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Cours d’arithmétique en seconde

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Seconde

Ce chapitre d’Arithmétique est généralement traité en début d’année de seconde avec le chapitre sur les ensembles. Ensuite sont traités différentes chapitres sur les fonctions : généralités sur les fonctions, variations de fonctions et fonctions affines notamment.

N’hésite pas à prendre un prof de maths qui offre l’avantage de pouvoir suivre un programme de seconde personnalisé en fonction de tes besoins spécifiques, ce qui peut grandement contribuer à sa réussite en Arithmétique.

1. Arithmétique en 2nde : Multiples et diviseurs

a) Définitions

Soit n un nombre entier (naturel ou relatif ).

$\bullet$ On appelle diviseurs de $n$ tous les nombres entiers $q$ tels que

$\dfrac {n}{q}$ $\in$ $\mathbb{Z}$ (ensemble des entiers relatifs).

$\bullet$ On appelle multiples de $n$ tous les nombres de la forme $k \times n$ , où $k$ $\in$ $\mathbb{Z}$ .

- Remarque : Si $q$ est un diviseur de $n$ alors on dit que $n$ est divisible par $q$ .

Exemple : 2 est-il un diviseur de 12 ?

2 est un diviseur de 12 car $\dfrac {12}{2}$ = 6 $\in$ $\mathbb{Z}$ .

b) Critères de divisibilité

Un critère de divisibilité est une règle permettant de savoir si un entier est divisible par un autre entier.

1- Critère de divisibilité par 2

Propriété : Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8
- Remarque : Quand un entier est divisible par 2, on dit qu’il est pair. Sinon, on dit qu’il est impair.

Exemple : 77 est -il divisible par 2 ?

77 n’est pas divisible par 2 car son chiffre des unités est 7.

Propriété

Si $n$ est pair alors il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$ .

Si $n$ est impair alors il existe un entier $k$ tel que $n = 2k +1$ .

2- Critère de divisibilité par 3

Propriété : Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.

Exemple : 123 est-il divisible par 3 ?

123 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est 1+2+3 = 6, et 6 est divisible par 3.

3- Critère de divisibilité par 5

Propriété : Un entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.

4- Une propriété importante

Propriété : Soient $p$ et $q$ deux entiers. Un entier $n$ est divisible par $p \times q$ si et seulement si il est divisible par $p$ et $q$ .

c) Somme de deux multiples

Propriété : Soient $a$ un entier relatif. Soient $m$ et $n$ deux entiers multiples de $a$ .

Alors $m$ + $n$ est un multiple de $a$

- Démonstration : m est un multiple de a donc il existe un entier k tel que $m = ka$ .

De même, n est un multiple de a donc il existe un entier $k'$ tel que $n = k'a$ .

Ainsi, $m +n = ka +k'a = (k +k')a$ .

Or, $k$ $\in$ $\mathbb{Z}$ et $k'$ $\in$ $\mathbb{Z}$ donc $k +k'$ $\in$ $\mathbb{Z}$ . Ainsi, $(k +k')a$ est un multiple de $a$ .

Donc $m +n$ est un multiple de $a$ .

d) Carré d’un nombre impair

Propriété : Soit $a$ un nombre impair.

Alors, $a²$ est impair.

- Démonstration :

Si $a$ est impair alors il existe un entier $k$ tel que : $a = 2k +1$ .

Ainsi, $a² = (2k +1)²$

= (2 $k$ )² +2 × 2 $k$ × 1 + 1² = $4k²$ + 4 $k$ + 1.

Or, $4k² = 2×2k²$ et $4k = 2×2k$ donc ce sont deux nombres pairs.

Ainsi, leur somme est aussi paire. Donc, quand on ajoute 1 à cette somme, cela donne un résultat impair.

Par conséquent, $4k² +4k +1$ est impair, donc $a²$ est impair.

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2. Arithmétique seconde PPCM et PGCD

a) PPCM

Définition : Soient $a$ et $b$ deux entiers.

On appelle ppcm (plus petit commun multiple) de $a$ et $b$ le plus petit nombre $m$ qui est à la fois multiple de $a$ et de $b$ .

On le note ppcm( $a$ ; $b$ ).

Exemple : Que vaut ppcm(6,15) ?

Si $a$ = 6 et $b$ = 15, alors

ppcm(6; 15) = 30 car :

$\bullet$ les multiples de 6 sont : 6, 12, 18, 24, 30, 36, etc.

$\bullet$ les multiples de 15 sont : 15, 30, 45, etc.

Le plus petit multiple commun est donc 30.

b) PGCD

Définition : Soient $a$ et $b$ deux entiers.

On appelle pgcd (plus grand commun diviseur) de $a$ et $b$ le plus grand nombre $d$ qui divise à la fois $a$ et $b$ .

On le note pgcd( $a$ ; $b$ ).

Exemple : Que vaut pgcd(210 ; 49) ?

Si $a$ = 210 et $b$ = 49 alors pgcd(201; 49) = 7 car :

$\bullet$ 210 = 2×3×5×7. Les diviseurs de 210 sont donc :

{1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 2 x 3 = 6 ;

2 x 5 = 10 ; 2 x 7 = 14 ; 5 x 3 = 15

7 x 3 = 21 ; 2 x 3 x 5 = 30 ;

5 x 7 = 35 ; 2 x 3 x 7 = 42 ;

3 x 5 x 7 = 105 ;

2 x 3 x 5 x 7 = 210}

$\bullet$ 49 = 7×7

Ainsi, le plus grand diviseur commun est 7.

Propriété

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels tels que $a = bq +r$ ,

0 $\leqslant$ $r < b$ et $q$ ∈ $\mathbb{N}$ .

Alors, pgcd( $a$ ; $b$ ) = pgcd( $b$ ; $r$ ).

Pour calculer le pgcd de deux nombres, on utilisera la propriété précédente autant que nécessaire. Par exemple, pour calculer pgcd(126; 24) :

$\bullet$ on écrit d’abord que 126 = 5×24+6, donc pgcd(126; 24) = pgcd(24; 6);

$\bullet$ on écrit ensuite que 24 = 4×6+0, donc pgcd(24; 6) = pgcd(6; 0) = 6.

L’écriture $a = bq +r$ est appelée la division euclidienne de $a$ par $b$ .

Le fait d’écrire les divisions euclidiennes successives tel que nous l’avons fait constitue ce que l’on nomme l’algorithme d’Euclide.

Propriété

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. Alors, pgcd( $a$ ; $b$ ) est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.

Exemple

$a$ = 775 et $b$ = 372.

L’algorithme d’Euclide donne :

775 = 2×372+ 31

372 = 12×31+0.

Le dernier reste non nul est 31 donc pgcd(775; 372) = 31.

Propriété

pgcd( $a$ ; $b$ ) = 1 $\iff$ $\dfrac {a}{b}$ est irréductible.

Si $\dfrac {a}{b}$ n’est pas irréductible alors on divise a et b par pgcd(a ; b) pour simplifier au maximum la fraction.

Exemple

pgcd(775; 372) = 31 (voir exemple précédent) donc

$\dfrac {775}{372}$ = $\dfrac {775÷31}{372÷31}$ = $\dfrac {25}{12}$ .

Propriété

Pour tous entiers naturels $a$ et $b$ , ppcm( $a$ ; $b$ ) $\times$ pgcd( $a$ ; $b$ ) = $ab$ .

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3. Arithmétique en seconde: Nombres premiers

a) Définition

Définition : Un entier naturel est premier s’il admet deux uniques diviseurs : 1 et lui-même.
- Remarque : Le nombre « 1 » n’est pas premier car il n’admet qu’un seul diviseur (et non 2). La liste des nombres premiers commence ainsi : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ;17 ; 19 ; 23…
- Remarque : Cette liste ne s’arrête pas; on dit que l’ensemble des nombres premiers est infini (mais ce n’est pas au programme…).

b) Décomposition en produit de facteurs premiers