Chapitres de maths en Terminale D

Résumé de cours sur les suites en Terminale D

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale D

Vous trouverez ci-dessous un cours de maths sur les suites proposé aux élèves de terminale D.

1. Généralités sur les suites en terminale D

Définition :

Une suite $u=(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ :

$u=(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}\text{ : }\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}$

Dans la suite, on ne considérera que des suites définies à partir du rang $n=0$ , mais l’on peut bien sûr adapter les notations pour des suites définies à partir d’un rang $n_{0}>0$ : $(u_{n})_{n \geq n_{0}}$

Définition : suite majorée, minorée, bornée

Soit $(u_{n})$ une suite numérique

$(u_{n})$ est majorée ssi $\exists M \in \mathbb{R}\text{, }\forall n \in \mathbb{N}\text{, }u_{n} \leq M$

$(u_{n})$ est minorée ssi $\exists m \in \mathbb{R}\text{, }\forall n \in \mathbb{N}\text{, }u_{n} \geq m$

$(u_{n})$ est bornée ssi $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est à la fois majorée et minorée

Définition : suite croissante, décroissante, monotone

Soit $(u_{n})$ une suite numérique

$(u_{n})$ est croissante ssi $\forall n \in \mathbb{N}\text{, }u_{n+1} \geq u_{n}$

$(u_{n})$ est strictement croissante ssi $\forall n \in \mathbb{N}\text{, }u_{n+1} > u_{n}$

$(u_{n})$ est décroissante ssi $\forall n \in \mathbb{N}\text{, }u_{n+1} \leq u_{n}$

$(u_{n})$ est strictement décroissante ssi $\forall n \in \mathbb{N}\text{, }u_{n+1} < u_{n}$

$(u_{n})$ est constante ssi $\forall n \in \mathbb{N}\text{, }u_{n+1} = u_{n}$

$(u_{n})$ est monotone ssi elle est croissante ou décroissante

Propriété : suite définie par une fonction

Soit $f$ une fonction définie sur $[0, +\infty[$ et $(u_{n})$ une suite numérique définie pour $n \in \mathbb{N}$ par $u_{n}=f(n)$ :

si $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$ alors $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante

si $f$ est décroissante sur $[0, +\infty[$ alors $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante

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2 – Suites arithmétiques

Définition : $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite arithmétique ssi $\exists r \in \mathbb{R}\text{, }\forall n \in \mathbb{N}\text{, }\boxed{u_{n+1}=u_{n}+r}$ .

Le réel $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique $(u_{n})$ .

Propriétés : variations

Une suite arithmétique $(u_{n})$ est

strictement croissante ssi $r>0$
strictement décroissante ssi $r<0$
constante ssi $r=0$

Propriété : terme général d’une suite arithmétique

Une suite arithmétique $(u_{n})$ vérifie : $\forall n \geq 0 \text{, }\forall p \geq 0\text{, }\boxed{u_{n}=u_{p}+(n-p)r}$ .

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3 – Suites géométriques

Définition :

$(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique ssi $\exists q \in \mathbb{R}\text{, }\forall n \in \mathbb{N}\text{, }\boxed{u_{n+1}=u_{n} \times q}$ .

Le réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ .

Propriétés : variations

Une suite géométrique $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est :

strictement croissante si $q>1$
strictement décroissante si $0 < q < 1$
constante si $q=1$ ou $q=0$
alternée si $q < 0$

Propriété : terme général d’une suite géométrique

Une suite géométrique $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ vérifie : $\forall n \geq 0 \text{, }\forall p \geq 0\text{, }\boxed{u_{n}=u_{p} \times q^{n-p}}$ .

4. Convergence et limites

Définition :

Une suite $(u_{n})$ admet une limite réelle $l \in \mathbb{R}$ si et seulement si tout intervalle ouvert $]l-\epsilon, l+\epsilon[$ ( $\epsilon >0$ ) contenant $l$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_{n}=l$
$\Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0\text{, }\exists N \in \mathbb{N}\text{, }\forall n \geq N\text{, }$
$u_{n} \in ]l-\epsilon,l+\epsilon[$

Une suite est convergente si et seulement si elle admet une limite réelle finie

Une suite est divergente si et seulement si elle n’est pas convergente, c’est-à-dire si sa limite est $\pm \infty$ ou si elle n’admet pas de limite.

Propriétés :

Si une suite $(u_{n})$ est convergente et minorée par un réel $m$ alors :

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_{n} \geq m$

Si une suite $(u_{n})$ est convergente et majorée par un réel $M$ alors :

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_{n} \leq M$

Opérations sur les limites :

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites convergentes de limites respectives $l$ et $l'$ .

la suite $(u_{n}+v_{n})$ converge et admet pour limite $l+l'$

la suite $(u_{n} \times v_{n})$ converge et admet pour limite $l \times l'$

$\forall k \in \mathbb{R}$ , la suite $(k \times u_{n})$ converge et admet pour limite $k \times l$

Si $(v_{n})$ ne s’annule pas à partir d’un certain rang et si $l' \neq 0$ alors la suite $(\displaystyle{\frac{u_{n}}{v_{n}}})$ converge et admet pour limite $\displaystyle{\frac{l}{l'}}$ .

Attention aux formes indéterminées :

$-\infty+\infty=+\infty+(-\infty)=\text{F.I}$

$0 \times (+\infty)=\text{F.I}$

$0 \times (-\infty)=\text{F.I}$

$\frac{\pm \infty}{\pm \infty}=\text{F.I}$

$\frac{0^{\pm}}{0^{\pm}}=\text{F.I}$

Ici $0$ désigne une suite qui tend vers $0$ , et non pas le chiffre $0$

Théorème de comparaison et d’encadrement

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites convergentes de limites respectives $l$ et $l'$ .

Si, à partir d’un certain rang, on a $u_{n} < v_{n}$ (ou bien $u_{n} \leq v_{n}$ ) alors $l \leq l'$ , c’est-à-dire :

$\text{si }\exists N \in \mathbb{N}\text{, }\forall n \geq N\text{, }u_{n} < v_{n}$
$\text{ (ou }u_{n} \leq v_{n}\text{) alors }l \leq l'$

ATTENTION : on ne peut pas affirmer que $l < l'$ . Ce n’est pas toujours vrai !

Exemple : soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ , $u_{n}=\displaystyle{\frac{1}{n}}$ et $v_{n}=\displaystyle{\frac{2}{n}}$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ , $u_{n} < v_{n}$ et pourtant :