Chapitres de maths en 1ère

Exercices corrigés sur la dérivation en première

Q: Comment calculer une dérivée en première ?

On décompose la fonction en somme, produit, inverse ou quotient de fonctions de référence, puis on applique la formule correspondante : (u+v)' = u' + v', (uv)' = u'v + uv', (1/v)' = -v'/v² et (u/v)' = (u'v - uv')/v². Il faut aussi préciser l'intervalle sur lequel la fonction est dérivable.

Q: Quelle est la formule de l'équation de la tangente ?

La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y = f(a) + f'(a)(x - a). On calcule d'abord f(a), puis f'(a), qui est le coefficient directeur de la tangente, et on développe pour obtenir l'équation réduite.

Q: Comment trouver les variations d'une fonction avec la dérivée ?

On calcule f'(x), on étudie son signe sur l'intervalle, puis on applique la propriété du cours : si f'(x) > 0 sur un intervalle, f y est strictement croissante ; si f'(x) < 0, elle y est strictement décroissante. Les extremums se trouvent là où la dérivée s'annule en changeant de signe.

Q: La dérivée de g(ax + b) est-elle encore au programme de première ?

Non. Le programme de spécialité mathématiques de première publié au Bulletin officiel du 2 avril 2026, appliqué depuis la rentrée 2026, ne mentionne plus la dérivée de la composée avec une fonction affine. Il ajoute en revanche l'approximation affine de f(a + h) et l'étude de la dérivabilité de la valeur absolue en 0.

Q: La dérivation tombe-t-elle à l'épreuve anticipée de maths ?

Pour les élèves de spécialité, l'épreuve anticipée de mathématiques de fin de première porte sur le programme de première de la spécialité, dont la dérivation fait partie. Notée sur 20, elle est affectée du coefficient 2. Les élèves sans spécialité maths composent sur le programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique.

Par Seda Biber, mis à jour le 27/10/2026

Pour réussir un exercice de dérivation en première, on applique presque toujours la même suite d’étapes : calculer la fonction dérivée avec les formules du cours, étudier son signe, puis en tirer les variations, une équation de tangente ou un extremum. Les sept exercices de cette page suivent le programme de spécialité mathématiques de première en vigueur depuis la rentrée 2026 : calcul de dérivées, taux de variation et approximation affine, tangente, variations, position de deux courbes, optimisation et dérivabilité en 0.

Chaque énoncé est suivi d’un corrigé rédigé ligne par ligne. Tous les calculs se font sans calculatrice, ce qui correspond aussi à l’entraînement pour l’épreuve anticipée de mathématiques de fin de première.

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Première

Quels exercices de dérivation contient cette page ?

Exercice	Notion travaillée	Formule ou méthode clé
1	Calcul de fonctions dérivées	$(uv)'=u'v+uv'$ et $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
2	Taux de variation, nombre dérivé, approximation affine	$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$
3	Équation de tangente	$y=f(a)+f'(a)(x-a)$
4	Variations et inégalité	$f'>0$ sur $I$ donc $f$ strictement croissante sur $I$
5	Fonction quotient, extremums, position de deux courbes	Signe de $f(x)-g(x)$
6	Problème d’optimisation	Maximum là où $f'$ s’annule en changeant de signe
7	Dérivabilité en 0 (racine carrée, valeur absolue)	Le taux de variation n’a pas de limite finie

Ces formules sont démontrées et illustrées dans le cours sur la dérivation en première. Gardez sous la main le tableau des dérivées usuelles :

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$	Dérivable sur
$k$ (constante)	$0$	$\mathbb{R}$
$x^n$ , $n$ entier naturel non nul	$nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$x^n$ , $n$ entier négatif	$nx^{n-1}$	$]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0;+\infty[$
$\dfrac{1}{v}$	$-\dfrac{v'}{v^2}$	là où $v$ ne s’annule pas

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Exercice 1 : comment calculer une fonction dérivée ?

Énoncé de l’exercice 1

Calculer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes, sur l’intervalle indiqué.

$f(x)=3x^4-5x^2+2x-7$ sur $\mathbb{R}$
$g(x)=\dfrac{2}{x^3}$ sur $]0;+\infty[$
$h(x)=(2x+1)\sqrt{x}$ sur $]0;+\infty[$
$k(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$ sur $]-2;+\infty[$
$m(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$

Corrigé de l’exercice 1

1. $f$ est une somme de fonctions de référence. On dérive terme à terme :

$f'(x)=3\times 4x^3-5\times 2x+2=12x^3-10x+2$

2. On écrit $g(x)=2x^{-3}$ . Avec la formule $(x^n)'=nx^{n-1}$ pour $n=-3$ :

$g'(x)=2\times(-3)x^{-4}=-\dfrac{6}{x^4}$

3. $h=uv$ avec $u(x)=2x+1$ , $u'(x)=2$ , $v(x)=\sqrt{x}$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ . Donc :

$h'(x)=2\sqrt{x}+\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{4x+2x+1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{6x+1}{2\sqrt{x}}$

4. $k=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=3x-1$ , $u'(x)=3$ , $v(x)=x+2$ et $v'(x)=1$ . $v$ ne s’annule pas sur $]-2;+\infty[$ , donc :

$k'(x)=\dfrac{3(x+2)-(3x-1)\times 1}{(x+2)^2}=\dfrac{7}{(x+2)^2}$

5. $m=\dfrac{1}{v}$ avec $v(x)=x^2+1$ , qui ne s’annule jamais, et $v'(x)=2x$ . Donc :

$m'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$

💡 Astuce : avant d’appliquer la formule du quotient, regardez si le numérateur est une constante. Pour

$\dfrac{1}{v}$ ou

$\dfrac{k}{v}$ , la formule de l’inverse

$-\dfrac{v'}{v^2}$ est plus rapide et limite les erreurs de signe.

Exercice 2 : comment passer du taux de variation au nombre dérivé ?

Énoncé de l’exercice 2

On considère la fonction carré $f(x)=x^2$ et la fonction racine carrée $r(x)=\sqrt{x}$ .

Pour $h\neq 0$ , calculer le taux de variation de $f$ entre $1$ et $1+h$ .
Donner la pente de la sécante passant par les points de la courbe d’abscisses $1$ et $1+h$ pour $h=0{,}1$ , puis $h=0{,}01$ et $h=0{,}001$ . Que peut-on conjecturer ?
Donner une valeur approchée de $1{,}02^2$ à l’aide de l’approximation affine de $f$ en $1$ .
Calculer $r'(4)$ , puis donner une valeur approchée de $\sqrt{4{,}1}$ .

Corrigé de l’exercice 2

1. Le taux de variation de $f$ entre $1$ et $1+h$ vaut :

$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{1+2h+h^2-1}{h}=\dfrac{h(2+h)}{h}=2+h$

2. La pente de la sécante est ce taux de variation : $2{,}1$ pour $h=0{,}1$ , puis $2{,}01$ et $2{,}001$ . Quand $h$ se rapproche de $0$ , ces pentes se rapprochent de $2$ . On conjecture que $f'(1)=2$ , ce que confirme la formule $f'(x)=2x$ .

3. L’approximation affine s’écrit $f(1+h)\approx f(1)+f'(1)h$ . Avec $h=0{,}02$ :

$1{,}02^2\approx 1+2\times 0{,}02=1{,}04$

La valeur exacte est $1{,}0404$ : l’écart vaut $h^2=0{,}0004$ .

4. $r'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , donc $r'(4)=\dfrac{1}{2\times 2}=\dfrac{1}{4}$ . Avec $a=4$ et $h=0{,}1$ :

$\sqrt{4{,}1}\approx \sqrt{4}+\dfrac{1}{4}\times 0{,}1=2+0{,}025=2{,}025$

La valeur exacte, arrondie au dix-millième, est $2{,}0248$ : l’approximation est correcte au millième près.

Exercice 3 : comment trouver l’équation d’une tangente ?

Énoncé de l’exercice 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3x^4+2x-1$ . On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Vérifier que le point $A(-1;-6)$ appartient à $\mathscr{C}_f$ , puis déterminer l’équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en $A$ .
Les tangentes à $\mathscr{C}_f$ aux points d’abscisses $-1$ et $1$ sont-elles parallèles ?
Existe-t-il un point de $\mathscr{C}_f$ où la tangente est parallèle à la droite d’équation $y=2x+5$ ? Si oui, donner l’équation de cette tangente.

Corrigé de l’exercice 3

1. $f(-1)=-3\times 1+2\times(-1)-1=-6$ , donc $A$ appartient bien à $\mathscr{C}_f$ . Pour tout réel $x$ , $f'(x)=-12x^3+2$ , donc $f'(-1)=-12\times(-1)+2=14$ . La tangente en $A$ a pour équation $y=f(-1)+f'(-1)(x+1)$ , soit :

$y=-6+14(x+1)=14x+8$

2. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Or $f'(1)=-12+2=-10$ et $f'(-1)=14$ . Comme $-10\neq 14$ , les deux tangentes ne sont pas parallèles.

3. On cherche $x$ tel que $f'(x)=2$ , soit $-12x^3+2=2$ , donc $x^3=0$ et $x=0$ . Le point cherché est $B(0;f(0))=B(0;-1)$ et la tangente en $B$ a pour équation $y=-1+2(x-0)$ , soit $y=2x-1$ .

💡 Astuce : « tangente parallèle à une droite de coefficient directeur

$m$ » se traduit toujours par l’équation

$f'(x)=m$ . Une tangente horizontale correspond au cas

$m=0$ .

Exercice 4 : comment étudier les variations et prouver une inégalité ?

Énoncé de l’exercice 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+x-10$ .

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
Calculer $f(2)$ . En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$ .
Montrer que, pour tout $x\in[2;+\infty[$ , $x^3\geq 10-x$ .

Corrigé de l’exercice 4

1. $f$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$ , et $f'(x)=3x^2+1$ . Un carré est positif ou nul, donc $3x^2+1\geq 1>0$ pour tout réel $x$ . La dérivée est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

2. $f(2)=8+2-10=0$ . Comme $f$ est strictement croissante :

si $x< 2$ , alors $f(x)< f(2)$ , donc $f(x)< 0$ ;
si $x>2$ , alors $f(x)>f(2)$ , donc $f(x)>0$ ;
$f(x)=0$ uniquement pour $x=2$ .

3. Pour $x\geq 2$ , la question 2 donne $f(x)\geq 0$ , c’est-à-dire $x^3+x-10\geq 0$ , soit $x^3\geq 10-x$ .

💡 Astuce : quand on connaît une racine

$\alpha$ d’une fonction strictement monotone, le signe s’obtient directement en comparant

$x$ à

$\alpha$ . Inutile de factoriser le polynôme.

Le signe d’une dérivée du second degré se traite avec le discriminant : les exercices corrigés sur le second degré permettent de revoir cette méthode.

PROFITER DE L'ETE POUR UN STAGE SECONDE

Préparer le programme de seconde en aout

Exercice 5 : comment étudier une fonction quotient et la position de deux courbes ?

Énoncé de l’exercice 5

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathscr{D}_g=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ par $g(x)=\dfrac{4x^2+7x-1}{x+2}$ . On note $\mathscr{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Déterminer les réels $a$ , $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\in\mathscr{D}_g$ , $g(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+2}$ .
Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathscr{D}_g$ et montrer que $g'(x)=4-\dfrac{1}{(x+2)^2}$ .
En déduire une factorisation de $g'(x)$ , puis dresser le tableau de variations de $g$ .
Étudier la position relative de $\mathscr{C}_g$ et de la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y=4x-1$ .

Corrigé de l’exercice 5

1. On fait apparaître le facteur $x+2$ au numérateur :

$4x^2+7x-1=4x^2+8x-x-2+1=4x(x+2)-(x+2)+1=(x+2)(4x-1)+1$

Donc $g(x)=4x-1+\dfrac{1}{x+2}$ , soit $a=4$ , $b=-1$ et $c=1$ .

2. $x\mapsto 4x-1$ est affine, donc dérivable sur $\mathbb{R}$ . $x\mapsto \dfrac{1}{x+2}$ est l’inverse de $v(x)=x+2$ , qui ne s’annule pas sur $\mathscr{D}_g$ : elle est dérivable sur $\mathscr{D}_g$ et sa dérivée vaut $-\dfrac{1}{(x+2)^2}$ . Par somme, $g$ est dérivable sur $\mathscr{D}_g$ et :

$g'(x)=4-\dfrac{1}{(x+2)^2}$

3. On reconnaît une différence de deux carrés, $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ :

$g'(x)=2^2-\left(\dfrac{1}{x+2}\right)^2=\left(2-\dfrac{1}{x+2}\right)\left(2+\dfrac{1}{x+2}\right)=\dfrac{(2x+3)(2x+5)}{(x+2)^2}$

Le dénominateur $(x+2)^2$ est strictement positif sur $\mathscr{D}_g$ , donc $g'(x)$ a le signe de $(2x+3)(2x+5)$ , qui s’annule en $-\dfrac{5}{2}$ et $-\dfrac{3}{2}$ . On calcule les extremums :

$g\left(-\dfrac{5}{2}\right)=-10-1+\dfrac{1}{-\frac{1}{2}}=-13$ ;
$g\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-6-1+\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=-5$ .

$x$	$]-\infty;-\frac{5}{2}[$	$-\frac{5}{2}$	$]-\frac{5}{2};-2[$	$-2$	$]-2;-\frac{3}{2}[$	$-\frac{3}{2}$	$]-\frac{3}{2};+\infty[$
Signe de $g'(x)$	$+$	$0$	$-$	valeur interdite	$-$	$0$	$+$
Variations de $g$	croissante	maximum local $-13$	décroissante	valeur interdite	décroissante	minimum local $-5$	croissante

Le maximum local $-13$ est plus petit que le minimum local $-5$ . Ce n’est pas une contradiction : les deux extremums sont situés de part et d’autre de la valeur interdite, sur deux intervalles séparés.

4. On étudie le signe de la différence $g(x)-(4x-1)=\dfrac{1}{x+2}$ :

si $x< -2$ , $\dfrac{1}{x+2}< 0$ : $\mathscr{C}_g$ est en dessous de $\mathscr{D}$ ;
si $x>-2$ , $\dfrac{1}{x+2}>0$ : $\mathscr{C}_g$ est au-dessus de $\mathscr{D}$ .

💡 Astuce : dans un tableau de variations, la valeur interdite coupe le tableau en deux. Ne concluez jamais qu’une fonction est décroissante sur

$]-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}[$ tout entier : elle l’est sur chacun des deux intervalles séparés par

$-2$ .

Exercice 6 : comment résoudre un problème d’optimisation ?

Énoncé de l’exercice 6

Dans une feuille carrée de 12 cm de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ cm, puis on replie les bords pour obtenir une boîte sans couvercle. On note $V(x)$ le volume de la boîte, en cm³.

Justifier que $x\in\,]0;6[$ et que $V(x)=x(12-2x)^2$ .
Montrer que $V'(x)=(12-2x)(12-6x)$ .
Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ? Que vaut ce volume maximal ?

Corrigé de l’exercice 6

1. Le côté du fond de la boîte mesure $12-2x$ cm, ce qui impose $12-2x>0$ , soit $x< 6$ , et bien sûr $x>0$ . La boîte est un pavé de base carrée de côté $12-2x$ et de hauteur $x$ , donc $V(x)=x(12-2x)^2$ .

2. On dérive le produit $uv$ avec $u(x)=x$ , $u'(x)=1$ , $v(x)=(12-2x)^2=144-48x+4x^2$ et $v'(x)=-48+8x=-4(12-2x)$ :

$V'(x)=(12-2x)^2-4x(12-2x)=(12-2x)(12-2x-4x)=(12-2x)(12-6x)$

3. Sur $]0;6[$ , $12-2x>0$ , donc $V'(x)$ a le signe de $12-6x$ : positif si $x< 2$ , nul en $x=2$ , négatif si $x>2$ . $V$ est croissante sur $]0;2]$ puis décroissante sur $[2;6[$ . Le volume est maximal pour $x=2$ cm et vaut :

$V(2)=2\times(12-4)^2=2\times 64=128$ cm³

Exercice 7 : comment montrer qu’une fonction n’est pas dérivable en 0 ?

Énoncé de l’exercice 7

Montrer que la fonction racine carrée n’est pas dérivable en $0$ .
Montrer que la fonction valeur absolue $x\mapsto |x|$ n’est pas dérivable en $0$ .

Corrigé de l’exercice 7

1. Pour $h>0$ , le taux de variation de la fonction racine carrée entre $0$ et $h$ vaut :

$\dfrac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}=\dfrac{\sqrt{h}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$

Quand $h$ se rapproche de $0$ , $\sqrt{h}$ se rapproche de $0$ et $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ devient aussi grand que l’on veut. Le taux de variation n’a pas de limite finie : la racine carrée n’est pas dérivable en $0$ . Graphiquement, sa courbe admet en l’origine une tangente verticale.

2. Pour $h\neq 0$ , le taux de variation de la valeur absolue entre $0$ et $h$ vaut $\dfrac{|h|}{h}$ . Il est égal à $1$ si $h>0$ et à $-1$ si $h< 0$ . Selon le côté par lequel $h$ s’approche de $0$ , le taux ne tend pas vers le même nombre : la valeur absolue n’est pas dérivable en $0$ . Sa courbe forme un angle en l’origine.

La non-dérivabilité de la racine carrée en $0$ fait partie des démonstrations du programme de 2026, et l’étude de la valeur absolue en $0$ figure dans ses contenus.

Comment progresser en dérivation après ces exercices ?

La dérivation sert tout au long de l’année de première. Elle revient dans les exercices sur la fonction exponentielle, avec la dérivée de $t\mapsto e^{at}$ , et dans les problèmes de modélisation qui croisent les exercices sur les suites numériques. La liste complète des capacités attendues figure dans notre page sur le programme de spé maths en première.

Si une étape bloque encore, comme le signe d’une dérivée ou la rédaction d’un tableau de variations, un professeur particulier de maths peut reprendre ces méthodes avec vous. Pendant les vacances, le stage intensif de première consacre plusieurs séances au chapitre, en petit groupe.

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