Chapitres de maths en Terminale S2

Cours sur les limites et dérivabilité en Terminale S2

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale S2

Ce résumé de cours contenant toutes les notions au programme de terminale S2 propose de travailler sur les notions de limite et de dérivabilité des fonctions. Ce cours de mathématiques peut aider à préparer le bac et les études supérieures.

1. Résumé de cours sur la continuité en terminale S2

Continuité en un point

Une fonction $g$ est dite continue au voisinage d’un réel $b$ si et seulement si $\lim\limits_{x \longrightarrow b}g(x)=g(b)$ .

Ainsi, les fonctions polynômes, rationnelles, trigonométriques et la fonction racine carrée sont continues sur leur ensemble de définition.

Continuité sur I, un intervalle de l’ensemble de définition

Une fonction $g$ est dite continue sur un intervalle $I$ de son ensemble de définition si et seulement si elle est continue en tout point $b$ de cet intervalle.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Soit $g$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , $a$ et $b$ deux réels de $I$ .

Pour tout réel $k$ compris entre $g(a)$ et $g(b)$ , il existe un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $g(c)=k$ .

$\forall k \in [g(a),g(b)]$ , $\exists c \in [a,b]$ ,

$f(c)=k$

Corollaire du Théorème des valeurs intermédiaire en terminale S2 :

Si une fonction $g$ est continue sur $[a,b]$ et si $g(a) \times f(b)<0$ alors $g$ s’annule en un réel de $]a,b[$ .

Si $g$ est une fonction continue et strictement monotone sur $[a,b]$ ,

alors $\forall k \in [g(a),g(b)]$ , l’équation $g(x)=k$ admet une unique solution dans $[a,b]$ .

Si $g$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$ et si $g(a) \times g(b)<0$ ,

alors l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution dans $]a,b[$ .

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2 – Dérivabilité en terminale S2

Taux de variation d’une fonction en terminale S2

Soit g une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant deux réels distincts $a$ et $b$ .

On appelle taux de variation (ou taux d’accroissement) de la fonction $g$ entre $a$ et $b$ le réel :

$\dfrac{g(b)-g(a)}{b-a}}$

Équation de tangente et nombre dérivé

Dérivabilité en un point

Soit $g$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant un réel $a$ . On dit que $g$ est dérivable en $a$ si et seulement si

$\lim\limits_{h \rightarrow 0}\displaystyle{\frac{g(a+h)-g(a)}{h}}$ existe et est finie.

On note alors :

$\lim\limits_{h \rightarrow 0}\dfrac{g(a+h)-g(a)}{h}=g'(a)$

Le réel $g'(a)$ ainsi défini est appelé nombre dérivé de $g$ en $a$ .

Dérivabilité sur un intervalle

Une fonction $g$ est dite dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout réel de $I$ .

La fonction qui a tout réel $x$ de $I$ associe son nombre dérivé en $x$ est appelée fonction dérivée de $g$ et est notée $g'$ .

Équation de la tangente en un point

Soit $g$ une fonction dérivable sur un intervalle I contenant un réel $a$ et $C_{g}$ sa courbe représentative.

La courbe $C_{g}$ admet au point de coordonnées $(a; g(a))$ une tangente d’équation :

${T_{a}$ : $y=g'(a)(x-a)+g(a)$

Dérivation et variations

Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ .

La fonction $g$ est croissante sur $I$ si et seulement si $\forall x \in I$ , $g'(x) \geq 0$ .

La fonction $g$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $\forall x \in I$ , $f'(x)\leq 0$ .

La fonction $g$ est constante sur $I$ si et seulement si $\forall x \in I$ , $f'(x) = 0$ .

Corollaire sur la dérivation et variation

Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ contenant un réel $a$ .

Si $g$ admet un extremum local en $a$ alors $g'(a)=0$ .

Si $g'$ s’annule en $a$ en changeant de signe alors $g$ admet un extremum local en $a$ .

Théorème

La fonction $g$ est strictement croissante sur un intervalle $I$ si et seulement si

$g'$ est strictement positive sur $I$ sauf éventuellement en des réels isolés où elle s’annule.

La fonction $g$ est strictement décroissante sur un intervalle $I$ si et seulement si

$g'$ est strictement négative sur $I$ sauf éventuellement en des réels isolés où elle s’annule.

Formules de dérivées en terminale S2

Dérivée et opérations en terminale S2

Soient deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$ . Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ .

Variations de fonctions en terminale S2

Définition :

La fonction $g$ est croissante sur un intervalle $I$ si et seulement si,

pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$ , on a $g(a) \leq g(b)$ .

La fonction $g$ est strictement croissante sur un intervalle $I$ si et seulement si,

Pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$ , on a $g(a) < g(b)$ .

La fonction $g$ est décroissante sur un intervalle $I$ si et seulement si,

pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$ , on a $g(a) \geq g(b)$ .

La fonction $g$ est strictement décroissante sur un intervalle $I$ si et seulement si,

Pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$ , on a $g(a) > g(b)$ .

Propriété : signe d’une fonction affine

Une fonction affine $g$ définie sur $\mathbb{R}$ s’écrit :

$\forall x \in \mathbb{R}$ , $g(x)=ax+b$ , où $a \neq 0$ est le coefficient directeur de la droite, et $b$ son ordonnée à l’origine.

$g(x)=0 \Longleftrightarrow x=-\dfrac{b}{a}$

si $a>0$ , alors $f$ est croissante. Donc $g$ est négative sur $]-\infty,-\dfrac{b}{a}]$ , puis positive sur $[-\dfrac{b}{a},+\infty[$ .

si $a<0$ , alors $f$ est décroissante. Donc $g$ est positive sur $]-\infty,-\dfrac{b}{a}]$ , puis négative sur $[-\dfrac{b}{a},+\infty[$ .

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3 – Composée de fonctions en terminale S2

Lorsque l’on applique une fonction à une autre fonction, on définit une fonction $g$ appelée composée de $u$ par $v$ .

La fonction $g$ ainsi définie est notée $u\circ v$ . On dit que g est « u rond v ».

Dire que $g=u \circ v$ signifie donc que pour tout $x$ de l’ensemble de définition de $g$ , on a $g(x)=u(v(x))$ .

Soient $v$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $u$ une fonction définie sur un intervalle $J$ tel que $v(I) \subset J$ .

La situation peut être résumée par le schéma suivant :

$x \in I \longrightarrow v(x) \in J \longrightarrow u(v(x))=g(x)$

Dérivation d’une fonction composée terminale S2

Soit $g$ une fonction composée, définie sur $I$ par : $\forall x \in I$ , $g(x)=u(v(x))$ .

Si :

$v$ est dérivable sur $I$
$u$ est dérivable sur $J$
$\forall x \in I$ , $v(x) \in J$

Alors la composée $g=u \circ v$ est dérivable sur $I$ et

$\forall x \in I$ , $g'(x)=v'(x) \times u'(v(x))$

4. Limites de fonctions en terminale S2

Limite des fonctions en $\pm \infty$

Limite en $+\infty$

Soit $g$ une fonction définie au voisinage de $+\infty$ , c’est-à-dire sur un intervalle du type $]\alpha,+\infty[$ :

$g(x)$ tend vers $l$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les valeurs de $g(x)$ pour $x$ suffisamment grand. On note alors :

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}g(x)=l$

$g(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque x tend vers $+\infty$ si tout intervalle du type $]A,+\infty[$ contient toutes les valeurs de $g(x)$ pour $x$ suffisamment grand. On note alors :

$g(x)$ tend vers $-\infty$ lorsque x tend vers $+\infty$ si tout intervalle du type $]-\infty,A[$ contient toutes les valeurs de $g(x)$ pour $x$ suffisamment grand. On note alors :

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$

Limite en $-\infty$

Soit $g$ une fonction définie au voisinage de $-\infty$ , c’est-à-dire sur un intervalle du type $]-\infty,\alpha[$ :

$g(x)$ tend vers $l$ lorsque x tend vers $-\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les valeurs de $g(x)$ pour $x$ négatif, suffisamment grand en valeur absolue. On note alors :

$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}g(x)=l$

$g(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque x tend vers $-\infty$ si tout intervalle du type $]A,+\infty[$ contient toutes les valeurs de $g(x)$ pour $x$ négatif, suffisamment grand en valeur absolue. On note alors :

$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}g(x)=+\infty$

$g(x)$ tend vers $-\infty$ lorsque x tend vers $-\infty$ si tout intervalle du type $]-\infty, A[$ contient toutes les valeurs de $g(x)$ pour $x$ négatif, suffisamment grand en valeur absolue. On note alors :