Cours en ligne Terminale D en maths

Chapitres de maths en Terminale D

Exercices et corrigés sur les fonctions exponentielles en Terminale D

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale D

Vous trouverez ci-dessous des exercices corrigés gratuits sur la fonction exponentielle pour les élèves préparant le bac D.

QCM sur la fonction exponentielle en terminale D

Question 1 :

Sur $\mathbb{R}$ le nombre de solutions de l’équation $e^{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{e^x}$ est égale à

a. 0

b. 1

c. 2

d. aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.

Question 2 :

On considère la fonction $f$ définie sur par $f(x)=\displaystyle{\frac{e^{x}-2}{e^{x}+2}}$ , alors pour $x \in \mathbb{R}$ tout on a :

a. $f'(x) = \displaystyle{\frac{2e^{2x}}{(e^x+2)^2}}$

b. $f'(x) = \displaystyle{\frac{e^{2x}-4}{(e^x+2)^2}}$

c. $f'(x) = \displaystyle{\frac{2e^{x}}{(e^x+2)^2}}$

d. $f'(x) = \displaystyle{\frac{4e^{x}}{(e^x+2)^2}}$

Question 3 :

$\displaystyle{\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x e^{\displaystyle{\frac{1}{x}}}\right)}$ =

a. 0

b. 1

c. $- \infty$

d. $+ \infty$

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Corrigé du QCM de terminale D la fonction exponentielle

Question 1 :

$\displaystyle e^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e^x}$

$\Leftrightarrow e^{\dfrac{1}{x}}=e^{-x}$

$\Leftrightarrow\displaystyle \frac{1}{x}=-x$

$\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{x}+x=0$

$\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1+x^2}{x}=0$

$\Leftrightarrow 1+x^2=0$

$\Leftrightarrow x^2=-1$

Donc, sur $\mathbb{R}$ , $\displaystyle e^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e^x}$ n’a pas de solution.

Question 2 :

$f'(x) = \displaystyle{\frac{4e^{x}}{(e^x+2)^2}}$

f est dérivable sur $\mathbb{R}$

$f'(x)=\displaystyle{\frac{(e^{x})(e^{x}+2)+(e^{x}-2) \times (e^{x})}{(e^{x}+2)^2}}$

$f'(x)=\displaystyle{\frac{(e^{x})(e^{x}+2+e^{x}-2)}{(e^{x}+2)^2}}$

$f'(x)=\displaystyle{\frac{4e^x}{(e^{x}+2)^2}}$

Question 3 :

$\displaystyle{\lim _{x \rightarrow+\infty}\left( e^{\frac{1}{x}}\right)}=e^0=1$

Donc $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x e^{\frac{1}{x}}\right)} = +\infty$

Exercices sur la fonction exponentielle terminale D

Exercice sur l’étude d’une fonction en terminale D

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f\text{ : }x \longmapsto x+2-\frac{4e^{x}}{e^{x}+3}$

On désigne par $C$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ .

Question 1 :

Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ .

Question 2 :

Démontrer que la droite $D_{1}$ d’équation $y=x+2$ est asymptote à la courbe $C$ .

Corrigé des exercices sur la fonction exponentielle en terminale D

Corrigé de l’exercice sur l’étude d’une fonction exp

Question 1 :

Par quotient, $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle {\frac{4e^{x}}{e^{x}+3}} = \displaystyle {\frac{0}{3}} = 0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x+2 = -\infty$ .

Donc par somme de limites :

$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$

Question 2 :

$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} |f(x)-(x+2)|$

$= \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{4e^{x}}{e^{x}+3}$

$= 0$

La fonction $f$ admet donc bien la droite $D_{1}$ d’équation $y=x+2$ pour asymptote en $-\infty$ .

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