnée de certaines images.

- Exemple de tableau de variation :

Variation d’une fonction : minimum et maximum

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb {R}$ .

$\bullet$ On appelle minimum de $f$ sur $I$ la plus petite valeur atteinte par $f (x)$ pour $x \in I$ .

$\bullet$ On appelle maximum de $f$ sur $I$ la plus grande valeur atteinte par $f (x)$ pour $x \in I$

- Exemple : Quels sont les minimum et maximum du tableau de variation précédent ?

La plus petite valeur atteinte par $f (x)$ pour $x \in$ [ -3 ; 2] est -3

la plus grande valeur atteinte par $f (x)$ pour $x \in$ [ -3 ; 2] est 1

Variation d’une fonction : fonctions paires et fonctions impaires

Fonctions paire

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathscr{D}_f$ .

On dit que $f$ est paire si :

$\bullet$ $\forall x \in \mathscr{D}_f, −x \in \mathscr{D}_f$ ;

$\bullet$ $f (-x) = f (x)$ .

Exemple

La fonction $f : x \mapsto x^2 - 7$ est paire car son domaine de définition est $\mathbb {R}$

(donc pour tout $x \in \mathbb {R}$ , $-x \in \mathbb {R}$ ) et :

$f (-x) = (-x)^2 - 7$

$= x^2 −7$

$= f (x)$

Propriété

Si une fonction f est paire alors, dans un repère orthogonal, sa courbe représentative est
symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Fonction impaire

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathscr{D}_f$ .

On dit que $f$ est impaire si :

$\bullet$ $\forall x \in \mathscr{D}_f, −x \in \mathscr{D}_f$ ;

$\bullet$ $f (−x) = - f (x)$ .

Exemple

Soit quatres fonctions définie sur $\mathscr{D}_f$

a) $f : x \mapsto x + 1$

b) $f : x \mapsto x^3 + x$

c) $f : x \mapsto x^2 + 4$

d) $f : x \mapsto x^3 - x^2 + x$

Quelle fonction est l’unique fonction impaire ?

La fonction $f : x \mapsto x^3 + x$ est impaire car son domaine de définition est $\mathbb {R}$ (donc pour tout $x \in \mathbb {R}, −x \in \mathbb {R}$ ) et :

$f (−x) = (−x)^3 - x$

$= -x^3 − x$

$= - ( x^3 + x)$

$= -f (x)$

Propriété

Si une fonction $f$ est impaire alors, dans un repère orthogonal, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine.

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La suite du cours sur la variation d’une fonction et les exercices sont disponibles sur l’application Prepapp. Vous y retrouverez également les autres cours en ligne de seconde comme les nombres réels, ensemble et intervalle et les exercices correspondants.

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