Chapitres Maths en Première

Cours suites arithmétiques et géométriques en 1ère

Ce cours en ligne de maths en première permet aux élèves de réviser le chapitre sur les suites arithmétiques et sur les suites géométriques en classe de première. D’autres cours en ligne de première et des cours de maths à domicile disponibles sur notre site peuvent venir compléter leur entraînement : suites numériques, second degré, dérivation, etc.

Suite arithmétique : définition

On dit que la suite $(u_{n})$ est une suite arithmétique si pour tout $n$ , $\qquad \quad \boxed{u_{n+1}=u_{n}+r}$ , où $r$ est un nombre réel, appelé raison de la suite arithmétique.

La suite $(u_{n + 1} - u_n) _{n \geqslant 0}$ est constante. Pour passer d’un terme de la suite au terme suivant, on ajoute $r$ .

Suite arithmétique : expression à partir du premier terme

$\bullet$ Si la suite $(u_n)_ n$ est une suite arithmétique, elle vérifie :
pour tout entier $n$ , $\boxed{u_{n}=u_{0}+ n\, r}$
et si $n \geqslant p$ , $u_n = u_p + (n - p) \, r$

$\bullet$ Réciproquement, s’il existe deux nombres réels $r$ et $b$ tels que pour tout $n$ , $u_n = b + n\, r$ , alors $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = b$ et de raison $r$ .

Interprétation graphique d’une suite arithmétique

$\bullet$ Pour une suite arithmétique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ , les points $(n , u_n)$ sont alignés sur la droite d’équation $y = a + b\, x$ avec $a$ et $b$ exprimés en fonction de $u_0$ et $r$ :

$a = u_0$ et $b = r$

En effet la droite d’équation $y = u_0 + r\, x$ passe par le point $\qquad \quad (n ,\, u_0 + n\, r ) = (n ,\, u_n)$

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Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique

$\bullet$ Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ , on peut calculer la somme $\qquad \quad S_n = u_0+u_1+...+u_n$
par la formule :

$\qquad \boxed{S_n = (n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}}$ .

Dans cette formule,

$\ast$ $(n+1)$ est le nombre de termes présents dans la somme

$\ast$ $\dfrac{u_0+u_n}{2}$ est la valeur du « terme moyen », moyenne arithmétique du premier terme et du dernier terme.

Suite géométrique : définition

$(u_{n})_{n \geqslant 0}$ est une suite géométrique s’il existe un réel $q$ tel que pour tout $n$ , $\qquad \qquad u_{n+1}=u_{n} \times q$ .

Le réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.

Pour passer d’un terme de la suite au terme suivant, on multiplie par $q$ .

Expression à partir du premier terme d’une suite géométrique

$\bullet$ Si $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ , elle vérifie pour tout entier $n$ , $\qquad \quad \boxed{u_n = u_{0} \times q^{n}}$

et plus généralement si $k \in \mathbb{N}^*$ et $n \geqslant k$ , $u_n = u_k \, q ^ {n - k}$ .

$\bullet$ Réciproquement, s’il existe deux nombres réels $q$ et $a$ tels que pour tout $n$ , $u_n = a \times q^n$ , alors $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = a$ et de raison $q$

Exemple

La suite $(u_n)_n$ définie par si $n \in \mathbb{N}$ , $u_n = \displaystyle 6 \times \left ( \frac{2}{3 } \right )^n$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $q = \dfrac{2}{3}$ .

Suite géométrique : somme de termes consécutifs

$\bullet$ $q$ est un réel non égal à 1, $S_n = 1 + q + \cdots + q^n = \displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ et si $q = 1, \, S_n = n + 1$ .

$\bullet$ Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N} }$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q \neq 1$ , on peut calculer la somme

$\qquad \quad S_n = u_0+u_1+\,\cdots \, +u_n$

par la formule :

$\qquad \quad S_n = u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .

$\bullet$ Si $q=1$ la formule ci-dessus n’est pas applicable. Dans ce cas, $(u_n)$ est constante égale à $u_0$ , et :

$S_n = u_0+u_1+...+u_n = (n+1)u_0$

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Suite géométrique : représentation graphique pour une raison q > 0

Si $a \in \mathbb{R}$ , la suite de terme général $u_n = \textrm{e}^{n\, a}$ est une suite géométrique de raison $\textrm{e} ^a$ . Les points $\left ((n , u_n) \right )_n$ sont des points du graphe de la fonction $x \mapsto \textrm{e} ^{a\, x}$

On démontrera en cours d’année de Terminale que si $q > 0$ , il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $q = \textrm{e} ^a$ , alors $u_n = u_0 \, q^n = u_0 \, \textrm{e} ^{n \, a}$ .

La suite est définie de façon explicite par $f : x \mapsto u_0 \, \textrm{e} ^{a \, x}$ .
Dans le cas où $a > 0$ et $u_0 > 0$ , on parle de croissance exponentielle (à ne pas confondre avec fonction exponentielle).

Le cours complet sur les suites arithmétiques et suites géométriques en 1ère se trouve sur l’application mobile PrepApp.