Chapitres de maths en Terminale S2

Exercices fonction logarithme népérien en Terminale S2

Beaucoup d’exercices sont classiques et permettent de progresser sur la fonction logarithme népérien en terminale S2. Retrouvez ci-dessous quelques exercices corrigés qui vous seront utiles dans votre préparation du bac S2.

QCM sur les limites et dérivées de Ln en terminale S2

Question 1 :

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln(x^2+x+1)$ de courbe représentative $(\mathcal{C})$ .

Question 1 :

$f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .

Question 2 :

$\mathcal{C}$ admet une unique asymptote verticale.

Question 3 :

Il existe deux points de $\mathcal{C}$ ayant une tangente à $\mathcal{C}$ parallèle à la droite $\Delta$ d’équation $y = x - \ln7.$

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Corrigé du QCM de terminale S2 les fonctions logarithme népérien

Question 1 :

Faux

$\displaystyle f'(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+1}$

$\bullet$ $x^2+x+1>0$

$\bullet$ $2x+1$ change de signe en $x=-0,5$

Ainsi, $f$ est décroissante sur $\left]-\infty; -0,5 \right]$ et croissante dur $\left]-0,5; +\infty \right[$

Question 2 :

Faux

$f$ est définie pour tous les réels et n’admet pas de limite infinie en un nombre fini: ( $\mathcal{C}$ ) ne peut admettre d’asymptote verticale.

Question 3 :

Vrai

Les parallèles à ont un coefficient directeur égal à 1.

$f'(x)=1$

$\Leftrightarrow 2x+1 =x^2+x+1$

$\Leftrightarrow x^2-x=0$

$\Leftrightarrow x(x-1)=0$

$\Leftrightarrow x=0$ ou $x=1$

Les tangentes à ( $\mathcal{C}$ ) aux points d’abscisses 0 et 1 sont parallèles à $\Delta$

Exercices sur les fonctions logarithme en terminale S2

Exercice sur l’étude d’une fonction en terminale S2

Démontrer que :

$\forall x \in \mathbb{R} \text{, }f(x)=x+f(-x)$

En déduire que la courbe $C$ admet en $+\infty$ une asymptote, notée $\Delta$ . Préciser la position de $C$ par rapport à $\Delta$ .

Exercice sur l’étude d’une fonction type bac

On considère la fonction $f$ définie sur $I=]-1;+\infty[$ par :

$f\text{ : }x \longmapsto x - \frac{ln(1+x)}{1+x}$

Soit $C$ sa courbe représentative.

Partie A : étude de certaines propriétés de la courbe $C$

Justifier que $f$ est dérivable sur $I=]-1;+\infty[$ et calculer sa dérivée

Corrigé des exercices sur les fonctions logarithme terminale S2

Corrigé de l’exercice sur l’étude d’une fonction

$\forall x \in \mathbb{R} \text{, }f(x)$

$= ln(1+e^{x})$

$= ln(e^{x}(e^{-x}+1)) = ln(e^{x}) + ln(1+e^{-x})$

$= x + f(-x)$

Ainsi

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) - x$

$= \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(-x)$

$= \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 0$

La fonction $f$ admet donc la droite $\Delta$ d’équation $y=x$ pour asymptote en $+\infty$ . De plus, $f$ étant positive, $\forall x \in \mathbb{R} \text{, }f(x)-x=f(-x) \geq 0$ . La courbe $C$ est donc au-dessus de la droite $\Delta$ .

Corrigé de l’exercice type bac en terminale S2

La fonction $f$ admet pour valeur interdite $-1$ , et la fonction $x \longmapsto ln(1+x)$ n’est définie que pour $1+x > 0 \Longleftrightarrow x > -1$ . Ainsi, $f$ est donc bien définie, continue, et dérivable sur $I=]-1;+\infty[$ , comme somme et produit de fonctions dérivables sur $I$ . Nous avons alors: