Chapitres de maths en Terminale D

Cours sur les limites, continuité et dérivabilité en Terminale D

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale D

Vous trouverez ci-dessous un cours de maths sur les limites, continuité et dérivabilité proposé aux élèves de terminale D.

1. Cours sur la continuité en terminale D

Continuité en un point

Définition : Une fonction $f$ est continue en un réel $a$ si et seulement si $\lim\limits_{x \longrightarrow a}f(x)=f(a)$ .

Propriétés : Les polynômes, les fonctions rationnelles (quotient de polynômes), les fonctions trigonométriques, la fonction racine carrée, la fonction valeur absolue sont continues sur leur ensemble de définition.

Définition : fonction partie entière

Pour tout réel $x$ , la partie entière de $x$ , notée $E(x)$ , est l’unique entier relatif vérifiant :

$E(x) \leq x < E(x)+1$

Remarque : la fonction partie entière est une fonction en escalier. En effet, elle est constante sur chaque intervalle ouvert $]n,n+1[$ , avec $n \in \mathbb{Z}$ :

$\forall x \in ]n,n+1[$ , $E(x)=n$

Continuité sur un intervalle

Définition : Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ si et seulement si elle est continue en tout point $a$ de $I$ .

Théorème des valeurs intermédiaires : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , $a$ et $b$ deux réels de $I$ .

Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$ .

$\forall k \in [f(a),f(b)]$ , $\exists c \in [a,b]$ ,

$f(c)=k$

Corollaire :

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a) \times f(b)<0$ alors $f$ s’annule en un réel de $]a,b[$ .

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $[a,b]$ ,

alors $\forall k \in [f(a),f(b)]$ , l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $[a,b]$ .

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$ et si $f(a) \times f(b)<0$ ,

alors l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans $]a,b[$ .

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2 – Résumé de cours sur la dérivation en terminale D

Taux d’accroissement

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant deux réels distincts $a$ et $b$ .

On appelle taux d’accroissement (ou taux de variation) de la fonction $f$ entre $a$ et $b$ le réel :

$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

Nombre dérivé et tangente

Définition : dérivabilité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant un réel $a$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si

$\lim\limits_{h \rightarrow 0}\displaystyle{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ existe et est finie.

Dans ce cas, on note :

$\lim\limits_{h \rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$

Le réel $f'(a)$ ainsi défini est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ .

Définition : dérivabilité sur un intervalle

Une fonction $f$ est dite dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout réel de $I$ .

La fonction qui a tout réel $x$ de $I$ associe son nombre dérivé en $x$ est appelée fonction dérivée de $f$ et est notée $f'$ .

Propriété : équation de la tangente en un point

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I contenant un réel $a$ et $C_{f}$ sa courbe représentative.

La courbe $C_{f}$ admet au point de coordonnées $(a;f(a))$ une tangente d’équation :

${T_{a}$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$

Théorème : dérivée et variations

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ .

La fonction $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $\forall x \in I\text{, }f'(x) \geq 0$ .

La fonction $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $\forall x \in I\text{, }f'(x)\leq 0$ .

La fonction $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $\forall x \in I\text{, }f'(x) = 0$ .

Corollaire

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ contenant un réel $a$ .

Si $f$ admet un extremum local en $a$ alors $f'(a)=0$ .

Si $f'$ s’annule en $a$ en changeant de signe alors $f$ admet un extremum local en $a$ .

Théorème

La fonction $f$ est strictement croissante sur un intervalle $I$ si et seulement si

$f'$ est strictement positive sur $I$ sauf éventuellement en des réels isolés où elle s’annule.

La fonction $f$ est strictement décroissante sur un intervalle $I$ si et seulement si

$f'$ est strictement négative sur $I$ sauf éventuellement en des réels isolés où elle s’annule.

Formulaire des dérivées en terminale D

Dérivée et opérations en terminale D

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ . Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ .

Variations

Définition :

La fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$ si et seulement si,

pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$ , on a $f(a) \leq f(b)$ .

La fonction $f$ est strictement croissante sur un intervalle $I$ si et seulement si,

pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$ , on a $f(a) < f(b)$ .

La fonction $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ si et seulement si,

pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$ , on a $f(a) \geq f(b)$ .

La fonction $f$ est strictement décroissante sur un intervalle $I$ si et seulement si,

pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$ , on a $f(a) > f(b)$ .

Propriété : signe d’une fonction affine

Une fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ s’écrit :

$\forall x \in \mathbb{R}$ , $f(x)=ax+b$ , où $a \neq 0$ est le coefficient directeur de la droite, et $b$ son ordonnée à l’origine.

Pour l’étude du signe, la valeur importante est l’abscisse $x$ qui annule la fonction $f$ :

$f(x)=0 \Longleftrightarrow x=-\dfrac{b}{a}$

si $a>0$ , alors $f$ est croissante. Donc $f$ est négative sur $]-\infty,-\dfrac{b}{a}]$ , puis positive sur $[-\dfrac{b}{a},+\infty[$ .

si $a<0$ , alors $f$ est décroissante. Donc $f$ est positive sur $]-\infty,-\dfrac{b}{a}]$ , puis négative sur $[-\dfrac{b}{a},+\infty[$ .

Propriété : signe d’un polynôme du second degré

Soit $x \in \mathbb{R}$ et $f(x)=ax^{2}+bx+c$ une fonction polynôme de degré 2. Pour l’étude du signe de $f$ , deux cas de figure se présentent :

Si $\Delta=b^{2}-4ac \leq 0$ , alors $f$ est de signe constant, et prend le signe de $a$ .

Si ${\Delta=b^{2}-4ac > 0$ , alors $f$ possède deux racines réelles et change de signe.

La fonction $f$ prend le signe opposé de $a$ entre les racines

$x_{1}$ et $x_{2}$ , c’est-à-dire sur $[x_{1},x_{2}]$ , et le signe de $a$ à l’extérieur des racines, sur $]-\infty,x_{1}] \cup [x_{2},+\infty[$ .

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3 – Composée de fonctions en terminale D

Lorsque l’on enchaîne une fonction u suivie d’une fonction v, on définit une fonction $f$ appelée composée de $u$ par $v$ .

La fonction $f$ ainsi définie est notée $u\circ v$ . On lit « u rond v ».

Dire que $f=u \circ v$ signifie donc que pour tout $x$ de l’ensemble de définition de $f$ , on a $f(x)=u(v(x))$ .

Soient $v$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $u$ une fonction définie sur un intervalle $J$ tel que $v(I) \subset J$ .

La situation peut être résumée par le schéma suivant :

$x \in I \longrightarrow v(x) \in J \longrightarrow u(v(x))=f(x)$

Dérivée d’une fonction composée

Soit $f$ une fonction composée, définie sur $I$ par : $\forall x \in I\text{, }f(x)=u(v(x))$ .

Si :

$v$ est dérivable sur $I$
$u$ est dérivable sur $J$
$\forall x \in I$ , $v(x) \in J$

Alors la composée $f=u \circ v$ est dérivable sur $I$ et

$\forall x \in I$ , $f'(x)=v'(x) \times u'(v(x))$

4. Limites de fonctions en terminale D

Limite en $\pm \infty$

Limite en $+\infty$

Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $+\infty$ , c’est-à-dire sur un intervalle du type $]\alpha,+\infty[$ :

$f(x)$ tend vers $l$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand. On note alors :

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)=l$

$f(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque x tend vers $+\infty$ si tout intervalle du type $]A,+\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand. On note alors :

$f(x)$ tend vers $-\infty$ lorsque x tend vers $+\infty$ si tout intervalle du type $]-\infty,A[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand. On note alors :

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$

Limite en $-\infty$

Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $-\infty$ , c’est-à-dire sur un intervalle du type $]-\infty,\alpha[$ :

$f(x)$ tend vers $l$ lorsque x tend vers $-\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ négatif, suffisamment grand en valeur absolue. On note alors :

$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)=l$

$f(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque x tend vers $-\infty$ si tout intervalle du type $]A,+\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ négatif, suffisamment grand en valeur absolue. On note alors :

$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$

$f(x)$ tend vers $-\infty$ lorsque x tend vers $-\infty$ si tout intervalle du type $]-\infty, A[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ négatif, suffisamment grand en valeur absolue. On note alors :