Cours en ligne Terminale S2 en maths

Chapitres de maths en Terminale S2

Résumé de cours logarithme népérien en Terminale S2

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale S2

Ce résumé de cours vous permettra de vous familiariser avec la fonction logarithme népérien au programme de terminale S2. N’hésitez pas à mettre en application ce résumé et ces formules avec les exercices et corrigés.

1. Définition fonction Logarithme népérien Terminale S2

La fonction logarithme népérien, communément notée $ln$ , est la bijection réciproque de la fonction Exp (exponentielle). Cette fonction est définit sur $\mathds{R}_{+}^{*}$

$\forall x \in ]0;+\infty[$ , $\forall y \in \mathbb{R}$ ,

$ln(x)=y \Longleftrightarrow e^{y}=x$

Signe de la fonction Ln

La fonction logarithme est strictement négative sur $]0;1[$ puis strictement positive sur $]1;+\infty[$ .

Propriétés de la fonction Ln Terminale S2

L’ensemble de définition de la fonction logarithme est $\mathds{R}_{+}^{*}$

$\forall x,y > 0$ , $ln(x \times y)=ln(x)+ln(y)$
$\forall x \in \mathbb{R}$ , $ln(e^{x})=x$
$\forall x > 0$ , $e^{ln(x)}=x$
La fonction logarithme s’annule en $1$ : $ln(1)=0$ .

Pour tous $x$ et $y$ dans $\mathds{R}_{+}^{*}$ , et tout entier $n$ :

$ln(xy)=ln(x)+ln(y)$
$ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=-ln(x)$
$ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=ln(x)-ln(y)$
$ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}ln(x)$
$ln\left(x^{n}\right)=nln(x)$

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2 – Fonction Ln terminale S2 : dérivée et limites

Limites de la fonction Ln :

$\lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} ln(x) = +\infty$

$\lim\limits_{x \longrightarrow 0} ln(x) = -\infty$

$\lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0$

$\lim\limits_{h \longrightarrow 0} \frac{ln(1+h)}{h} = 1$

Dérivée et sens de variation

La fonction logarithme népérien est dérivable sur $\mathds{R}_{+}^{*}$ et, pour tout réel $x > 0$ :

$ln'(x)=\dfrac{1}{x}$

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $\mathds{R}_{+}^{*}$ ,

On a alors pour tous réels $x$ et $y$ de $\mathds{R}_{+}^{*}$ :

$x < y \Longleftrightarrow ln(x) < ln(y)$

$x=y \Longleftrightarrow ln(x)=ln(y)$

Soit une fonction $f$ positive ne s’annulant pas sur un intervalle $I$ ,

On a alors $ln(f)$ dérivable sur $I$ et, pour tout $x$ de $I$ :

$\left(ln(f)\right)'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$

Tableau de variations et courbe

La fonction logarithme est strictement croissante sur $\mathds{R}_{+}^{*}$ .

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3 – Terminale S2 : Fonction logarithme décimal

La fonction logarithme décimal, notée $log$ , et définie sur $\mathds{R}_{+}^{*}$ par :

$log(x)=\dfrac{ln(x)}{ln(10)}$

D’autres résumés de cours sont proposés ci-après en terminale S2 :

Résumé de cours sur les suites en terminale S2

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