Chapitres Maths en Première

Dérivation en 1ère

Ce cours en ligne de maths en première présente est utile pour les élèves souhaitant s’entraîner à la dérivation en première : nombre dérivé, fonction dérivée, formule dérivée, etc.. D’autres chapitres et des profs de maths en ligne de première sont également disponibles sur notre site comme, le second degré, les suites numériques ou encore les séries arithmétiques et géométriques.

Nombre dérivé : définition et exemples fondamentaux

Définition d’un nombre dérivé

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , et soit $a \in I.$ On définit le nombre dérivé de $f$ en $a$ le nombre noté $f'(a)$ tel que :

$f'(a) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Nombre dérivé : exemples fondamentaux

Exemple 1 : la fonction carré

Posons $f(x) = x^2$ , et calculons le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$ , où a est un nombre quelconque et $h > 0$ :

$τa(h) =\dfrac{f(a +h)− f(a)}{h}$

$= \dfrac{(a +h)^{2}−a^{2}}{h}$

$= \dfrac{a^{2} +2ah +h^{2} −a^{2}}{h}$

$= \dfrac{h(2a +h)}{h}$

$= 2a +h$

Ainsi, $f'(a)$

$=\lim\limits_{h \rightarrow 0} 2a+h$

$= 2a +0$

$= 2a.$

Quelle que soit la valeur de $a$ , le nombre dérivé de $x^{2}$ en a est $f'(a) = 2a$

Exemple 2 : la fonction cube

Posons $f (x) = x^{3}$ , et calculons le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$ , où $a$ est un nombre quelconque et $h > 0$ :

$τa(h) =\dfrac{f(a +h)− f(a)}{h}$

$= \dfrac{(a+h)^{3} − a^{3}}{h}$

$= \dfrac{a^{3} +3a^{2}h +3ah^{2} +h^{3} −a^{3}}{h}$

$= \dfrac{h(3a^{2} +3ah +h^{2}}{h}$

$= 3a^{2} +3ah +h^{2}+{h}$

Ainsi, $f'(a)$

$= \lim\limits_{h \rightarrow 0} 3a^{2}+ 3ah+ h^{2} +h$

$= 3a^{2}$

Quelle que soit la valeur de $a$ , le nombre dérivé de $x^{3}$ en $a$ est $f'(a)=3a^{2}.$

Exemple 3 : la fonction racine carrée

Posons $f (x) = \sqrt(x)$

$τa(h) =\dfrac{f(a +h)− f(a)}{h}$

$=\dfrac{\sqrt(a+h)-\sqrt(a)}{h}$

$=\dfrac{\sqrt(a+h)-\sqrt(a)}{h}$ x $\dfrac{\sqrt(a+h)+\sqrt(a)}{\sqrt(a+h)+\sqrt(a)}$

$=\dfrac{a+h-a}{h\times(\sqrt(a+h)+\sqrt(a))}$

$=\dfrac{h}{h\times(\sqrt(a+h)+\sqrt(a))}$

$=\dfrac{1}{\sqrt(a+h)+\sqrt(a)}$

Ainsi $f'(a)$

$= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1}{\sqrt(a+h)+\sqrt(a)}$

$=\dfrac{1}{2\sqrt(a)}$

Quelle que soit la valeur de $a$ , le nombre dérivé de $\sqrt{x}$ en $a$ est :

$f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt(a)}$

Exemple 4 : la fonction inverse

Posons $f(x)=\dfrac{1}{x}$

$τa(h) =\dfrac{f(a +h)− f(a)}{h}$

$=\dfrac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}}{h}$

$=\dfrac{\dfrac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h}$

$=-\dfrac{h}{a\times(a+h)}\times\dfrac{1}{h}$

$=-\dfrac{1}{a(a+h)}$

Ainsi $f'(a)$

$= \lim\limits_{h \rightarrow 0} -\dfrac{1}{a(a+h)}$

$=-\dfrac{1}{a^{2}}$

Quelle que soit la valeur de $a$ , le nombre dérivé de $\dfrac{1}{x}$ en $a$ est $f'(a)=-\dfrac{1}{a^{2}}$

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Equation de la tangente

Définition d’une tangente

Soit $C$ la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ . Soit $a \in I$ . On appelle tangente à $C$ au point d’abscisse a la droite de coefficient directeur $f'(a)$ passant par le point de coordonnées $(a;f(a)).$

Equation d’une tangente

Soit $C$ la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ . Soit $a \in I$ . L’équation réduite de la tangente à $C$ au point d’abscisse a est : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$

Fonction dérivée

Définition d’une fonction dérivée

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . On définit la fonction dérivée de $f$ comme étant la fonction : $f': x → f'(x)$ où $f'(x)$ est le nombre dérivé de $f$ en $x$ . Si $f'(x)$ est définie sur un intervalle $J$ inclus dans I alors on dit que $f$ est dérivable sur $J$ . Attention à ne pas confondre fonction dérivée et fonction exponentielle !

Dérivées de référence

D’après les exemples 1, 2, 3 et 4, on peut écrire :

1. Si $f(x) = x^{2}$ alors $f'(x) = 2x$ sur $\mathbb{R}$ .

2. Si $f(x) = x^{3}$ alors $f'(x) = 3x^{2}$ sur $\mathbb{R}$ .

3. Si $f(x) = \sqrt(x)$ alors $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt(x)}$ sur $]0;+\infty]$ (la fonction n’est pas dérivable en 0).

4. Si $f (x) = \dfrac{1}{x}$ alors $f'(x) = \dfrac{-1}{2\sqrt(x)}$ sur $]−\infty; 0[$ et sur $]0;+\infty[$ .

5. Si $f(x) = x^{n}, n \in I$ , alors $f'(x) = nxn^{-1}$

Dérivée d’une fonction composée

Soit la fonction $x → g(ax +b)$ , où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. Alors, sa fonction dérivée est : $x → ag'(ax +b).$

Exemple

$f (x) = \sqrt(−5x +20)$ , définie sur $]−\infty; 4]$ .

Ici, $g(x) = \sqrt(x)$ et $f (x) = g(−5x+20)$ .

$g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt(x)}$ donc $f'(x) =-5g'(−5x +20)$ soit :

$f'(x) =\dfrac{-5}{2\sqrt(-5x+20)}$ , définie sur $]−\infty; 4[.$

1. $(ku)' = ku'$

2. $(u + v)' = u' + v'$

3. $(u − v)' = u' − v'$

4. $(uv)' = u'v +uv'$

5. $\dfrac{u}{v}= \dfrac {u'v-uv'}{v^2}$

Exemple (produit d’un nombre et d’une fonction)

$f (x) = 3x^{2}.$

On pose alors :

$u(x) = x^{2}$ et $k = 3.$ Comme $u'(x) = 2x$ , on a :

$f'(x) = 3×2x = 6x.$

Exemple (différence)

$f(x) = 8x^{5} −5x^{2}.$

La dérivée $f'(x)$ est

a. $= 40x^{4} −20x.$

b. $= 40x^{4} −10x.$

c. $= 40x^{2} −10x.$

Variation d’une fonction dérivée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

$\bullet f$ est strictement croissante sur $I \Leftrightarrow f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $I.$

$\bullet f$ est strictement décroissante sur $I \Leftrightarrow f'(x) < 0$ pour tout $x$ de $I$ .

Conséquence : pour étudier les variations d’une fonction, il suffit d’étudier le signe de sa dérivée.

Exemple

Soit $f (x) = 3x^{3} −5x^{2} +4x −1.$

Sa dérivée est : $f'(x) = 9x^{2} − 10x + 4$ . C’est un polynôme de second degré, dont le discriminant est :

$\Delta = (−10)^{2} −4×9×4$

$= −44 < 0.$

Ainsi, $f'(x)$ est du signe du coefficient de $x^{2}$ , c’est-à-dire ici positif.

$\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) > 0$ donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

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Extremum local d’une fonction dérivée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Soit $a \in I.$

On dit que $f$ admet un extremum local en $a$ si $f'(a) = 0$ et si, pour $h \ne 0$ , $f'(a − h)$ et $f'(a +h)$ n’ont pas le même signe.

Cet extremum local peut être :

$\bullet$ un minimum si : $\begin{cases} f'(x)<0 \qquad pour \qquad x < a\\ f'(x)>0 \qquad pour \qquad x > a \end{cases}$

$\bullet$ un maximum si : $\begin{cases} f'(x)>0 \qquad pour \qquad x < a\\ f'(x)<0 \qquad pour \qquad x > a \end{cases}$

Le cours complet sur la dérivation en 1ère est disponible sur notre application mobile PrepApp.

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