Cours en ligne Physique-Chimie en Maths Spé

Chapitres Physique-Chimie en MP, PSI, PC, MPI, TSI, PT

Cours sur les conducteurs ohmiques en maths spé : MP, PC, MPI, PSI, PT

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Résumé de cours Exercices corrigés

Ce cours en ligne de physique chimie de maths vous aidera à exceller sur le cours des conducteurs ohmiques, à l’aide du cours vous pouvez progresser sur les notions sur les propriétés des conducteurs, l’effet Joule et l’effet peau. Cependant il est conseillé de suivre de cours de soutien en physique chimie pour progresser tout au long de l’année en CPGE.

Propriétés des conducteurs ohmiques en prépa maths spé

Méthode 1 : donner un modèle de la loi d’Ohm locale.

Le modèle le plus classique est le modèle de Drude.

En régime permanent, le PFD appliqué à l’électron donne

$\displaystyle{\vec{0}=m\vec{g}-e\vec{E}-e\vec{v}\wedge\vec{B}-\frac{m}{\tau}\vec{v}}$

On en déduit, en négligeant le poids et la force de Lorentz magnétique devant la force électrique

$\displaystyle{\vec{v}=-\frac{\tau e}{m}\vec{E}}$

En notant $n_0$ le nombre d’électrons de conduction par mètre cube

$\displaystyle{\vec{j}=n_0(-e)\vec{v}=\frac{n_0\tau e^2}{m}\vec{E}}$

qui est bien la loi d’Ohm locale

$\vec{j}=\gamma\vec{E}$

avec $\displaystyle{\gamma=\frac{n_0\tau e^2}{m}}$ la conductivité électrique.

Exemple.

On donne $\tau=2,5\cdot 10^{-14}~\mathrm{s}$ ,

$e=1,6\cdot 10^{-19}~\mathrm{C}$

$m=9,1\cdot 10^{-31}~\mathrm{kg}$

et $E=100~\mathrm{V\cdot m^{-1}}$

Méthode 2 : donner la forme des équations de Maxwell dans un conducteur ohmique.

a. Dans le cas général, on injecte $\vec{j}=\gamma\vec{E}$ dans les équations de Maxwell.

b. Dans le cas du régime quasistationnaire, on peut négliger

$\displaystyle{\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\ll \vec{\mathrm{rot}}\vec{B}}$

c. Dans le cas d’un bon conducteur ( $\gamma$ au moins de l’ordre de $10^6~\mathrm{S\cdot m^{-1}}$ ), et si on reste à des fréquences inférieures aux fréquences de l’optique ( $10^{14}$ Hz), alors on peut montrer que

$\rho\simeq 0$ et

$\displaystyle{\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\ll \mu_0\vec{j}}$

Les équations de Maxwell s’écrivent alors

(MG) $\mathrm{div}\vec{E}=0$

(MT) $\mathrm{div}\vec{B}=0$

(MF) $\displaystyle{\vec{\mathrm{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}$

(MA) $\displaystyle{\vec{\mathrm{rot}}\vec{B}=\mu_0\vec{j}=\mu_0\gamma\vec{E}}$

Si on est en régime quasistationnaire, alors $\vec{E}=-\vec{\mathrm{grad}}V$ . On en déduit l’équation de Laplace

$\Delta V=0$

Exemple.

Établir l’équation différentielle vérifiée par $\rho$ pour un conducteur ohmique. En déduire que $\rho\simeq 0$ en prenant $\gamma=10^6~\mathrm{S\cdot m^{-1}}$ et $\varepsilon_0\simeq 10^{-11}~\mathrm{F\cdot m^{-1}}$ .

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Méthode 3 : déterminer la résistance d’un conducteur ohmique en régime quasi stationnaire.

Un courant d’intensité $I$ traverse un conducteur délimité par deux faces entre lesquelles on impose une tension électrique $U$ égale à la différence de potentiel entre ces deux faces

$U=V(A)-V(B)$ .

1. On résout $\Delta V=0$

2. On en déduit $V(M)$ en utilisant les conditions aux limites en $A$ et en $B$

3. On calcule $\vec{E}=-\vec{\mathrm{grad}}V$

4. On en déduit $\vec{j}=\gamma\vec{E}$

5. On calcule $I=\iint_S\vec{j}\cdot d\vec{S}$ où $S$ est une section du conducteur traversée par le courant.

6. On en déduit $\displaystyle{R=\frac{U}{I}}$ .

Exemple.

Un conducteur ohmique a la forme d’un cylindre de rayon $b$ et de longueur $D$ . Il est parcouru par un courant axial selon $z$ , d’intensité $I$ lorsqu’on impose une tension $U$ entre la face en $z=0$ et la face en $z=D$ .

Quelle est l’expression de $R$

Effet Joule en prépa MP, MPI, PC, PSI et PT

Méthode : exprimer la puissance dissipée par effet Joule.

La puissance volumique électrocinétique est

$\mathcal{P}_V=\vec{j}\cdot\vec{E}$

On en déduit la puissance dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique

$\displaystyle{\vec{j}\cdot\vec{E}=\frac{j^2}{\gamma}=\gamma E^2}$

$\displaystyle{\mathcal{P}=\iiint_{\mathcal{V}}\vec{j}\cdot\vec{E}d\tau}$

Exemple.

Pour un conducteur cylindrique de longueur $D$ et de section $S$ parcouru par un courant axial uniforme

$\displaystyle{\vec{j}=\frac{I}{S}\vec{u}_z}$ et $\displaystyle{\vec{E}=\frac{U}{D}\vec{u}_z}$

Quelle est l’expression de $\mathcal{P}$ ?

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Effet de peau en prépa

Méthode 1 : établir l’équation de diffusion vérifiée par $\vec{E}$ .

On se place en régime quasistationnaire (valable jusqu’à des fréquences de l’ordre des fréquences optiques).

On dérive par rapport au temps l’équation de Maxwell-Ampère (dans laquelle le terme de courant de déplacement est négligé).

On compose l’équation de Maxwell-Faraday avec le rotationnel.

On utilise le théorème de Schwartz pour éliminer $\vec{B}$ entre les deux équations.

$\displaystyle{\frac{\partial}{\partial t}\vec{\mathrm{rot}}\vec{B}=\mu_0\frac{\partial\vec{j}}{\partial t}}$

$\displaystyle{\vec{\mathrm{rot}}\vec{\mathrm{rot}}\vec{E}=-\vec{\mathrm{rot}}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}}$

$\displaystyle{\vec{\mathrm{grad}}\mathrm{div}\vec{E}-\Delta\vec{E}=-\mu_0\gamma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}}$

d’où l’équation, de type équation de diffusion, vérifiée par $\vec{E}$ ou par $\vec{j}=\gamma\vec{E}$ .

$\displaystyle{\Delta\vec{E}=\mu_0\gamma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}}$

Méthode 2 : décrire l’effet de peau.

L’équation de diffusion est difficile à résoudre dans le cas général.

En se plaçant en régime sinusoïdal forcé unidimensionnel, et en raisonnant en ordres de grandeur, on montre que le champ électrique, et donc le courant électrique, ne pénètre dans le métal que sur une épaisseur égale à l’épaisseur de peau

$\displaystyle{\delta=\sqrt{\frac{2}{\mu_0\gamma\omega}}}$

où $\omega$ est la pulsation.

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Exemple.

En régime sinusoïdal forcé, en supposant que le champ électrique ne dépend que de $z$ et de $t$ , traduire l’équation en ordres de grandeur et en déduire une estimation de $\delta$ .

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