Chapitres de maths en Terminale D

Exercices et corrigés sur la géométrie dans l’espace en Terminale D

Vous trouverez ci-dessous des exercices corrigés gratuits sur la géométrie dans l’espace pour les élèves préparant le bac D.

QCM sur la géométrie dans l’espace en terminale D

Dans le repère $(O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ de l’espace, on considère les points $A(0;-5;0)$ , $B(1;0;1)$ , $C(-1;-7;0)$ ; la droite $D$ d’équation paramétrique: $\left\{ \begin{array}{ccl} x & = & -6a+6 \\ y & = & 4a-9 \quad où \quad a\in\mathbb{R} \\ z & = & 0 \\ \end{array} \right.$
et le plan $P$ d’équation: $3x-2y-10=0.$

Question 1 :

Le point $A$ :

a. appartient à $D$ et à $P$

b. appartient à $D$ mais pas à $P$

c. appartient à $P$ et à $D$

Question 2 :

Le triangle $ABC$ est:

a. rectangle en $A$

b. rectangle en $B$

c. rectangle en $C$

d. aucune des trois proposition ci-dessus n’est correcte.

Question 3 :

$D$ et $P$ sont:

a. parallèles

b. sécantes non perpendiculaires.

c. perpendiculaires

d. aucune des trois proposition ci-dessus n’est correcte.

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Corrigé du QCM de terminale D géométrie dans l’espace

Question 1 :

Supposons que $A \in D$

Alors il existe un réel $a$ tel que

$\left\{ \begin{array}{ccl} 0 & = & -6a+6 \\ -5 & = & 4a-9 \\ 0 & = & 0 \\ \end{array} \right.$

$\Longleftrightarrow$

$\left\{ \begin{array}{ccl} 6a & = & -6a+6 \\ 4a & = & -5+9 \\ 0 & = & 0 \\ \end{array} \right.$

$\Longleftrightarrow$

$\left\{ \begin{array}{ccl} a & = & 1 \\ 4a & = & 4 \\ 0 & = & 0 \\ \end{array} \right.$

Ce réel $a$ existe, donc on a bien $A \in D$

De plus, on a $3\times 0 - 2\times (-5) - 10 = 0 + 10 - 10 = 0$

Donc les coordonnées du point $A$ vérifient l’équation du plan $P$

Donc $A \in P$

Donc le point $A$ appartient à $D$ et à $P$

Question 2 :

On a

$AB^2 = \sqrt{(1-0)^2+(0-(-5))^2+(1-0)^2}^2$

= $1^2+5^2+1^2=1+25+1=27$

$AC^2 = \sqrt{(-1-0)^2+(-7-(-5))^2+(0-0)^2}^2$

= $(-1)^2+(-2)^2+0^2=1+4+0=5$

$BC^2 = \sqrt{(-1-1)^2+(-7-0)^2+(0-1)^2}^2$

= $(-2)^2+(-7)^2+(-1)^2=4+49+1=54$

Donc $AB^2+AC^2=27+5=32$ , $AB^2+BC^2=27+54=81$ et $AC^2+BC^2=5+54=59$

Donc $BC^2\neq AB^2+AC^2$ , $AC^2\neq AB^2+BC^2$ et $AB^2\neq AC^2+BC^2$

Donc $ABC$ n’est pas un triangle rectangle, ni en $A$ , ni en $B$ , ni en $C$

Question 3 :

D’après sa représentation paramétrique, le vecteur $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $P$

D’après son équation cartésienne, le vecteur, le vecteur $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $P$

Supposons que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ soient colinéaires, alors il existe un réel $k$ tel que

$\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{n}$

Donc $\left\{\begin{array}{ccc} -6 & = & 3k \\ 4 & = & -2k \\ 0 & = & 0 \\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} k & = & \displaystyle\frac{-6}{3} \\ k & = & \displaystyle\frac{4}{-2} \\ 0 & = & 0 \\ \end{array}\right.$

$\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} k & = & -2 \\ k & = & -2 \\ 0 & = & 0 \\ \end{array}\right.$ donc on a bien $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{n}$