Chapitres de maths en Terminale D
Cours sur les équations différentielles en Terminale D
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de maths en Terminale D
1. Généralités sur les équations différentielles terminale D
Soit .
On appelle équation différentielle d’ordre toute équation
– dont l’inconnue est une fonction de la variable
– exprimant en fonction de
et éventuellement de
.
Résoudre une équation différentielle d’ordre sur un intervalle
, revient à chercher l’ensemble des fonctions
fois dérivables sur
et vérifiant cette équation en tout point
.
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2. Équation différentielle
terminale D
Équation homogène
où
.
Théorème de l’équation différentielle :
Les solutions de l’équation différentielle où
sont les fonctions
où
.
Soit .
est dérivable sur
et pour tout réel
,
,
Donc est solution de l’équation
.
Propriété de l’équation différentielle :
Soit , il existe une unique solution
de
telle que
.
Équation complète
où
.
Théorème
L’ensemble des solutions de où
est l’ensemble des fonctions définies sur
par
où
.
Équation complète
où
et
.
On suppose que l’on connait une solution sur
de l’équation
,
Alors l’ensemble des solutions de est l’ensemble des fonctions
où
De plus pour tout et
, il existe une unique solution
telle que
.
Variations et limite d’une solution de
.
La solution générale de où
Est où
.
Variations :
Si ,
– si ,
est strictement croissan- te sur
– si ,
est strictement décrois- sante sur
.
Limite
– Si ,
– Si ,
.
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3. Méthode d’Euler sur les équations différentielles terminale D
Principe de la méthode d’Euler
Soit une fonction dérivable sur
, d’après l’approximation affine, pour un pas
petit :
Si ,
Si vérifie une équation différentielle d’ordre
, on peut remplacer
par une expression en fonction de
et
Donc obtenir une approximation de en fonction de
et
Si l’on connaît une condition initiale , en utilisant l’approxima- tion affine de façon itérative, on peut déterminer des valeurs approchées de
pour
.
4. Lien avec les équations différentielles au programme de physique
Les équations différentielles rencontrées en physique
En physique, la variable est notée , on note
sous la forme
.
Les 4 équations différentielles essentielles du programme de la spécialité physique sont définies sur .
En radioactivité :
En thermodynamique
(on note )
En électricité (décharge d’un condensateur )
En électricité (charge d’un condensateur )
Résolution
Ce sont trois équations différentielles de même type qui peuvent être écrites sous la forme
ou
avec et
selon que l’équation n’a pas ou a un second membre.
Pour une équation sans second membre ,
la solution générale telle que est
.
Elle a une limite nulle en .
Pour une équation sans second membre .
La solution générale est
et celle telle que est
.
Cette fonction a une limite égale à en
Elle est strictement croissante si et décroissante si
.
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