Cours en ligne Physique-Chimie en Maths Spé

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Cours sur la diffusion thermique en maths spé

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Résumé de cours Exercices corrigés

Ce cours gratuit de physique chimie en prépa maths spé vous aidera pour travailler la diffusion thermique. À l’aide de ce cours de MP, PC, PT, PSI et MPI, vous aurez l’occasion de voir les équations d’une diffusion thermique, les conditions d’une limite et les éléments de résolution de l’équation, Si vous souhaitez améliorer vos résultats en prépa, n’hésitez pas à suivre nos cours de physique chimie à domicile.

Établir l’équation de diffusion thermique

En l’absence de terme de source ou de perte thermique, il est toujours possible d’appliquer sans démonstration les deux lois générales suivantes

$\displaystyle{\mu c\frac{\partial T}{\partial t}=-\mathrm{div}\vec{j}}$

$\vec{j}=-\lambda\vec{grad} T$

On en déduit l’équation de la chaleur :

$\displaystyle{\frac{\partial T}{\partial t}-D\Delta T=0 \quad avec \quad D=\frac{\lambda}{\mu c}}$

Cependant, il est fortement conseillé de toujours refaire la démonstration suivante, car c’est en l’adaptant qu’on pourra prendre en compte les hypothèses de l’énoncé et les éventuels termes de source.

1. Pour établir l’équation de diffusion thermique, on commence par étudier la géométrie du problème, et on définit les deux grandeurs fondamentales en un point $M$ et à une date $t$ :

* la température $T(M,t)$ en kelvin

* le vecteur densité de courant thermique $\vec{j}(M;t)$ en joule par kelvin et par mètre carré.

Les invariances, les symétries et les hypothèses de l’énoncé amènent à exprimer ces deux grandeurs en fonction

* de $x$ , de $y$ ou de $z$ pour les transferts unidirectionnels (cas des barreaux, situation du cours) ;

* de $M$ indépendamment de $t$ dans le cas stationnaire ou permanent (cas de la loi d’Ohm thermique) ;

* de $r$ pour les transferts radiaux cylindriques ou sphériques (étude thermique d’une planète par exemple) ;

* de $\theta$ pour les transferts orthoradiaux (problème de Fourier dans un anneau torique calorifugé).

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2. On applique ensuite le premier principe sur une tranche infinitésimale du matériau, pendant une durée infinitésimale : c’est le bilan thermique. Celui-ci demande beaucoup de soin, et beaucoup de pratique pour savoir le faire correctement. Souvent, ce sont des difficultés de géométrie qui se posent : il est indispensable de connaître parfaitement :

Les expressions de la surface d’un disque de rayon $r$ , de la surface latérale d’un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $H$ et de la surface d’une sphère de rayon $r$ ;

Les expressions du volume d’un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $H$ , du volume d’un manchon cylindrique de hauteur $H$ compris entre $r$ et $r+dr$ , du volume d’une bille de rayon $r$ , du volume d’une coquille sphérique entre $r$ et $r+dr$ .

Voici l’exemple fondamental du cours : un matériau solide cylindrique d’axe $(O,z)$ , de rayon $a$ , de masse volumique $\mu$ , de capacité thermique massique $c$ , de conductivité thermique $\lambda$ , est le siège d’une conduction thermique unidirectionnelle le long de l’axe $(O,z)$ , et est isolé thermiquement sur sa paroi latérale.

En faisant un bilan sur la tranche $[z,z+dz]$ entre $t$ et $t+dt$ , le bilan thermique s’écrit

$\mu \pi a^2 c\left[T(z,t+dt)-T(z,t)\right]$

= $j(z,t)\pi a^2dt-j(z+dz,t)\pi a^2dt$ .

3. En divisant ce bilan par les deux éléments différentiels, on doit voir apparaître des dérivées partielles par rapport aux différentes variables.

La non-disparition d’un élément différentiel parasite (dt, dx, dy, dz, dr, d $\theta$ ) signale toujours une erreur et forme un message d’alerte.

Dans l’exemple fondamental, en divisant par $dt dz$ :

$\displaystyle{\mu c\pi a^2\frac{T(z,t+dt)-T(z,t)}{dt}}$

= $\displaystyle{\pi a^2\frac{j(z,t)-j(z+dz,t)}{dt}}$

$\displaystyle{\mu c\frac{\partial T(z,t)}{\partial t}=-\frac{\partial j(z,t)}{\partial z}}$

4. On écrit la loi de Fourier $\vec{j}=-\lambda\vec{grad}T$ en la traduisant dans le système de coordonnées choisi.

Dans l’exemple :

$\displaystyle{j(z,t)=-\lambda\frac{\partial T(z,t)}{\partial z}}$

5. En combinant le bilan thermique et la loi de Fourier, on en déduit l’équation aux dérivées partielles vérifiée par $T$ .

Dans le cas étudié :

$\displaystyle{\mu c\frac{\partial T(z,t)}{\partial t}=\lambda\frac{\partial^2T(z,t)}{\partial z^2}}$

Exercice d’application.

Établir l’équation de la chaleur et les coordonnées cylindriques pour une diffusion radiale ( $T(r,t)$ et $\vec{j}(r,t=j(r,t)\vec{u}_r$ dans un cylindre de hauteur $H$ .

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Conditions aux limites et diffusion thermique

Il existe trois formes de conditions aux limites :

1. la paroi est au contact d’un thermostat à la température $T_0$ ; on écrit la continuité de la température en ce point

2. la paroi est au contact d’un fluide à la température $T_0$ loin de la paroi : on écrit la continuité de $j$ ou du flux en utilisant

* du côté du matériau, la loi de Fourier

* du côté du fluide la loi de Newton relative à la convection, qui fait apparaître la différence entre la température de la paroi et celle du fluide

3. la paroi est au contact du vide : on écrit la continuité de $j$ ou du flux en utilisant

* du côté du matériau, la loi de Fourier

* du côté du vide la loi de Stefan relative au rayonnement, qui fait apparaître la température de la paroi à la puissance 4.

Exercice d’application sur l’équation de la chaleur

La solution de l’équation de la chaleur unidirectionnelle dans un barreau de conductivité $\lambda$ est $T(x,t)=A(t)x+B(t)$ .

En $x=0$ , on place la section droite du matériau au contact d’un fluide à la température $T_0$ , avec un coefficient de convection $h$ .

Écrire la condition aux limites sous la forme d’une relation entre $A(t)$ et $B(t)$ .

Éléments de résolution de l’équation

1. Régime permanent unidirectionnel sans terme de source.

La dérivée seconde de $T$ est nulle, on en déduit que $T$ est une fonction affine, on détermine les deux constantes d’intégration grâce aux conditions aux limites.

2. Régime quasi-permanent unidirectionnel sans terme de source.

L’équation est la même, la résolution identique, mais les constantes d’intégration dépendent du temps.

3. Relation en ordres de grandeur.

On obtient une relation entre les ordres de grandeur temporel $\tau$ (durée caractéristique de diffusion) et spatial $L$ (distance caractéristique de diffusion) en utilisant la relation

$\displaystyle{\frac{\partial X}{\partial Y}\simeq\frac{o.d.g.(X)}{o.d.g.(Y)}}$

4. Solutions fondamentales de l’équation de diffusion sans terme de source.

Aucune de ces solutions n’est à connaître par cœur. Il suffit de calculer les dérivées partielles spatiales et temporelles de la solution proposée, d’injecter dans l’équation et d’en déduire à quelle(s) condition(s) elle est vérifiée.

5. Solution du type onde thermique.

On écrit en grandeurs complexes

$\underline{T}(z,t)=\underline{T}_0\exp\left(i(\omega t-\underline{k}z\right)$ .

On injecte dans l’équation et on en déduit l’équation complexe vérifiée par $\underline{k}$ (cette équation sera appelée équation de dispersion dans le chapitre sur les ondes).

6. Solution du type onde stationnaire.

On cherche une solution du type $T(z,t)=f(z)\cdot g(t)$ . On injecte dans l’équation de diffusion, on sépare les variables en écrivant l’égalité entre une fonction de $z$ seul et d’une fonction de $t$ seul. On en déduit que chaque terme est égal à une même constante, et on obtient deux équations différentielles, une temporelle, une spatiale.

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