Chapitres de maths en 1ère

Exercices corrigés : suites numériques en première

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Première

Ces exercices sur les suites numériques en 1ère permettent aux élèves de mettre en application le cours en ligne de maths en première sur les suites afin de vérifier qu’ils l’ont bien compris. D’autres exercices sont disponibles sur notre site comme des exercices sur le second degré en première, des exercices sur la dérivation, des exercices sur la fonction exponentielle par exemple ou encore des exercices sur les suites arithmétiques et géométriques.

Suites numériques en 1ère : exercice 1

Déterminez l’expression du terme général d’une suite.

Proposer une suite $(u_n), n\in \mathbb{N}$ satisfaisant les conditions suivantes. On demande de déterminer le terme général en fonction de $n$ .

Question 1 :

$u_0 =0$ et $u_{10}=10$ .

Question 2 :

$u_0=2$ , $u_{10}=20$ et $u_{20}=2$ .

Question 3 :

$u_3=-2$ et $u_6=16$ et pour un réel $a, u_{n+1}=au_n$ .

Question 4 :

$u_2 = \dfrac{1}{4}$ et $u_6 = \dfrac{1}{36}$ .

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Exercice 1 sur les suites numériques corrigé

Question 1

Il existe une infinité de suites satisfaisant des conditions sur des termes particuliers. Etant donné que les suites sont des fonctions définies sur l’ensemble des entiers naturels, on peut se servir des résultats sur les fonctions vues en classe de seconde.

$\bullet$ Si on demande une fonction en connaissant les images de deux antécédents, on peut proposer une fonction affine de la forme $u_n=an+b$ où $a,b\in \mathbb{R}$ ;

$\bullet$ Si on demande une fonction en connaissant les images de trois antécédents, on peut proposer une fonction du second degré de la forme $an^2+bn+c$ où $a,b,c\in \mathbb{R}$ .

1. $u_0 = 0$ et $u_{10} = 10$ . La représentation graphique (un nuage de points) de la suite $(u_n)$ passe par deux points de coordonnées $(0;0)$ et $(10;10)$ . On peut choisir la relation affine : il existe $a, b\in\mathbb{R}$ tels que pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n = an + b$ . Dans ce cas, les conditions de l’énoncé peuvent être traduites par :

$\left\{\begin{array}{ll} a\times 0 + b = 0 \\a\times 10 + b = 10 \end{array} \right.$

Donc :

$\left\{\begin{array}{ll} b = 0 \\ 10a + b = 10 \end{array} \right.$

Ainsi $b = 0$ et $a = 1$ . On obtient le terme général de $(u_n)$ en fonction de n : $u_n = n, \forall n\in \mathbb{N}$

Question 2

La représentation graphique de la suite $(u_n)$ passe par trois points de coordonnées $(0;2)$ et $(10;20)$ et $(20;2)$ . On peut choisir une expression du second degré : il existe $a, b, c\in\mathbb{R}$ tels que pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n = an^2+bn+c$ . Dans ce cas, les conditions de l’énoncé peuvent être traduites par :

c = 2

100a + 10b + c = 20

400a + 20b + c = 2

On remplace la valeur de $c$ dans les deux dernières équations:

100a + 10b = 18

400a + 20b = 0

Par la méthode par substitution, la deuxième équation donne: b = -20a

La première équation donne:

100a – 200a = 18

Ce qui donne:

a= – $\dfrac{18}{100}$ = – $\dfrac{9}{50}$

Par conséquent,

b = $-20\times(-\dfrac{9}{50}) = \dfrac{18}{5}$

Donc pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n = -\dfrac{9}{50}n^2 + \dfrac{18}{5}n +2$

Question 3

$u_3 = -2$ et $u_6 = 16$ et pour un réel $a$ , $u_{n+1} = au_n$ , pour tout $n\in \mathbb{N}$ .

D’après la relation $u_{n+1}=au_n$ et prenant successivement $n=5$ , $n=4$ puis $n=3$ , on obtient:

$u_6=au_5$

$u_5=au_4$

$u_4=au_3$

Ce qui donne $u_6=a^3u_3$ . Avec $u_6=16$ et $u_3=-2$ , on obtient $a^3=-8$ . D’où $a=-2$ .

Pour tout $n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=-2u_n$

Question 4

$u_2 = \dfrac{1}{4}$ et $u_6 = \dfrac{1}{36}$ .

On peut proposer un modèle linéaire comme dans la question $1$ ou le modèle dans la question 3. Mais, en écrivant $u_2 = \dfrac{1}{2^2}$ et $u_6 = \dfrac{1}{6^2}$ , on peut proposer la suite de terme général $u_n=\dfrac{1}{n^2}$ . On peut alors proposer la suite: pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $u_n = \dfrac{1}{n^2}$ .

Exercice 2 Suites numériques première :

Soit $P(x)=-x^2+3x-2$ .

Question 1.a

Calculer les racines de $P$ .

Question1.b

Démontrer que pour tout $1<x<2$ , $P(x)>0$ .

Corrigé de l’exercice 2 sur les suites numériques

Question 1.a

Le polynôme $P$ est du second degré de la forme $ax^2+bx+c$ . Son discriminant $\Delta =9-8=1>0$ , donc on a deux racines :

$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$=\dfrac{-3+1}{-2}=1$

$x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$=\dfrac{-3-1}{-2}=2$

Les racines de P sont donc 1 et 2.

Questions 1.b

Le polynôme $P$ est du second degré.

$P$ est positif sur ]1;2[

$P$ est négatif sur ] $-\infty$ ;1[ $\cup$ ]2; $+\infty$ [

Ce qui montre que pour $1<x<2, P(x)>0$ .

Suites numériques 1ère : exercice 3

Dire si l’affirmation est Vraie ou Fausse. Démontrer votre réponse.

Question 1 :

Si la suite $(u_n)$ est bornée, alors elle est monotone.

Question 2 :

Soit $f$ une fonction définie sur $[0;+\infty[$ . Si $f$ est décroissante sur cet intervalle, alors la suite de terme général $u_n=f(n)$ et décroissante pour tout $n\in \mathbb{N}$ .

Question 3 :

Si les termes d’une suite $(u_n)$ vérifient pour tout $n\in\mathbb{N}$ $u_{n+1}=-u_n+n$ , alors elle est décroissante quel que soit la valeur de $u_0$ .

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Correction de l’exercice 3 sur les suites numériques

Question 1 :

Contre-exemple :

Soit $(u_n)$ la suite définie par son terme général $u_n=(-1)^n$ . Pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $-1\leq u_n\leq 1$ . Donc, la suite $(u_n)$ est bornée. Mais: $u_{n+1}-u_n$

$=(-1)^{n+1}-(-1)^n$

$=(-1)(-1)^n-(-1)^n$

$=-2(-1)^n$ Ce qui n’a pas de signe constant.Donc, la suite $(u_n)$ est bornée mais n’est pas monotone.

Question 2 :

Soit $f$ une fonction définie et décroissante sur $[0;+\infty[$ , alors pour tout $x_1, x_2 \in [0;+\infty[$ on a: $x_2 \ge x_1 \Rightarrow f(x_2) \leq f(x_1)$ . Donc pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $f(n) \le f(n+1)$ , ce qui nous permet de dire que $u_n \le u_{n+1}$ . Donc, $(u_n)$ est décroissante.

Question 3 :