Chapitres de maths en Terminale D

Exercices et corrigés : récurrence en Terminale D

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale D

Vous trouverez ci-dessous des exercices entièrrement corrigés sur le chapitre « Raisonnement par récurrence » adapté aux élèves de terminale D. Si vous souhaitez vous entrainer sur plus d’exercices, n’hésitez pas à télécharger l’application mobile PrepApp sur Apple Store ou Google Play.

1 – Calculs de sommes par récurrence

Exercice 1 :

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geq 1$ ,

$1+2+...+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

Exercice 2 sur le terme général d’une suite :

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geq 1$ ,

$1^2+2^2+...+n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Correction de l’exercice 1 :

Notons $S_n = 1+2+...+n$ et $P(n)$ la propriété $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

Initialisation : $P(1)$ est vraie car $S_1 = 1 = \dfrac{1 \times 2}{2}$

Hérédité : Soit $n \geq 1$ tel que $P(n)$ est vraie. Alors

$S_{n+1} = S_n+(n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1)$

Donc $S_{n+1} = \dfrac{(n+2)(n+1)}{2}$

Donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion : $P(n)$ est initialisée et héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq 1$

Correction de l’exercice 2 :

Notons $S_n = 1^2+2^2+...+n^2$ et $P(n)$ la propriété $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Initialisation : $P(1)$ est vraie car $S_1 = 1 = \dfrac{1 \times 2 \times 3}{6}$

Hérédité : Soit $n \geq 1$ tel que $P(n)$ est vraie. Alors

$S_{n+1} = S_n+(n+1)^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2$

donc $S_{n+1} = (n+1) \times \dfrac{n(2n+1) + 6(n+1)}{6}$

$S_{n+1} = (n+1) \times \dfrac{2n^2+7n+6}{6}$

$S_{n+1} = (n+1) \times \dfrac{(n+2)(2n+3)}{6}$

donc $P(n+1)$ est vraie

Conclusion : $P(n)$ est initialisée et héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq 1$

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2 – Suites $u_{n+1} = f(u_n)$

Exercice 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1} = 2 \times (u_n - 1)$

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_n = 2^n+2$

Exercice 4

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{3} \times u_n - 2$

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} \leq u_n$

Correction de l’exercice 3

Notons $P(n)$ la propriété $u_n = 2^n+2$

Initialisation : $P(0)$ est vraie car $u_0 = 3 = 2^0+2$

Hérédité : Soit $n \geq 0$ tel que $P(n)$ est vraie. Alors

$u_{n+1} = 2 \times (u_n - 1) = 2 \times (2^{n-1}+2-1)$

donc $u_{n+1} = 2^n+2$

donc $P(n+1)$ est vraie

Conclusion : $P(n)$ est initialisée et héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq 0$

Correction de l’exercice 4 :

Notons $P(n)$ la propriété $u_{n+1} \leq u_n$

Initialisation : $P(0)$ est vraie car $u_0 = 1$ , $u_1 = -\dfrac{5}{3}$ et $-\dfrac{5}{3} \leq 1$

Hérédité : Soit $n$ tel que $P(n)$ est vraie. Alors

$u_{n+2} = \dfrac{1}{3} \times u_{n+1}-2 \leq \dfrac{1}{3} \times u_n-2$

donc $u_{n+2} \leq u_{n+1}$

donc $P(n+1)$ est vraie

Conclusion : $P(n)$ est initialisée et héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq 0$ .

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3. Exercices plus difficiles sur la récurrence

Exercice 5

Si $n \in \mathbb{N }$ , 3 divise $2 ^{2 n} - 1$ .

Exercice 6

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ .

Si $f$ est croissante de $[\![1 ,\, n]\!]$ dans $[\![1, \, n]\!]$ , il existe $k \in [\![1 ,\, n]\!]$ tel que $f(k) = k$ .

Correction de l’exercice 5

On établit le résultat par récurrence sur $n$ . On note :

$\quad$ si $n \in \mathbb{N}$ , $H _n : 3$ divise $2 ^{2 n} - 1$ .

$\bullet$ $H_0$ est vraie car $2 ^{2 n} - 1 = 1 - 1 = 0$ est divisible par 3.

$\bullet$ On suppose que $H_n$ est vraie

$2 ^{2 n + 2} - 1 = 4 \times 2^{2 n } - 1$ $2 ^{2 n + 2} - 1 = 4 \left ( 2 ^{2 n} - 1 \right ) + 3$

En utilisant $H_n\,$ , il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que $2 ^{2 n } -1 = 3 \, p$ , on a donc prouvé que

$2 ^{2 n + 2} - 1 = 3 (p + 1)$ est divisible par 3.

$H_{n + 1}$ est vraie.

$\bullet$ La propriété est établie par récurrence.

Correction de l’exercice 6 :

Si $n \in \mathbb{N }^*$ , on note $H_n$ : Si $f$ est croissante de $[[1 \, , \, n]]$ dans $[[1 \,, \, n]]$ , il existe $k \in [[1 \, n]]$ tel que $f(k) = k$ .

$\bullet$ Pour $n = 1$ , $f$ est une fonction croissante de $\{1\}$ dans lui même, donc $f(1) = 1$ et $H_1$ est prouvée.

$\bullet$ On suppose que $H_n$ est vraie.

Soit $f$ croissante de $[[1 \, , \, n + 1 ]]$ dans $[[1 \,, \, n + 1 ]]$ .

$\ast$ Si $f( n + 1) = n + 1$ , le résultat est établi avec $k = n + 1$ .

$\ast$ Si $f(n + 1) < n$ , $f(n) \leqslant f(n + 1) \leqslant n$ .

La restriction $g$ de $f$ à $[[1\, , \, n ]]$ est une fonction croissante de $[[1 \, , \, n ]]$ dans lui-même, donc d’après $H_n$ , il existe $k \in [[1 \,, \, n ]]$ tel que