Chapitres de maths en Terminale S2

Exercices et corrigés sur les équations différentielles en Terminale S2

Beaucoup d’exercices sont classiques et permettent de progresser sur les équations différentielles en terminale S2. Retrouvez ci-dessous quelques exercices corrigés qui vous seront utiles dans votre préparation du bac S2.

Questions équations différentielles en terminale S2

Question 1 :

Résoudre l’équation $y' + y = \textrm{e} ^{2\, x}$

En cherchant une solution particulière sous la forme $x \mapsto a \, \textrm{e}^{2\, x}$ où $a \in \mathbb{R}$ .

Question 2 :

Résoudre $y' + y = (x+1) \, \textrm{e} ^{- x}$

En cherchant une solution particulière sous la forme $x \mapsto (a \, x ^2 + b \, x) \, \textrm{e}^{- x}$ .

Question 3 :

Résoudre l’équation

$\quad 7\, y' + 2\, y = 2\, x^3 - 5\, x ^2 + 4\, x - 1$

En cherchant une solution particulière sous forme d’une fonction polynôme de degré 3.

Exercices terminale S2: où il faut passer par une équation différentielle.

On se propose de déterminer toutes les fonctions $f$ définies et dérivables sur l’intervalle

$I =\; ]0 ,\, +\infty[$ vérifiant l’équation différentielle

$(E) : x f '(x)-(2\, x +1) f (x) = 8\, x^2$ .

Question 1

Si $f$ est solution de $(E)$ , alors la fonction g définie sur l’intervalle $]0 ,\, + \infty[$ par $g (x) =\dfrac {f(x)} x$ est solution de l’équation différentielle $\qquad \quad (E') : y' = 2\,y +8$ .

Question 2

Résoudre $(E')$ et en déduire toutes les solutions de $(E)$ .

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Corrigé des questions sur les équations différentielles terminale S2

Question 1 :

La solution générale de l’équation $y' + y = 0$ est $x \mapsto k \, \textrm{e} ^{ - x}$ où $k \in \mathbb{R}$ .

Soit $f : x \mapsto a \, \textrm{e}^{2\, x}$

Pour tout réel $x$ , $f'(x) = 2\, a \, \textrm{e}^{2\, x}$

Pour tout réel $x$ , $f'(x) + f(x) = \textrm{e} ^{2\, x}$

ssi $3\, a \, \textrm{e} ^{2\, x} = \textrm{e} ^{2\, x}$ ssi $a = \dfrac 1 3$ .

L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions

$\qquad x \mapsto \dfrac 1 3 \, \textrm{e} ^{2\, x} + k \, \textrm{e} ^{-x}$ où $k \in \mathbb{R}$ .

Question 2 :

La solution générale de l’équation $y' + y = 0$ est $x \mapsto k \, \textrm{e} ^{ - x}$ où $k \in \mathbb{R}$ .

Soit pour $x \in \mathbb{R}$ , $f(x) = (a \, x ^2 + b \, x) \, \textrm{e}^{- x}$

$f'(x) = - (a \, x ^2 + b \, x) \, \textrm{e}^{- x}$ $\qquad \qquad +\, (2\, a \, x + b \, ) \, \textrm{e}^{- x}$

$f'(x) = \left (- a\, x^2 + ( 2\, a - b) \, x + b \right ) \,\textrm{e}^{- x}$

Pour tout réel $x$ ,

$\qquad f'(x) + f(x) = (x+1) \, \textrm{e}^{- x}$

ssi pour tout réel $x$ ,

$\left ( (a - a) \, x ^3 + (b + 2\, a - b) \, x + b \right ) \,\textrm{e}^{- x}$ $\qquad \qquad \qquad = (x + 1) \,\textrm{e}^{- x}$

ssi $2\, a\, x + b = x + 1$

ssi $\left \{ \begin{matrix} 2\, a = 1\\ b = 1\end{matrix} \right.$

ssi $a = \dfrac 1 2$ , $b = 1$

Donc $x \mapsto \left ( \dfrac 1 2 \, x ^2 + x \right ) \, \textrm{e} ^{ - x}$ est une solution pariculière de l’équation.

La solution générale de l’équation $y' + y = (x + 1) \, \textrm{e} ^{ - x}$ est $x \mapsto \left ( \dfrac 1 2 \, x ^2 + x + k \right ) \, \textrm{e} ^{ - x}$ où $k \in \mathbb{R}$ .

Question 3 :

$\bullet$ La solution générale de l’équation homogène $7\, y' + 2\, y = 0$ soit $y' = - \dfrac 2 7 \, y = 0$ est $x \mapsto k \, \textrm{e} ^{- 2\, x / 7}$ où $k\in\mathbb{R}$ .

$\bullet$ Soit si $x \in \mathbb{R}$ , $P(x) = a\, x ^3 + b \, x ^2 + c\, x + d$

$P'(x) = 3\, a \, x^2 + 2\, b \, x + c$

Pour tout réel $x$ ,

$7\, P'(x) + 2\, P(x) = 2\, x^3 - 5\, x ^2 + 4\, x - 1$

ssi pour tout réel $x$

$2\, a \, x^3 + (2\, b + 21\, a)\, x ^2 + (2\, c + 14 \, b)\, x$ $\qquad \quad + \, 2\, d + 7 \, c =2\, x^3 - 5\, x ^2 + 4\, x - 1$

ssi $\left \{ \begin{matrix} 2\, a = 2\\ 2\, b + 21\, a = - 5\\ 2\, c + 14\, b = 4\\ 2\, d + 7\, c = - 1\end{matrix} \right.$

ssi $\left \{ \begin{matrix} a = 1\\ 2\, b = - 26\\ 2\, c = 4 + 14 \times 13 \\ 2\, d = - 1 - 7\times 93\end{matrix} \right.$

L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions

$x \mapsto k \, \textrm{e} ^{- 2\, x / 7} + x^3 - 13 \, x ^2 + 93\, x - 326$ où $k \in \mathbb{R}$

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Corrigé des exercices sur foncions sur les équations différentielles

Corrigé question 1

$g$ est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables sur $]0 ,\, +\infty[$ .

Si $x > 0$ , $g'(x) = \dfrac {x \, f'(x) - f(x)} {x ^ 2}$

donc $g'(x) - 2\, g(x) = \dfrac {x \, f'(x) - f(x)} {x ^ 2} - 2\, \dfrac {f(x)} x$

$g'(x) - 2\, g(x) = \dfrac {x \, f'(x) - (2\, x + 1) \, f'(x)} {x ^2} = \dfrac {8\, x ^2} {x ^2}$

soit $g'(x) - 2\, g(x) = 8$ .

Corrigé question 2 en terminale S2

La solution générale de $(E')$ est la fonction $h : x \mapsto k \, \textrm{e} ^{2\, x} - 4$

Grâce aux deux premières questions, $f$ est solution de $(E)$ ssi $h : x \mapsto \dfrac {f(x)} x$ est solution de $(E')$ .

L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions définies sur

$]0 , + \infty[$ , $\qquad \quad x \mapsto \dfrac { k \, \textrm{e} ^{2\, x} - 4} x$ où $k \in \mathbb{R}$ .

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