Chapitres Maths en Première
Dérivation en 1ère
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Première
Ce cours en ligne de maths en première présente est utile pour les élèves souhaitant s’entraîner à la dérivation en première : nombre dérivé, fonction dérivée, formule dérivée, etc.. D’autres chapitres et des profs de maths en ligne de première sont également disponibles sur notre site comme, le second degré, les suites numériques ou encore les séries arithmétiques et géométriques.
Nombre dérivé : définition et exemples fondamentaux
Définition d’un nombre dérivé
Soit une fonction définie sur un intervalle
, et soit
On définit le nombre dérivé de
en
le nombre noté
tel que :
Nombre dérivé : exemples fondamentaux
Exemple 1 : la fonction carré
Posons , et calculons le taux d’accroissement de
entre
et
, où a est un nombre quelconque et
:
Ainsi,
Quelle que soit la valeur de , le nombre dérivé de
en a est
Exemple 2 : la fonction cube
Posons , et calculons le taux d’accroissement de
entre
et
, où
est un nombre quelconque et
:
Ainsi,
Quelle que soit la valeur de , le nombre dérivé de
en
est
Exemple 3 : la fonction racine carrée
Posons
x
Ainsi
Quelle que soit la valeur de , le nombre dérivé de
en
est :
Exemple 4 : la fonction inverse
Posons
Ainsi
Quelle que soit la valeur de , le nombre dérivé de
en
est
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Equation de la tangente
Définition d’une tangente
Soit la courbe représentative d’une fonction
définie sur un intervalle
. Soit
. On appelle tangente à
au point d’abscisse a la droite de coefficient directeur
passant par le point de coordonnées
Equation d’une tangente
Soit la courbe représentative d’une fonction
définie sur un intervalle
. Soit
. L’équation réduite de la tangente à
au point d’abscisse a est :
Fonction dérivée
Définition d’une fonction dérivée
Soit une fonction définie sur un intervalle
. On définit la fonction dérivée de
comme étant la fonction :
où
est le nombre dérivé de
en
. Si
est définie sur un intervalle
inclus dans I alors on dit que
est dérivable sur
. Attention à ne pas confondre fonction dérivée et fonction exponentielle !
Dérivées de référence
D’après les exemples 1, 2, 3 et 4, on peut écrire :
1. Si alors
sur
.
2. Si alors
sur
.
3. Si alors
sur
(la fonction n’est pas dérivable en 0).
4. Si alors
sur
et sur
.
5. Si , alors
Dérivée d’une fonction composée
Soit la fonction , où
et
sont deux nombres réels. Alors, sa fonction dérivée est :
Exemple
, définie sur
.
Ici, et
.
donc
soit :
, définie sur
1.
2.
3.
4.
5.
Exemple (produit d’un nombre et d’une fonction)
On pose alors :
et
Comme
, on a :
Exemple (différence)
La dérivée est
a.
b.
c.
Variation d’une fonction dérivée
Soit une fonction dérivable sur un intervalle
.
est strictement croissante sur
pour tout
de
est strictement décroissante sur
pour tout
de
.
Conséquence : pour étudier les variations d’une fonction, il suffit d’étudier le signe de sa dérivée.
Exemple
Soit
Sa dérivée est : . C’est un polynôme de second degré, dont le discriminant est :
Ainsi, est du signe du coefficient de
, c’est-à-dire ici positif.
donc
est strictement croissante sur
.
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Extremum local d’une fonction dérivée
Soit une fonction dérivable sur un intervalle
. Soit
On dit que admet un extremum local en
si
et si, pour
,
et
n’ont pas le même signe.
Cet extremum local peut être :
un minimum si :
un maximum si :
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