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Cours d’arithmétique en seconde : multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs

Q: Qu'est-ce qui est au programme d'arithmétique en seconde ?

Depuis la rentrée 2026, le programme comprend les notations ℕ et ℤ, les notions de multiple, de diviseur, de nombre pair et de nombre impair, la présentation des fractions sous forme irréductible et deux démonstrations : la somme de deux multiples de a est un multiple de a, et le carré d'un nombre impair est impair.

Q: Les nombres premiers sont-ils au programme de seconde ?

Le programme de seconde publié au Bulletin officiel du 2 avril 2026 ne les cite pas. Ils ont été étudiés au collège et restent utiles en seconde pour décomposer un nombre et simplifier une fraction.

Q: Le nombre 1 est-il un nombre premier ?

Non. Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs distincts, 1 et lui-même. Le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur positif, donc il n'est pas premier. Le plus petit nombre premier est 2, qui est aussi le seul nombre premier pair.

Q: 0 est-il un nombre pair ?

Oui. Un nombre est pair s'il s'écrit 2k avec k entier, et 0 = 2 × 0. Zéro est d'ailleurs un multiple de tous les entiers.

Q: Quelle est la différence entre un multiple et un diviseur ?

Si a = k × b avec k entier, a est un multiple de b et b est un diviseur de a. Par exemple, 42 = 6 × 7 : 42 est un multiple de 7, et 7 est un diviseur de 42. Un entier non nul a un nombre fini de diviseurs mais une infinité de multiples.

Q: Comment calculer le PGCD de deux nombres ?

Avec l'algorithme d'Euclide : on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et ainsi de suite. Le PGCD est le dernier reste non nul. Pour 126 et 84 : 126 = 1 × 84 + 42, puis 84 = 2 × 42 + 0, donc le PGCD vaut 42.

Par Seda Biber, mis à jour le 22/10/2026

L’arithmétique est la partie des mathématiques qui étudie les nombres entiers et la façon dont ils se divisent les uns par les autres. En seconde, le programme en vigueur depuis la rentrée 2026 vous demande de maîtriser les notations $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ , les notions de multiple, de diviseur, de nombre pair et de nombre impair, et de savoir écrire une fraction sous forme irréductible. Deux démonstrations sont au programme : la somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$ , et le carré d’un nombre impair est impair.

Ce résumé reprend chaque notion avec une définition, une méthode et un exemple corrigé. Il fait partie des cours en ligne de maths de seconde de Groupe Réussite.

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Seconde

Notion	À retenir	Exemple
$\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$	$\mathbb{N}$ : entiers naturels 0, 1, 2… ; $\mathbb{Z}$ : entiers relatifs …, −2, −1, 0, 1, 2…	$-3 \in \mathbb{Z}$ mais $-3 \notin \mathbb{N}$
Multiple	$a$ est un multiple de $b$ s’il existe un entier $k$ tel que $a = kb$	$42 = 6 \times 7$ : 42 est un multiple de 7
Diviseur	si $a = kb$ avec $b \neq 0$ , $b$ est un diviseur de $a$	7 est un diviseur de 42
Nombre pair	$n = 2k$ avec $k$ entier	0, 18 et −6 sont pairs
Nombre impair	$n = 2k + 1$ avec $k$ entier	$7 = 2 \times 3 + 1$
Somme de multiples	si $m$ et $n$ sont des multiples de $a$ , $m + n$ aussi	$21 + 35 = 56 = 7 \times 8$
Carré d’un impair	si $n$ est impair, $n^2$ est impair	$7^2 = 49$
Fraction irréductible	numérateur et dénominateur n’ont aucun diviseur commun positif autre que 1	$\dfrac{84}{126} = \dfrac{2}{3}$

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Qu’est-ce que l’arithmétique en seconde ?

L’arithmétique étudie les nombres entiers : lesquels se divisent les uns par les autres, lesquels sont pairs, comment les décomposer. Le mot vient du grec arithmos, qui signifie « nombre ». En seconde, le chapitre reprend des notions vues au collège et les écrit avec des lettres, ce qui permet de démontrer des propriétés vraies pour tous les entiers, et pas seulement de les vérifier sur quelques exemples.

Le programme publié au Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026 fixe ce qui est attendu :

Contenus : les notations $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ , les définitions de multiple, de diviseur, de nombre pair et de nombre impair.
Capacités : modéliser et résoudre des problèmes avec ces notions, présenter les fractions sous forme irréductible.
Démonstrations : la somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$ ; le carré d’un nombre impair est impair.
Algorithmes : tester si un entier naturel $a$ est un multiple d’un entier naturel $b$ ; trouver le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$ .

Les nombres premiers, le PGCD et le PPCM ne figurent pas dans cette liste. Les nombres premiers ont été étudiés au collège et, avec le PGCD et le PPCM, ils restent des outils pratiques pour simplifier une fraction. C’est à ce titre qu’ils sont présentés plus bas.

Que désignent les ensembles ℕ et ℤ ?

$\mathbb{N}$ est l’ensemble des entiers naturels : 0, 1, 2, 3, 4… Ce sont les entiers positifs ou nuls.
$\mathbb{Z}$ est l’ensemble des entiers relatifs : …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3… Ce sont les entiers positifs et négatifs.

Tout entier naturel est aussi un entier relatif, ce qui s’écrit $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ . Pour indiquer qu’un nombre appartient à un ensemble, on utilise le symbole $\in$ , et $\notin$ dans le cas contraire.

Exemples : $5 \in \mathbb{N}$ ; $-5 \in \mathbb{Z}$ mais $-5 \notin \mathbb{N}$ ; $2{,}5 \notin \mathbb{Z}$ .

Comment savoir si un nombre est un multiple ou un diviseur d’un autre ?

Définition : soit $a$ et $b$ deux entiers. On dit que $a$ est un multiple de $b$ s’il existe un entier $k$ tel que :

$a = kb$

Lorsque $b \neq 0$ , on dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$ , ou que $a$ est divisible par $b$ .

Exemple : $42 = 6 \times 7$ . Donc 42 est un multiple de 7, 7 est un diviseur de 42, et 42 est divisible par 7 (et par 6).

Trois remarques à connaître :

0 est un multiple de tous les entiers, car $0 = 0 \times b$ .
1 et −1 sont des diviseurs de tous les entiers.
Un entier non nul a un nombre fini de diviseurs, mais une infinité de multiples.

Comment tester si a est un multiple de b ?

Calculez $a \div b$ (avec $b \neq 0$ ). Si le résultat est un entier, $a$ est un multiple de $b$ . Sinon, il ne l’est pas.

Exemples : $91 \div 7 = 13$ , donc 91 est un multiple de 7. En revanche, $35 \div 4 = 8{,}75$ , donc 35 n’est pas un multiple de 4.

En Python, ce test s’écrit avec l’opérateur %, qui donne le reste de la division euclidienne. Le reste est nul exactement quand $a$ est un multiple de $b$ :

def est_multiple(a, b):
    return a % b == 0

L’appel est_multiple(91, 7) renvoie True.

Pour trouver le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$ , effectuez la division euclidienne de $b$ par $a$ : $b = aq + r$ avec $0 \leqslant r < a$ . Le multiple cherché est $aq$ .

Exemple : le plus grand multiple de 7 inférieur ou égal à 100. On a $100 = 7 \times 14 + 2$ , donc c’est $7 \times 14 = 98$ . En Python : (b // a) * a, où // donne le quotient entier.

Comment trouver tous les diviseurs d’un entier ?

Cherchez tous les produits de deux entiers positifs égaux au nombre, en testant 1, 2, 3… jusqu’à ce que les deux facteurs se rejoignent.

Exemple avec 36 : $1 \times 36$ , $2 \times 18$ , $3 \times 12$ , $4 \times 9$ , $6 \times 6$ . Les diviseurs positifs de 36 sont donc 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36. Si l’énoncé travaille dans $\mathbb{Z}$ , ajoutez leurs opposés : −1, −2, −3, −4, −6, −9, −12, −18 et −36.

Quels critères de divisibilité utiliser ?

Les critères de divisibilité, vus au collège, permettent de savoir si un entier est divisible par un autre sans poser la division. Ils ne sont pas cités dans le programme de seconde, mais ils font gagner du temps pour simplifier une fraction.

Divisible par	Critère	Exemple
2	le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8	1 358
3	la somme des chiffres est divisible par 3	123 : $1 + 2 + 3 = 6$
4	le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4	2 132 : $32 = 4 \times 8$
5	le chiffre des unités est 0 ou 5	745
9	la somme des chiffres est divisible par 9	4 572 : $4 + 5 + 7 + 2 = 18$
10	le chiffre des unités est 0	13 450

💡 Astuce : un nombre divisible par 2 et par 3 est divisible par 6. Mais cette règle ne marche pas avec n’importe quels diviseurs : 12 est divisible par 4 et par 6, et pourtant 12 n’est pas divisible par 24. Elle fonctionne seulement quand les deux diviseurs n’ont aucun diviseur commun autre que 1, comme 2 et 3, ou 3 et 5.

Pourquoi la somme de deux multiples de a est-elle un multiple de a ?

Propriété : soit $a$ un entier. Si $m$ et $n$ sont deux multiples de $a$ , alors $m + n$ est un multiple de $a$ .

Démonstration :

$m$ est un multiple de $a$ : il existe un entier $k$ tel que $m = ka$ .
$n$ est un multiple de $a$ : il existe un entier $k'$ tel que $n = k'a$ .
Alors $m + n = ka + k'a = (k + k')a$ .
$k + k'$ est une somme de deux entiers, donc c’est un entier. $m + n$ s’écrit sous la forme (entier) $\times a$ : c’est un multiple de $a$ .

Exemple : $21 = 7 \times 3$ et $35 = 7 \times 5$ . Leur somme vaut $56 = 7 \times 8$ , qui est bien un multiple de 7.

La même méthode montre que la différence $m - n = (k - k')a$ est aussi un multiple de $a$ .

Application : la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3. En effet, $n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$ , et $n + 1$ est un entier.

💡 Astuce : dans une démonstration, n’utilisez jamais la même lettre

$k$ pour deux multiples différents. Écrire

$m = ka$ et

$n = ka$ reviendrait à supposer que

$m = n$ .

Comment reconnaître un nombre pair ou impair ?

Définition : un entier $n$ est pair s’il est un multiple de 2, c’est-à-dire s’il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$ . Il est impair sinon, et il existe alors un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$ .

Exemples : $18 = 2 \times 9$ et $0 = 2 \times 0$ sont pairs ; $-6 = 2 \times (-3)$ est pair ; $7 = 2 \times 3 + 1$ et $-7 = 2 \times (-4) + 1$ sont impairs.

Ces règles se démontrent toutes en écrivant les nombres sous la forme $2k$ ou $2k + 1$ :

Opération	Résultat	Justification
pair + pair	pair	$2k + 2k' = 2(k + k')$
impair + impair	pair	$(2k + 1) + (2k' + 1) = 2(k + k' + 1)$
pair + impair	impair	$2k + (2k' + 1) = 2(k + k') + 1$
pair × entier	pair	$2k \times m = 2(km)$
impair × impair	impair	$(2k + 1)(2k' + 1) = 2(2kk' + k + k') + 1$

Conséquence utile : parmi deux entiers consécutifs $n$ et $n + 1$ , l’un est pair, donc leur produit $n(n + 1)$ est toujours pair.

Comment démontrer que le carré d’un nombre impair est impair ?

Propriété : si $n$ est un entier impair, alors $n^2$ est impair.

Démonstration : $n$ est impair, donc il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$ . En développant avec l’identité $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

Posons $K = 2k^2 + 2k$ . $K$ est un entier, car il s’obtient par produits et sommes d’entiers. Donc $n^2 = 2K + 1$ : $n^2$ est impair.

Exemple : avec $k = 3$ , $n = 7$ et $n^2 = 49 = 2 \times 24 + 1$ . On retrouve bien $K = 2 \times 9 + 2 \times 3 = 24$ .

La contraposée de cette propriété s’énonce ainsi : si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. C’est elle qui sert dans la démonstration de l’irrationalité de $\sqrt{2}$ , également au programme de seconde.

Comment écrire une fraction sous forme irréductible ?

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $b \neq 0$ ) est irréductible quand $a$ et $b$ n’ont aucun diviseur commun positif autre que 1. Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par un même entier non nul : sa valeur ne change pas.

Méthode 1 : simplifier par étapes avec les critères de divisibilité

Exemple avec $\dfrac{84}{126}$ :

84 et 126 sont pairs : $\dfrac{84}{126} = \dfrac{42}{63}$ .
$4 + 2 = 6$ et $6 + 3 = 9$ : 42 et 63 sont divisibles par 3, donc $\dfrac{42}{63} = \dfrac{14}{21}$ .
14 et 21 sont des multiples de 7 : $\dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}$ .

2 et 3 n’ont pas de diviseur commun autre que 1 : $\dfrac{2}{3}$ est irréductible. Attention, $\dfrac{42}{63}$ est une fraction simplifiée, mais elle n’est pas irréductible.

Méthode 2 : décomposer en produit de facteurs premiers

Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Le nombre 1 n’est donc pas premier. Les nombres premiers inférieurs à 30 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

Tout entier supérieur ou égal à 2 s’écrit de façon unique, à l’ordre des facteurs près, comme un produit de nombres premiers. Pour trouver cette décomposition, divisez par 2 tant que c’est possible, puis par 3, puis par 5, par 7, et ainsi de suite.

$84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2^2 \times 3 \times 7$

$126 = 2 \times 63 = 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 3^2 \times 7$

On simplifie ensuite par les facteurs communs, ici 2, 3 et 7 :

$\dfrac{84}{126} = \dfrac{2^2 \times 3 \times 7}{2 \times 3^2 \times 7} = \dfrac{2}{3}$

Méthode 3 : utiliser le PGCD et l’algorithme d’Euclide

Cette méthode va au-delà du programme de seconde, mais elle est la plus rapide avec de grands nombres. Le PGCD (plus grand commun diviseur) de deux entiers est le plus grand entier qui les divise tous les deux. En divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, on obtient directement une fraction irréductible.

L’algorithme d’Euclide repose sur une propriété : si $a = bq + r$ est la division euclidienne de $a$ par $b$ , alors PGCD $(a ; b)$ = PGCD $(b ; r)$ . On enchaîne les divisions jusqu’à obtenir un reste nul. Le PGCD est le dernier reste non nul.

Exemple avec 775 et 372 :

$775 = 2 \times 372 + 31$
$372 = 12 \times 31 + 0$

Le dernier reste non nul est 31, donc PGCD $(775 ; 372) = 31$ et :

$\dfrac{775}{372} = \dfrac{775 \div 31}{372 \div 31} = \dfrac{25}{12}$

Le PPCM (plus petit commun multiple) de deux entiers positifs est le plus petit entier positif qui est un multiple des deux. Il donne le plus petit dénominateur commun pour additionner deux fractions. Par exemple, PPCM $(6 ; 15) = 30$ , donc :

$\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{5}{30} + \dfrac{2}{30} = \dfrac{7}{30}$

Pour deux entiers positifs $a$ et $b$ , PGCD $(a ; b) \times$ PPCM $(a ; b) = a \times b$ . Vérification : $3 \times 30 = 6 \times 15 = 90$ .

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Confondre multiple et diviseur : 7 est un diviseur de 42, et 42 est un multiple de 7, pas l’inverse.
Croire que 1 est premier : il n’a qu’un seul diviseur positif.
Oublier que 0 est pair : $0 = 2 \times 0$ , et 0 est même un multiple de tous les entiers.
Oublier les diviseurs négatifs quand l’énoncé se place dans $\mathbb{Z}$ .
Généraliser la règle « divisible par 2 et par 3, donc par 6 » à des nombres qui ont un diviseur commun, comme 4 et 6.
S’arrêter à une fraction simplifiée qui n’est pas encore irréductible.
Vérifier sur un exemple au lieu de démontrer : constater que $3^2 = 9$ est impair ne prouve pas la propriété pour tous les entiers impairs.

Pour vous entraîner sur chacune de ces notions, retrouvez les exercices corrigés d’arithmétique en seconde. Si les démonstrations vous posent encore problème, un prof de maths peut reprendre avec vous la rédaction pas à pas, en cours particuliers de seconde ou lors d’un stage intensif de seconde pendant les vacances.

FAQ

C'est quoi l'arithmétique en maths ?

L'arithmétique est la partie des mathématiques qui étudie les nombres entiers et leurs propriétés : multiples, diviseurs, parité, nombres premiers. En seconde, elle sert surtout à raisonner sur les entiers avec des lettres et à écrire des fractions sous forme irréductible.

Qu'est-ce qui est au programme d'arithmétique en seconde ?

Depuis la rentrée 2026, le programme comprend les notations ℕ et ℤ, les notions de multiple, de diviseur, de nombre pair et de nombre impair, la présentation des fractions sous forme irréductible et deux démonstrations : la somme de deux multiples de a est un multiple de a, et le carré d'un nombre impair est impair.

Les nombres premiers sont-ils au programme de seconde ?

Le programme de seconde publié au Bulletin officiel du 2 avril 2026 ne les cite pas. Ils ont été étudiés au collège et restent utiles en seconde pour décomposer un nombre et simplifier une fraction.

Le nombre 1 est-il un nombre premier ?

Non. Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs distincts, 1 et lui-même. Le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur positif, donc il n'est pas premier. Le plus petit nombre premier est 2, qui est aussi le seul nombre premier pair.

0 est-il un nombre pair ?

Oui. Un nombre est pair s'il s'écrit 2k avec k entier, et 0 = 2 × 0. Zéro est d'ailleurs un multiple de tous les entiers.

Quelle est la différence entre un multiple et un diviseur ?

Si a = k × b avec k entier, a est un multiple de b et b est un diviseur de a. Par exemple, 42 = 6 × 7 : 42 est un multiple de 7, et 7 est un diviseur de 42. Un entier non nul a un nombre fini de diviseurs mais une infinité de multiples.

Comment calculer le PGCD de deux nombres ?

Avec l'algorithme d'Euclide : on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et ainsi de suite. Le PGCD est le dernier reste non nul. Pour 126 et 84 : 126 = 1 × 84 + 42, puis 84 = 2 × 42 + 0, donc le PGCD vaut 42.

Sources

Ministère de l’Éducation nationale, Programme d’enseignement de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, arrêté du 26 février 2026, Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026, en application à la rentrée 2026.

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