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Fonction affine en seconde générale

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Seconde générale

Ce cours en ligne de maths en seconde générale permet aux élèves de réviser le chapitre de la fonction affine. Un professeur particulier de maths vous offre aussi l’opportunité de progresser sur les fonctions affine en seconde.

Ce chapitre fait partie des incontournables du programme de seconde avec d’autres chapitres tels que l’arithmétique, les généralités et variations de fonction, etc.

Fonction affine : définition

Une fonction f est une fonction affine si, pour tout réel $x$ ,

$f(x) = mx + p$ , $m \in \mathbb{R}$ , $p \in \mathbb{R}$

Une fonction affine est représentée dans un repère par une droite.

$m$ est donc le coefficient directeur de la droite représentative de la fonction, et $p$ est l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.

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Signe d’une fonction affine

Propriété

Soit $f (x) = mx + p$ , où $m \neq 0$ .

$\bullet$ Si $m < 0$ alors le signe de $f (x)$ est donné par le tableau suivant :

$\bullet$ Si $m > 0$ alors le signe de $f (x)$ est donné par le tableau suivant :

Et si $m > 0$ , la fonction est croissante :

La droite est au-dessus de l’axe des abscisses pour $x < − \dfrac{p}{m}$ , ce qui signifie que $f (x) > 0$ sur $\left]-\infty; − \dfrac{p}{m}\right[$ et donc :

$f (x) < 0$ sur $\left] − \dfrac{p}{m} ; + \infty \right[$

d’où le tableau de signes :

Fonction affine et linéaire

Définition d’une fonction affine linéaire

Une fonction $f$ est une fonction linéaire si pour tout réel $x$ , $f (x) = mx$ , $m \in \mathbb{R}$ .

C’est un cas particulier de fonctions affines. La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.

Propriété d’une fonction affine linéaire

Soit $f(x) = mx$ , avec $m \neq 0$ .

$\bullet$ Si $m < 0$ alors le signe de $f (x)$ est donné par le tableau suivant :

$\bullet$ Si $m > 0$ alors le signe de $f (x)$ est donné par le tableau suivant :

Fonction affine linéaire : équations-produits

Définition

Une équation-produit (sous-entendu équation-produit nul) est une équation dont un membre est le produit de plusieurs fonctions affines ou linéaires et dont le second membre est le nombre 0.

- Exemple :

Soit $(2x − 1)(3x + 8) = 0$ une équation. Cette équation est-elle une équation produit ?

Le membre de gauche est le produit des fonctions affines $x \mapsto 2x −1$ et $x \mapsto 3x +8$ .

Théorème

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

- Exemple :

$(2x −1)(3x +8) = 0 \Longleftrightarrow 2x −1 = 0$ ou $3x +8 = 0$

$\Longleftrightarrow 2x = 1$ ou $3x = −8$

$\Longleftrightarrow x = \dfrac {1}{2}$ ou $x = - \dfrac{8}{3}$

L’ensemble de solution de l’équation $(2x −1)(3x +8) = 0$ est donc S = $\{ \dfrac {1}{2} ; − \dfrac{8}{3} \}$ .

Fonction affine linéaire : inéquations-produits

Définition

Une inéquation-produit (sous-entendu inéquation-produit nul) est une inéquation dont un membre est le produit de plusieurs fonctions affines ou linéaires et dont le second membre est le nombre 0.

- Exemple :

On souhaite résoudre l’inéquation :

$(3x - 5)(-7x - 8) \leqslant 0$

$\bullet$ on cherche le signe de chaque facteur.

Soit $3x - 5 > 0$ .

Cette équation correspond à quelle proposition parmi les suivantes :

a) $x < \dfrac{3}{5}$

b) $x > \dfrac{5}{3}$

c) $x < \dfrac{5}{3}$

d) $x > \dfrac{3}{5}$

- Solution

$3x - 5 > 0 \Longleftrightarrow 3x > 5$

$\Longleftrightarrow x > \dfrac {5}{3}$

De même,

$-7x -8 > 0 \Longleftrightarrow -7x > 8$

$\Longleftrightarrow < -\dfrac {8}{7}$

$\bullet$ on en déduit le tableau de signe

Donc l’ensemble solution de l’inéquation est :

S = $\left]- \infty ; - \dfrac {8}{7}\right]$ $\cup$ $\left[ \dfrac {5}{3}; − \infty \right]$

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Fonction affine linéaire : inéquations-quotients

Définition

Une inéquation-quotient est une inéquation où un membre est de la forme $\dfrac {N(x)}{D(x)}$ , où $N(x)$ et $D(x)$ sont des produits de fonctions affines.

- Exemple

$\dfrac {3 - 2x}{7x + 6} \geqslant 0$ est une inéquation – quotient.

Pour résoudre une inéquation-quotient, on procède de la même façon que pour les inéquations-produits, à ceci près que l’on doit toujours exclure sur la dernière ligne du tableau de signes les valeurs de x qui annulent le dénominateur.

Cela se traduit par des doubles barres, symbolisées par « || », au niveau des valeurs de x à exclure.

- Exemple de résolution

On souhaite résoudre l’inéquation :

$\dfrac {(7x - 21)(20 - 5x)}{8x + 16} \geqslant 0$

Sous quel nombre y aura-t-il des doubles barres dans le tableau de signes ?

a) -2

b) 3

c) 2

d) 4

Les doubles barres symbolisent une valeur impossible, qui annule le dénominateur. Or cette valeur est -2. Cela se trouve facilement avec une résolution d’équation comme vu plus haut.

L’ensemble solution de l’inéquation est donc : S = $\left]-\infty; − 2 \right[ \cup \left[ 3 ; 4 \right]$

Ce cours sur la fonction affine en seconde est aussi disponible sur l’application mobile PrepApp.

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