Chapitres de maths en Terminale S2

Exercices et corrigés sur les limites, continuité et dérivabilité en Terminale S2

Beaucoup d’exercices sont classiques et permettent de progresser sur les limites, continuité et dérivabilité en terminale S2. Retrouvez ci-dessous quelques exercices corrigés qui vous seront utiles dans votre préparation du bac S2.

QCM sur les limites, continuité et dérivabilité en terminale S2

Question 1 :

la dérivée de $x\longmapsto x\times e^x$ est $x\longmapsto e^x$

Question 2 :

$\displaystyle\lim_{x\longrightarrow+\infty}\frac{\ln(x)-1}{x}=+\infty$

Question 3 :

$\displaystyle\lim_{x\longrightarrow-\infty} \exp( x)=-\infty$

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Corrigé du QCM de terminale S2 les limites, continuité et dérivabilité

Question 1 :

Faux. Si $f(x)=x\times e^x$ alors $f'(x)=1\times e^x+x\times e^x=e^x+xe^x$

Question 2 :

Faux. $\displaystyle\lim_{x\longrightarrow+\infty}\frac{\ln(x)-1}{x}=+\infty$

D’après les croissances comparées :

$=\displaystyle\lim_{x\longrightarrow+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0$ ,

Question 3 :

Faux. $\displaystyle\lim_{x\longrightarrow-\infty} \exp( x)=0$

Exercices sur les limites, continuité et dérivabilité

Exercice sur les droites asymptotes

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}-\{1\}$ par :

$f(x)=\displaystyle{\frac{x^{2}+x-1}{x-1}}$ .

Soit $C$ sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

Quelles sont les droites asymptotes à $C$ ? Préciser la position de $C$ par rapport à son asymptote oblique.

Exercice sur le centre de symétrie terminale S2

Démontrer que $C$ admet un centre de symétrie.

Corrigé des exercices sur les limites, continuité et dérivabilité

Corrigé de l’exercice sur les droites asymptotes

Nous avons prouvé plus haut que $\forall x \in \mathbb{R}-\{1\}\text{, }f(x)=x+2+\dfrac{1}{x-1}$ . Ainsi, nous pouvons affirmer que :

$\lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} |f(x)-(x+2)| = \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \dfrac{1}{x-1} = 0$

La courbe $C$ admet donc la droite d’équation $y=x+2$ pour asymptote oblique en $-\infty$ et $+\infty$ .

Corrigé de l’exercice sur le centre de symétrie en terminale S2

Le point $A(x_{A},y_{A})$ est un centre de symétrie pour la courbe $C$ si et seulement si pour tout point $M(x,y) \in C$ , le point $M'(x',y')$ , symétrique de $M$ par rapport à $A$ appartient également à $C$ .

Remarque : comme la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R} - \{1\} = ]-\infty,1[ \cup ]1,+\infty[$ , on peut pressentir que le centre de symétrie de la courbe $C$ aura pour abscisse $x_{A}=1$ .

De plus, nous avons démontré que la courbe $C$ admet la courbe $\Delta$ : $y=x+2$ pour asymptote oblique en $-\infty$ et $+\infty$ , en lui étant inférieure en $-\infty$ et supérieure en $\infty$ .

On peut également pressentir que le centre de symétrie de la courbe $C$ se trouvera exactement sur la droite $\Delta$ .

On peut alors déterminer son ordonnée grâce à l’équation de la droite :

$y_{A}=1+2=3$

Ainsi le centre de symétrie de la courbe $C$ est

$A(1;3)$

Retrouvez des exercices et corrigés des cours de maths niveau terminale S2 :