Chapitres de maths en 1ère

Suites arithmétiques et géométriques : exercices corrigés en 1ère

Par Seda Biber, le 22/10/2026

Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on calcule $u_{n+1}-u_n$ : si le résultat est un nombre $r$ qui ne dépend pas de $n$ , la suite est arithmétique de raison $r$ . Pour montrer qu’une suite est géométrique, on cherche à écrire $u_{n+1}=q\times u_n$ avec $q$ indépendant de $n$ . Les 8 exercices corrigés ci-dessous suivent l’ordre des capacités attendues du programme de spécialité maths de première : reconnaître une suite, trouver sa raison et son terme général, étudier son sens de variation, calculer une somme de termes et modéliser une situation. Avant de commencer, relisez au besoin le résumé de cours sur les suites arithmétiques et géométriques.

Les formules à connaître avant de faire les exercices

Notion	Suite arithmétique de raison $r$	Suite géométrique de raison $q$
Relation de récurrence	$u_{n+1}=u_n+r$	$u_{n+1}=q\times u_n$
Terme général	$u_n=u_0+nr$ et $u_n=u_p+(n-p)r$	$u_n=u_0\times q^n$ et $u_n=u_p\times q^{n-p}$
Somme de référence	$1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$	$1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ si $q\neq 1$
Somme de termes consécutifs	nombre de termes $\times\dfrac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}$	premier terme $\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$
Sens de variation	croissante si $r>0$ , décroissante si $r<0$ , constante si $r=0$	si $u_0>0$ : croissante pour $q>1$ , décroissante pour $0< q<1$ ; si $u_0<0$ , c’est l’inverse ; non monotone si $q<0$
Situation modélisée	accroissement constant (croissance linéaire)	taux d’évolution constant (croissance exponentielle)

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Comment montrer qu’une suite est arithmétique ? (exercice 1)

La méthode tient en une ligne : on calcule $u_{n+1}-u_n$ pour un entier $n$ quelconque. Si la différence est constante, la suite est arithmétique. Pour montrer qu’une suite ne l’est pas, un contre-exemple suffit : deux écarts successifs différents.

Énoncé de l’exercice 1

Pour chaque suite, dites si elle est arithmétique. Si oui, donnez sa raison et son premier terme $u_0$ .

Pour tout entier naturel $n$ , $u_n=4n-3$ .
$u_0=10$ , $u_3=4$ et, pour tout $n\geq 1$ , $2u_n=u_{n+1}+u_{n-1}$ .
Pour tout entier naturel $n$ , $w_n=n^2+1$ .

Corrigé de l’exercice 1

1. Pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1}-u_n=4(n+1)-3-(4n-3)=4n+4-3-4n+3=4$

La différence vaut toujours 4. La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=4$ et de premier terme $u_0=4\times 0-3=-3$ .

2. Pour tout $n\geq 1$ , on écrit $2u_n=u_n+u_n$ , donc la relation devient $u_n-u_{n-1}=u_{n+1}-u_n$ . L’écart entre deux termes consécutifs ne change jamais : il est égal au premier écart $u_1-u_0$ . La suite est donc arithmétique. Pour trouver sa raison $r$ , on utilise les deux termes connus :

$u_3=u_0+3r$ , soit $4=10+3r$ , donc $r=-2$

La suite est arithmétique de raison $-2$ et de premier terme $u_0=10$ , et pour tout $n$ , $u_n=10-2n$ .

3. On calcule les premiers termes : $w_0=1$ , $w_1=2$ , $w_2=5$ . On a $w_1-w_0=1$ et $w_2-w_1=3$ . Les deux écarts sont différents, donc $(w_n)$ n’est pas arithmétique.

Comment démontrer qu’une suite est géométrique ? (exercice 2)

On cherche à exprimer $u_{n+1}$ sous la forme $q\times u_n$ , avec $q$ un réel qui ne dépend pas de $n$ . Quand tous les termes sont non nuls, on peut aussi calculer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et vérifier qu’il est constant.

Énoncé de l’exercice 2

Pour tout entier naturel $n$ , $v_n=3\times 2^{n+1}$ . Montrez que $(v_n)$ est géométrique.
On définit $u_0=2$ et, pour tout $n$ , $u_{n+1}=3u_n-8$ . On pose $t_n=u_n-4$ . Montrez que $(t_n)$ est géométrique, puis exprimez $u_n$ en fonction de $n$ .
Pour tout entier naturel $n$ , $w_n=n\times 2^n$ . La suite $(w_n)$ est-elle géométrique ?

Corrigé de l’exercice 2

1. Pour tout $n$ :

$v_{n+1}=3\times 2^{n+2}=3\times 2^{n+1}\times 2=2v_n$

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=2$ et de premier terme $v_0=3\times 2^1=6$ .

2. Pour tout $n$ :

$t_{n+1}=u_{n+1}-4=3u_n-8-4=3u_n-12=3(u_n-4)=3t_n$

La suite $(t_n)$ est géométrique de raison 3 et de premier terme $t_0=u_0-4=-2$ . Donc $t_n=-2\times 3^n$ , puis $u_n=t_n+4=4-2\times 3^n$ . Vérification : $u_1=3\times 2-8=-2$ et la formule donne $4-2\times 3=-2$ .

3. On a $w_1=2$ , $w_2=8$ et $w_3=24$ . Or $\dfrac{w_2}{w_1}=4$ et $\dfrac{w_3}{w_2}=3$ . Les quotients ne sont pas égaux, donc $(w_n)$ n’est pas géométrique.

💡 Astuce : la question 2 est un grand classique. La suite

$(u_n)$ n’est ni arithmétique ni géométrique, mais une suite auxiliaire, ici

$t_n=u_n-4$ , l’est. L’énoncé vous donne toujours cette suite auxiliaire en première. Les suites de la forme

$u_{n+1}=au_n+b$ , dites arithmético-géométriques, sont étudiées de façon générale en terminale.

Comment trouver la raison et le terme général d’une suite ? (exercices 3 et 4)

Avec deux termes connus, on utilise $u_n=u_p+(n-p)r$ pour une suite arithmétique et $u_n=u_p\times q^{n-p}$ pour une suite géométrique.

Énoncé de l’exercice 3

$(u_n)$ est une suite arithmétique telle que $u_4=11$ et $u_9=26$ . Calculez sa raison, $u_0$ , $u_n$ en fonction de $n$ , puis $u_{20}$ .
$(v_n)$ est une suite géométrique à termes positifs telle que $v_2=12$ et $v_5=96$ . Calculez sa raison, $v_0$ , puis $v_n$ en fonction de $n$ .

Corrigé de l’exercice 3

1. $u_9=u_4+5r$ , donc $26=11+5r$ et $r=3$ . Ensuite $u_0=u_4-4r=11-12=-1$ . Pour tout $n$ , $u_n=-1+3n$ , et $u_{20}=-1+60=59$ .

2. $v_5=v_2\times q^3$ , donc $q^3=\dfrac{96}{12}=8$ . Les termes sont positifs, et le seul réel dont le cube vaut 8 est $q=2$ . Ensuite $v_0=\dfrac{v_2}{q^2}=\dfrac{12}{4}=3$ , donc pour tout $n$ , $v_n=3\times 2^n$ .

Énoncé de l’exercice 4

$(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_1=1$ telle que $u_5=2u_{10}$ .

Calculez sa raison $r$ et exprimez $u_n$ en fonction de $n$ .
Donnez le sens de variation de $(u_n)$ .

Corrigé de l’exercice 4

1. On exprime les deux termes à partir de $u_1$ : $u_5=1+4r$ et $u_{10}=1+9r$ . L’égalité $u_5=2u_{10}$ donne :

$1+4r=2(1+9r)$ , soit $1+4r=2+18r$ , donc $-14r=1$ et $r=-\dfrac{1}{14}$

Pour tout $n\geq 1$ :

$u_n=u_1+(n-1)r=1-\dfrac{n-1}{14}=\dfrac{15-n}{14}$

Vérification : $u_5=\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7}$ et $u_{10}=\dfrac{5}{14}$ , on a bien $u_5=2u_{10}$ .

2. La raison $r=-\dfrac{1}{14}$ est négative, donc $(u_n)$ est strictement décroissante.

Comment étudier le sens de variation d’une suite arithmétique ou géométrique ? (exercice 5)

Pour une suite arithmétique, le signe de $r$ suffit. Pour une suite géométrique, on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n=u_0\,q^n(q-1)$ : il dépend à la fois du signe de $u_0$ et de la position de $q$ par rapport à 1.

Énoncé de l’exercice 5

Donnez le sens de variation de chaque suite.

Pour tout $n$ , $a_n=7-0{,}5n$ .
$(v_n)$ est la suite géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_1=-1$ . Exprimez aussi $v_n$ en fonction de $n$ .
Pour tout $n$ , $w_n=-3\times 1{,}2^n$ .

Corrigé de l’exercice 5

1. $(a_n)$ est arithmétique de raison $-0{,}5<0$ : elle est strictement décroissante.

2. La raison est négative, donc les termes changent de signe à chaque rang : $v_1=-1$ , $v_2=\dfrac{1}{2}$ , $v_3=-\dfrac{1}{4}$ , $v_4=\dfrac{1}{8}$ . La suite n’est ni croissante ni décroissante. Pour tout $n\geq 1$ :

$v_n=v_1\times q^{n-1}=-1\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=-1\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-1}\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}=2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}$

3. $(w_n)$ est géométrique de premier terme $w_0=-3<0$ et de raison $1{,}2>1$ . Pour tout $n$ , $w_{n+1}-w_n=-3\times 1{,}2^n\times 0{,}2<0$ . La suite est strictement décroissante, même si la raison est supérieure à 1 : c’est le signe négatif de $w_0$ qui inverse le sens.

Le lien entre les suites géométriques et la croissance exponentielle est détaillé dans le cours sur la fonction exponentielle en première.

Comment calculer la somme des termes d’une suite ? (exercices 6 et 7)

La première étape, souvent oubliée, consiste à compter les termes : de $u_0$ à $u_n$ , il y en a $n+1$ , et de $u_1$ à $u_n$ , il y en a $n$ .

Énoncé de l’exercice 6 (suites arithmétiques)

Calculez $S_1=1+2+3+\dots+100$ .
Calculez la somme des nombres impairs de 1 à 99.
Avec $u_n=3n-1$ , calculez $S_3=u_0+u_1+\dots+u_{20}$ .
Dans une salle de spectacle, la première rangée compte 20 places et chaque rangée compte 2 places de plus que la précédente. La salle a 25 rangées. Combien de places compte-t-elle ?

Corrigé de l’exercice 6

1. $S_1=\dfrac{100\times 101}{2}=5\,050$ .

2. Les nombres impairs forment une suite arithmétique de raison 2. De 1 à 99, il y a 50 termes. La somme vaut $50\times\dfrac{1+99}{2}=2\,500$ .

3. De $u_0$ à $u_{20}$ , il y a 21 termes, avec $u_0=-1$ et $u_{20}=59$ . Donc $S_3=21\times\dfrac{-1+59}{2}=21\times 29=609$ .

4. Le nombre de places de la rangée $n$ est $p_n=20+2(n-1)$ , donc la 25e rangée a $p_{25}=68$ places. Le total vaut $25\times\dfrac{20+68}{2}=1\,100$ places.

Énoncé de l’exercice 7 (suites géométriques)

Calculez $T_1=1+2+2^2+\dots+2^{10}$ .
Avec $v_n=3\times 2^n$ , calculez $T_2=v_0+v_1+\dots+v_9$ .
Calculez $T_3=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dots+\left(\dfrac{1}{2}\right)^9$ .

Corrigé de l’exercice 7

1. On applique la formule avec $q=2$ et $n=10$ :

$T_1=\dfrac{1-2^{11}}{1-2}=2^{11}-1=2\,047$

2. On factorise par 3 : $T_2=3\times(1+2+\dots+2^9)=3\times(2^{10}-1)=3\times 1\,023=3\,069$ .

3. Avec $q=\dfrac{1}{2}$ et 10 termes :

$T_3=\dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\frac{1}{2}}=2\left(1-\dfrac{1}{1\,024}\right)=\dfrac{1\,023}{512}$

La somme vaut environ 1,998 : elle s’approche de 2 sans l’atteindre. C’est une première approche intuitive de la notion de limite, prévue au programme de première.

💡 Astuce : pour une somme géométrique, retenez la formule « premier terme

$\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$ ». Elle vous évite de vous tromper d’exposant entre

$q^n$ et

$q^{n+1}$ .

Exercice type bac : comparer une évolution linéaire et une évolution exponentielle (exercice 8)

Ce type de problème mêle suites et pourcentages d’évolution. Le programme demande de modéliser une croissance linéaire par une suite arithmétique et une croissance exponentielle par une suite géométrique.

Énoncé de l’exercice 8

Un salarié hésite entre deux contrats qui démarrent tous les deux à 1 800 € par mois. Avec le contrat A, son salaire augmente de 40 € chaque année. Avec le contrat B, il augmente de 2 % chaque année. On note $a_n$ et $b_n$ le salaire mensuel au bout de $n$ années.

Exprimez $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$ .
Calculez $a_{10}$ et $b_{10}$ (arrondi au centime). Quel contrat est le plus avantageux au bout de 10 ans ?
Écrivez une fonction Python qui renvoie la première année où le contrat B dépasse le contrat A, puis donnez cette année.

Corrigé de l’exercice 8

1. Ajouter 40 € chaque année donne une suite arithmétique : $a_n=1\,800+40n$ . Augmenter de 2 % revient à multiplier par $1{,}02$ : $b_n=1\,800\times 1{,}02^n$ , suite géométrique de raison $1{,}02$ .

2. $a_{10}=1\,800+400=2\,200$ € et $b_{10}=1\,800\times 1{,}02^{10}\approx 2\,194{,}19$ €. Au bout de 10 ans, le contrat A reste légèrement plus avantageux.

3. On utilise un algorithme de seuil :

def seuil():
    n = 1
    while 1800 * 1.02**n <= 1800 + 40 * n:
        n = n + 1
    return n

La fonction renvoie 12. Au bout de 11 ans, $a_{11}=2\,240$ € et $b_{11}\approx 2\,238{,}07$ € ; au bout de 12 ans, $a_{12}=2\,280$ € et $b_{12}\approx 2\,282{,}84$ €. Le contrat B dépasse donc le contrat A à partir de la 12e année, puis l’écart se creuse : au bout de 20 ans, $b_{20}\approx 2\,674{,}71$ € contre $a_{20}=2\,600$ €.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes sur les suites ?

Erreur	Exemple	Bonne démarche
Conclure avec quelques termes	« $u_1-u_0=u_2-u_1$ , donc la suite est arithmétique »	Calculer $u_{n+1}-u_n$ pour un $n$ quelconque. Les premiers termes servent seulement à prouver qu’une suite n’est pas arithmétique.
Se tromper de rang de départ	Utiliser $u_n=u_0+nr$ alors que l’énoncé donne $u_1$	Écrire $u_n=u_1+(n-1)r$ , ou plus généralement $u_n=u_p+(n-p)r$ .
Mal compter les termes d’une somme	Compter 20 termes de $u_0$ à $u_{20}$	De $u_p$ à $u_n$ , il y a $n-p+1$ termes, soit 21 ici.
Oublier le signe du premier terme	« $q=1{,}2>1$ , donc la suite est croissante » avec $u_0=-3$	Étudier le signe de $u_0\,q^n(q-1)$ .
Confondre taux et raison	Prendre $q=0{,}02$ pour une hausse de 2 %	Une hausse de $t$ % donne $q=1+\dfrac{t}{100}$ , une baisse de $t$ % donne $q=1-\dfrac{t}{100}$ .

Pour vous entraîner sur les autres façons de définir une suite (formule explicite, récurrence, algorithme), faites les exercices corrigés sur les suites numériques, en vous appuyant sur la fiche de cours sur les suites numériques. Les suites reviennent aussi dans les questions d’automatismes de l’épreuve anticipée de maths de première. Pour réviser le reste du programme, passez ensuite aux exercices sur le second degré et aux exercices sur la dérivation. Si vous bloquez sur la rédaction, un professeur particulier de maths en première peut reprendre les méthodes avec vous, et les stages intensifs de première pendant les vacances permettent de travailler les suites en petit groupe.

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FAQ sur les exercices de suites arithmétiques et géométriques

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Calculez u(n+1) − u(n) : si le résultat est constant, la suite est arithmétique. Sinon, cherchez à écrire u(n+1) = q × u(n) avec q constant : la suite est alors géométrique. Une suite peut n'être ni l'un ni l'autre, comme w(n) = n² + 1.

Comment trouver la raison d'une suite arithmétique avec deux termes ?

Utilisez u(n) = u(p) + (n − p) × r. Par exemple, si u(4) = 11 et u(9) = 26, alors 26 = 11 + 5r, donc r = 3.

Comment trouver la raison d'une suite géométrique avec deux termes ?

Utilisez u(n) = u(p) × q puissance (n − p). Par exemple, si v(2) = 12 et v(5) = 96, alors q au cube vaut 96 / 12 = 8, donc q = 2.

Quelle est la formule de la somme des termes d'une suite géométrique ?

Pour q différent de 1, 1 + q + q² + … + q puissance n = (1 − q puissance (n+1)) / (1 − q). Pour une somme de termes consécutifs, multipliez le premier terme par (1 − q puissance N) / (1 − q), où N est le nombre de termes.

Les suites arithmético-géométriques sont-elles au programme de première ?

Leur étude générale relève de la terminale. En première, on les rencontre dans des exercices guidés où l'énoncé donne une suite auxiliaire géométrique, comme dans l'exercice 2 de cette page.

Les suites arithmétiques et géométriques sont-elles au programme de première en 2026 ?

Oui. Le programme de spécialité maths de première publié au BO n° 14 du 2 avril 2026, en vigueur depuis la rentrée 2026, prévoit le calcul du terme général, des sommes 1 + 2 + … + n et 1 + q + … + q puissance n, et l'étude du sens de variation de ces suites.

Sources

Programme d’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de première de la voie générale, BO n° 14 du 2 avril 2026 (ministère de l’Éducation nationale)
Programmes et ressources en mathématiques, voie générale et technologique (Éduscol)
Les changements dans le programme 2026 de mathématiques en première spécialité (inspection pédagogique régionale de mathématiques, académie d’Orléans-Tours)