Cours en ligne Physique-Chimie en Maths Spé

Chapitres Physique-Chimie en MP, PSI, PC, MPI, TSI, PT

Cours sur physique quantique en MP, PSI, PC, MPI

Ce cours de physique chimie gratuit spécialement conçu pour les étudiants en maths spé vous sera très utile pour étudier la physique quantique. Au cours du cours en ligne de physique-chimie, nous aborderons les concepts suivants : Solutions stationnaires, grandeurs $\psi$ , $\rho$ et $\vec{J}$ , paquet d’ondes, potentiel constant par morceaux et oscillations quantiques. Si vous souhaitez améliorer vos notes, nous vous encourageons vivement à envisager nos cours à domicile en physique chimie.

Solutions stationnaires en maths spé

Méthode 1. Séparation des variables

Dans l’équation de Schrödinger (EDS en abrégé) unidimensionnelle pour une particule sans spin et dans un champ d’énergie potentielle indépendante du temps

$\displaystyle{i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=}$

$\displaystyle{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\psi(x,t)}$

On cherche une solution stationnaire

$\psi(x,t)=u(t)\cdot\varphi(x)$

On injecte cette expression dans EDS, on divise par $\psi(x,t)$ et on obtient

$\displaystyle{i\hbar\frac{u'(t)}{u(t)}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\varphi''(x)}{\varphi(x)}+V(x)}$

Cette égalité entre deux termes dont l’un ne dépend que de $t$ et l’autre que de $x$ implique leur égalité à une constante indépendante de $t$ et de $x$ , homogène à $V(x)$ , on l’identifie à l’énergie $E$ de la particule. On en déduit

$\displaystyle{u'()+i\frac{E}{\hbar} u(t)=0}$

$\displaystyle{\varphi''(x)+\frac{2m}{\hbar^2}\left(E-V(x)\right)\varphi(x)=0}$

Exemple.

Établir l’expression de $u(t)$ . On prendra, en justifiant, la constante d’intégration égale à 1. En déduire la relation de Planck-Einstein.

Méthode 2. Résolution de l’EDS spatiale pour un potentiel constant

On pose $V(x)=V_0$

* Si $E>V_0$ alors

$\varphi(x)=A\exp(ikx)+B\exp(-ikx)$

*Si $E<V_0$ alors

$\varphi(x)=A\exp\frac{x}{\delta}+B\exp\left(-\frac{x}{\delta}\right)$

Exemple.

Donner les expressions de

* la pulsation spatiale $k$ dans le cas $E>V_0$

* l’épaisseur de peau $\delta$ si $E<V_0$

Méthode 3. Interpréter les solutions stationnaires de l’EDS

* La solution

$\psi(x,t)=A\exp\left(-i(\omega t-kx)\right)$

est une onde progressive dans le sens des $x$ croissants

* La solution

$\psi(x,t)=A\exp\left(-i(\omega t+kx)\right)$

est une onde progressive dans le sens des $x$ décroissants

* La solution

$\psi(x,t)=A\exp(\pm kx)\left(-i\omega t)\right)$

est une onde stationnaire (parfois qualifiée d’évanescente selon le sens pour $x$ et le signe devant $k$ ).

Exemple.

Pourquoi dit-on que

$\psi(x,t)=A\exp\left(-i(\omega t-kx)\right)$

est progressive dans le sens des $x$ croissants ?

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C’est comprendre et réussir

Grandeurs $\psi$ , $\rho$ et $\vec{J}$

Méthode 1. Densité de probabilité de présence

$\psi(x,t)$ est une grandeur complexe ondulatoire. Le carré de sa norme est la densité linéique de probabilité de présence

$\rho(x,t)=\psi(x,t)\cdot\psi^*(x,t)$

où l’étoile désigne le conjugué. Par définition

$\displaystyle{\rho(x,t)=\frac{dP([x,x+dx],t)}{dt}}$

où $dP([x,x+dx],t)$ est la probabilité que la particule se trouve dans l’intervalle $[x,x+dx]$ à la date $t$ .

Exemple.

Montrer que pour une solution stationnaire

$\psi(x,t)=u(t)\varphi(x)$ de EDS, la densité linéique de probabilité de présence ne dépend pas de $t$

Méthode 2. Normalisation et calcul d’une probabilité de présence sur un intervalle

La probabilité est normalisée

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}\rho(x,t)dx=1}$

La probabilité de présence de la particule dans l’intervalle $[a,b]$ est

$\displaystyle{P([a,b],t)=\int_{x=a}^b\rho(x,t)dx}$

Exemple.

Calculer la norme du complexe $A$ pour la solution stationnaire

$\displaystyle{\psi(x,t)=A\exp(-i\omega t)\sin\left(n\frac{\pi x}{a}\right)}$ pour $x\in[0,a]$

et $\psi(x,t)=0$ partout ailleurs.

Méthode 3. Vecteur densité de courant de probabilité de présence

Pour une onde progressive

$\displaystyle{\psi(x,t)=A\exp\left(-i(\omega t-kx)\right)}$

le vecteur densité de courant de probabilité de présence est

$\displaystyle{\vec{J}(x,t)=\psi(x,t)\psi^*(x,t)\frac{\hbar k}{m}\vec{u}_x}$

$\displaystyle{\vec{J}(x,t)=\rho(x)\frac{\hbar k}{m}\vec{u}_x}$

Exemple.

Quelle est l’unité de $\vec{J}$ ? En déduire son sens physique.

Paquet d’ondes en MP, PC, PSI, MPI

Méthode 1. Étude d’un paquet d’ondes pour une particule libre

Une particule libre est soumise à $V_0=0$ pour tout $x$ et d’énergie $E>0$ .

La solution stationnaire

$\displaystyle{\psi(x,t)=A\exp\left(-i(\omega t-kx)\right)}$

avec $\displaystyle{k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}}$ et $E=\hbar\omega$ n’est pas normalisable. La particule est assimilée à un paquet d’ondes d’extension spatiale $\Delta x$ et de largeur spectrale $\Delta k$ .

Un résultat de la théorie spectrale de Fourier donne $\Delta x\cdot\Delta k\simeq 2\pi$

La vitesse de la particule s’identifie à la vitesse de l’enveloppe du paquet d’ondes, donc à la vitesse de groupe

$\displaystyle{v_g=\frac{d\omega}{dk}=\sqrt{\frac{2\hbar\omega}{m}}}$

Démonstrations de cours

Démontrer les trois résultats fondamentaux suivants.

1. Relation de de Broglie : en notant $\vec{p}$ la quantité de mouvement de la particule

$\vec{p}=\hbar\vec{k}$ donc $\displaystyle{p=\frac{h}{\lambda}}$

2. Inégalité de Heisenberg spatiale

$\Delta x\Delta p\simeq h$

3. Énergie cinétique

$\displaystyle{E=\frac{p^2}{2m}}$

Méthode 2. Densité de courant de probabilité de présence pour une particule libre.

En utilisant la relation de de Broglie

$\vec{J}=\rho\vec{v}_g$

Exemple.

Vérifier sur cette expression l’unité et le sens physique de $\vec{J}$ (voir partie 2, méthode 3).

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Potentiel constant par morceaux

Méthode 1. Solution stationnaire par morceaux

Le potentiel est constant par morceaux, il forme une fonction en escaliers sur la droite réelle. Soit $E$ l’énergie et $m$ la masse d’une particule.

Pour chaque intervalle, on distingue deux cas.

* Si $E>V$ , on pose $\displaystyle{k=\sqrt{\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}}}$ et

$\psi(x,t)=\exp(-i\omega t)$

$\left[A\exp(ikx)+B\exp(-ikx)\right]$

soit $\psi(x,t)=A\exp(-i(\omega t-kx))$

$+B\exp(-i(\omega t+kx)$

qu’on interprète par la superposition de deux ondes harmoniques se propageant dans le sens croissant et dans le sens décroissant des $x$ .

* SI $E<V$ , on pose $\displaystyle{\delta=\sqrt{\frac{\hbar^2}{2m(V-E)}}}$ et

$\psi(x,t)=\exp(-i\omega t)$

$\left[A\exp\left(-\frac{x}{\delta}\right)+B\exp\frac{x}{\delta}\right]$

En particulier, si $V=+\infty$ , $\psi(x,t)=0$

On a donc deux constantes pour chaque intervalle. On écrit les relations de continuité en chaque point de discontinuité du potentiel.

* $\varphi(x)$ est toujours continue

* Si la hauteur de la discontinuité du potentiel est finie, $\varphi'(x)$ est continue.

Exemple.

Le puits de potentiel infini est formé par

$V(x)=0$ si $x\in[0,a]$ et $V(x)=+\infty$ ailleurs.

Déterminer la solution générale (en supposant $E>0$ ) et les deux relations de continuité (sans résoudre le système).

Méthode 2. Exploiter les relations pour prouver la quantification de l’énergie

Il est parfois possible d’éliminer les constantes entre les relations de continuité, et d’en déduire une relation entre les pulsations spatiales ( $k$ ) et les épaisseurs de peau ( $\delta$ ) dans les différents intervalles. Comme ces grandeurs ne dépendent que de $E$ et des différents paramètres (les valeurs des potentiels et $m$ ), on en déduit une équation dont l’unique inconnue est $E$ .

La présence d’exponentielles complexes dans cette équation conduit à des équations trigonométriques, qui admettent des solutions discrètes, d’où quantification de $E$ . Il est fréquent qu’on recoure à une résolution graphique.

Exemple.

Expliciter les valeurs quantifiées de $k$ , $E$ et $\omega$ pour la particule dans le puits de potentiel infini.

Méthode 3. Exploiter les relations pour calculer un coefficient de réflexion

Le cas d’école est la marche de potentiel.

En un point de discontinuité, on détermine le rapport entre le coefficient complexe de l’onde complexe « réfléchie » qui se propage dans le sens des $x$ décroissants et celui de l’onde complexe « incidente » qui se propage dans le sens des $x$ croissants.

On en déduit le coefficient de réflexion en densités de courant entre l’onde réfléchie et l’onde incidente.

Exemple

Une particule d’énergie $E$ et de masse $m$ aborde une marche de potentiel

( $V(x)=0$ pour $x$ négatif)

$\rightarrow$ ( $V(x)=V_0<E$ pour $x$ positif).

Déterminer le coefficient de réflexion et de transmission de l’onde en fonction de

$\displaystyle{k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}}$

et $\displaystyle{k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}}}$

On supposera que les particules arrivent de $-\infty$

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Oscillations quantiques

Méthode. Expliciter la superposition de deux solutions stationnaires et observer qu’elle n’est pas stationnaire

On forme la superposition de deux solutions stationnaires d’énergies différentes $E_1$ et $E_2$

$\psi(x,t)=\psi_1(x,t)+\psi_2(x,t)$

On exprime la densité de probabilité

$\rho(x,t)=\psi(x,t)\psi^*(x,t)$

On met en évidence les termes carrés

$\rho_1(x)$ et $\rho_2(x)$

qui sont indépendants du temps

et la somme des termes rectangles qui s’exprime par une fonction cosinusoÏdale du temps, de pulsation

$\displaystyle{\omega_{1,2}=\frac{|E_1-E_2|}{\hbar}}$

Démonstration de cours que les oscillations quantiques

Démontrer la propriété énoncée.

L’année de maths spé est très courte et les concours arrivent très vite, d’intenses et régulières révisions sont donc indispensables. Revoyez par exemple, les chapitres suivants au programme de physique-chimie en maths spé :

Cours sur physique quantique en MP, PSI, PC, MPI

Solutions stationnaires en maths spé

Méthode 1. Séparation des variables

Méthode 2. Résolution de l’EDS spatiale pour un potentiel constant

Méthode 3. Interpréter les solutions stationnaires de l’EDS

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Grandeurs $\psi$ , $\rho$ et $\vec{J}$

Méthode 1. Densité de probabilité de présence

Méthode 2. Normalisation et calcul d’une probabilité de présence sur un intervalle

Méthode 3. Vecteur densité de courant de probabilité de présence

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Méthode 1. Étude d’un paquet d’ondes pour une particule libre

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