Cours en ligne Terminale D en maths

Chapitres de maths en Terminale D

Exercices et corrigés sur les nombres complexes et géométrie en Terminale D

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale D

Vous trouverez ci-dessous des exercices corrigés gratuits sur les nombres complexes et géométrie pour les élèves préparant le bac D.

QCM sur les nombres complexes et géométrie en terminale D

Question 1 :

Le nombre complexe $i$

a. positif

b. négatif

c. nul

d. Aucune des réponses n’est correcte

Question 2 :

Dans $\mathds{R}$ l’équation $z^3+z=0$ admet :

a. 3 solutions

b.1 solution

c. 2 solutions

d. 0 solutions

Question 3 :

Soient, dans un repère orthonormé direct $(O,\,\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v})$ du plan complexe, les points $A$ ; $B$ ; $C$ et $D$ d’affixes respectives: $4+i$ ; $-2-i$ ; $2+3i$ et 1

Le triangle $ABC$

a. rectangle en $A$

b. rectangle en $B$

c. aucune des trois autres propositions n’est correcte

d. rectangle en $C$

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Corrigé du QCM de terminale D les nombres complexes et géométrie

Question 1 :

Un nombre complexe n’a pas de signe car il comporte une partie imaginaire.

De plus, ici, le nombre complexe $i$ est un imaginaire pur!

Question 2 :

Résolvons cette équation:

$z^3+z=0$

$\Leftrightarrow z(z^2+1)$

= $0$

$\Leftrightarrow z=0$ ou $z^2+1=0$

$\Leftrightarrow z=0$ ou $z^2=-1=i^2$

$\Leftrightarrow z=0$ ou $z=i$ ou $z=-i$

$0 \in \mathbb{R},$ $i \in \mathbb{C}$ et $(-i) \in \mathbb{C}$

Cette équation admet 1 solution dans $\mathbb{R}$

Question 3 :

On a

$AB^2=|z_B-z_A|^2$

= $|-2-i-(4+i)|^2$

= $|-2-i-4-i|^2$

= $|-6-2i|^2$

= $\sqrt{(-6)^2+(-2)^2}^2$

= $(-6)^2+(-2)^2$

= $36+4$

= $40$

$AC^2=|z_c-z_A|^2$

= $|2+3i-(4+i)|^2$

= $|2+3i-4-i|^2$

= $|-2+2i|^2$

= $\sqrt{(-2)^2+(2)^2}^2$

= $(-2)^2+(2)^2$

= $4+4$

= $8$

$BC^2=|z_C-z_B|^2$

= $|2+3i-(-2-i)|^2$

= $|2+3i+2+i|^2$

= $|4+4i|^2$

= $\sqrt{(4)^2+(4)^2}^2$

= $(4)^2+(4)^2$

= $16+16$

= $32$

On constate que $AC^2+BC^2=8+32=40=AB^2$ .

Donc d’après l réciproque du théorème de Pythagore $ABC$ est rectangle en $C$

Exercices sur les nombres complexes et géométrie pour le bac D

Exercice sur les polynômes en terminale D

On considère le polynôme $P$ défini par :

$P(z)=z^{4}-6z^{3}+24z^{2}-18z+63$

Question 1 :

Déterminer des réels $a$ , $b$ et $c$ tels que :

$\forall z \in \mathbb{C}$ , $P(z)=(z^{2}+3)(az^{2}+bz+c)$

Exercice sur une équation à résoudre

Question 2 :

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $P(z)=0$ .

Corrigé des exercices sur les nombres complexes et géométrie

Corrigé de l’exercice sur les polynômes

Partons de l’expression factorisée :

$(z^{2}+3)(az^{2}+bz+c)$

$=az^{4}+bz^{3}+(c+3a)z^{2}+3bz+3c$

Par identification entre les coefficients, nous obtenons une condition nécessaire et suffisante sur les réels $a$ , $b$ et $c$ :

$\forall z \in \mathbb{C}$ , $z^{4}-6z^{3}+24z^{2}-18z+63$

$=(z^{2}+3)(az^{2}+bz+c)$

$\Longleftrightarrow a=1$ , $b=-6$ , $c+3a=24$

$3b=-18$ et $3c=63$

$\forall z \in \mathbb{C}$ , $z^{4}-6z^{3}+24z^{2}-18z+63$

$=(z^{2}+3)(az^{2}+bz+c)$

$\Longleftrightarrow a=1$ , $b=-6$ et $c=21$

Ainsi, $\forall z \in \mathbb{C}$ , $P(z)$

$=z^{4}-6z^{3}+24z^{2}-18z+63$

$=(z^{2}+3)(z^{2}-6z+21)$

Corrigé de l’exercice sur l’équation en terminale D

$P(z)=0 \Longleftrightarrow (z^{2}+3)(z^{2}-6z+21)=0$

$\Longleftrightarrow z^{2}+3=0$ ou $z^{2}-6z+21=0$

Racines de $z^{2}+3$ : $z^{2}+3=0 \Longleftrightarrow z^{2}=-3=3i^{2} \Longleftrightarrow z=\pm i\sqrt{3}$

Racines de $z^{2}-6z+21$

$\Delta=(-6)^{2}-4 \times 1 \times 21=-48=48i^{2}$

$z_{1}=\dfrac{6-i\sqrt{48}}{2}=3-i\sqrt{12}=3-i2\sqrt{3}$ et

$z_{2}=\dfrac{6+i\sqrt{48}}{2}=3+i\sqrt{12}=3+i2\sqrt{3}$

Ainsi, les racines complexes de $P$ sont : $\{-i\sqrt{3},i\sqrt{3},=3-i2\sqrt{3},=3+i2\sqrt{3}\}$ .

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