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Exercices de maths sur les configurations du plan en seconde

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Seconde Générale

Cette série d’exercices sur la configuration du plan en maths pour les élèves de seconde est conçue pour vous aider à comprendre et à maîtriser les concepts clés de la géométrie plane. Si vous rencontrez des difficultés ou souhaitez approfondir vos connaissances, pensez à des cours particuliers maths pour un accompagnement personnalisé et efficace.

Exercice 1 de maths en seconde sur les configurations du plan

Trois points $A$ , $B$ et $C$ sont placés dans le plan muni d’un repère quelconque $(O;X,Y)$ et dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ .

Répondre aux questions suivantes dans les deux repères.

1. Donner les coordonnées de $A$ , de $B$ et de $C$ .

2. Calculer les coordonnées du point $M$ , le milieu du segment $[AC]$ .

Placer le point $M$ dans le repère choisi.

3. Placer le point $D$ pour que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.

Par lecture graphique, donner les coordonnées du point $D$ .

4. Les coordonnées du milieu d’un segment dépendent-elles du repère choisi ?

5. La nature d’un quadrilatère dépend-elle du repère choisi ? Justifier votre réponse.

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Entrainement 2 de maths pour s’entrainer aux règles du plan en seconde

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ .

1. On donne les points $A\left(-\dfrac{5}{2};\dfrac{7}{2}\right)$ , $B(-3;-1)$ et $C\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{3}{2}\right)$ .

a) Faire une figure.

b) Calculer les distances $AB$ , $AC$ et $BC$ .

c) En déduire la nature du triangle $ABC$ .

2. Déterminer la nature du triangle $ABC$ avec $A(-2;-1) , B(1; 5)$ et $C(2;-3)$ .

Question 3 sur la configuration du plan en maths de seconde

On donne les points $A,B$ et $C$ dans le repère suivant :

1. Donner les coordonnées des points $A,B$ et $C$ .

2. Sans utiliser la formule de distance entre deux points, calculer $BC$ .

3. Placer le point $H$ , milieu du segment $[BC]$ .

a) Donner les distances $HA$ et $HB$ .

b) Par la propriété de Pythagore, en déduire $AB$ .

Quiz 4 sur la configuration de maths en seconde

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ . On donne les points placés sur la figure suivante :

Dire si l’affirmation est vraie ou fausse. Justifier votre réponse.

1. Le repère $(M; J, L)$ est orthogonal.

2. Le repère $(O; U, J)$ est orthonormé.

3. Le triplet $(O; U, V)$ ne peut pas constituer un repère.

4. Les points $I$ , $J$ et $L$ sont alignés.

5. Les points $U$ et $K$ appartiennent à un même cercle de centre $S$ .

6. Le triangle $SJM$ est isocèle en $J$ .

Corrigé du test 1 de maths sur la configuration du plan en seconde

On considère le repère quelconque $(O;X,Y)$ , le repère orthonormé $(O;I,J)$ et les trois points $A$ , $B$ et $C$ du plan.

1. Par lecture graphique :

Dans le repère $(O;X,Y)$ , les coordonnées du point :

– $A$ sont $(3;2)$ ;

– $B$ sont $(2;-2)$ ;

– $C$ sont $(-2;-3)$ .

Dans le repère $(O;I,J)$ , les coordonnées du point :

– $A$ sont $(3;2)$ ;

– $B$ sont $(2;-2)$ ;

– $C$ sont $(-2;-3)$ .

2. Les coordonnées du point $M$ , le milieu du segment $[AC]$ sont données par la formule $\left(\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$

D’après la question 1.

Dans le repère $(O;X,Y)$ , les coordonnées du point $M$ sont: $\left(\dfrac{3-2}{2};\dfrac{2-3}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$

Dans le repère $(O;I,J)$ , les coordonnées du point $M$ sont:

$\left(\dfrac{3-2}{2};\dfrac{2-3}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$

3. Les figures ci-après présentent le point $M$ et le point $D$ pour que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme dans chaque repère.

Par lecture graphique :

Dans le repère $(O;X,Y)$ , les coordonnées du point $D$ sont $\left(-1;1\right)$ .

Dans le repère $(O;I,J)$ , les coordonnées du point $D$ sont $\left(-1;1\right)$ .

4. Non, les coordonnées du milieu d’un segment ne dépendent pas du repère choisi.

5. Oui, la nature d’un quadrilatère dépend du repère choisi car dans le repère non orthogonal $(O;X,Y)$ , le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme sans être un losange alors que dans le repère orthonormé $(O;I,J)$ , il est un losange.

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Correction de l’entrainement 2 de maths sur la configuration du plan en seconde

On considère un repère orthonormé $(O;I,J)$ du plan.

1. On a les points $A\left(-\dfrac{5}{2};\dfrac{7}{2}\right)$ , $B(-3;-1)$ et $C(2;-1)$ .

a) En plaçant ces points dans une figure, on obtient :

b) On a :

$AB= \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

= $\sqrt{\left(-3+\dfrac{5}{2}\right)^2+\left(-1-\dfrac{7}{2}\right)^2}$

= $\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{81}{4}}$

= $\sqrt{\dfrac{41}{2}}$

$AC= \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}$

= $\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}\right)^2+\left((-\dfrac{3}{2}-\dfrac{7}{2}\right)^2}$

= $\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$

$BC= \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}$

= $\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}+3\right)^2+\left(-\dfrac{3}{2}+1\right)^2}$

= $\sqrt{\dfrac{81}{4}+\dfrac{1}{4}}$

= $\sqrt{\dfrac{41}{2}}$

c) On constate que $BC=AB$ .

Donc, le triangle $ABC$ est isocèle.

En outre,

$AC^2=41=\dfrac{41}{2}+\dfrac{41}{2}$

= $AB^2+BC^2$ .

Donc, $ABC$ est rectangle en $B$ .

Par conséquent, le triangle $ABC$ est isocèle et rectangle en $B$ .

2. On a $A(-2;-1) , B(1; 5)$ et $C(2;-3)$ .

La figure suivante montre la représentation de ces trois points dans un repère orthonormé.

On peut conjecturer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

Pour démontrer cette conjecture, on calcule les mesures des trois côtés et on terminera la preuve par la propriété de Pythagore. On a :

$AB= \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

= $\sqrt{(1+2)^2+(5+1)^2}$

= $\sqrt{9+36}$

= $\sqrt{45}$

= $3\sqrt{5}$

$AC= \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}$

= $\sqrt{(2+2)^2+(-3+1)^2}$

= $\sqrt{16+4}$

= $\sqrt{20}$

= $2\sqrt{5}$

$BC= \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}$

= $\sqrt{(2-1)^2+(-3-5)^2}$

= $\sqrt{1+64}$

= $\sqrt{65}$

De ces résultats, on a : $AB^2=45$ , $AC^2=20$ et $BC^2=65$ .

Ce qui donne $AB^2+AC^2=BC^2=65$ .

Donc, en vertu de la propriété de Pythagore, $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ .

Réponse au quiz 3 de maths en seconde sur la configuration du plan

On a les points $A,B$ et $C$ dans le repère orthonormé $(O; I, J)$ .

1. Par lecture graphique, les coordonnées du point :

$A$ sont $(1;1)$ ;

$B$ sont $(-2;-1)$ ;

$C$ sont $(-2;3)$ .

2. On constate que les points $B$ et $C$ ont les mêmes abscisses.

Donc, la distance $BC$ égale à la valeur absolue de la différence entre les ordonnées de ces points.

Ce qui permet d’obtenir $BC = |y_B-y_C|=|-1-3|=4$ .

3. En plaçant le point $H$ , milieu du segment $[BC]$ , dans le repère, on a :

a) On a :

Par lecture graphique, les coordonnées du point $H$ sont $\left(-2;1\right)$ .

Donc, les points $H$ et $A$ ont les mêmes ordonnées.

Ce qui donne $HA$ égale à la valeur absolue de la différence entre les abscisses de ces points.

Ce qui permet d’obtenir $HA = |x_H-x_A| = |-2-1| = 3$ .

$HB=\dfrac{BC}{2}=2$ .

b) On constate que le triangle $AHB$ est rectangle en $H$ .

Alors, par la propriété de Pythagore, $AB^2 = HA^2+HB^2 = 9+4$ .

Donc, on en déduit que $AB=\sqrt{13}$ .

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Corrigé du QCM 4 de maths : Configuration du plan en seconde

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ . Par lecture graphique :

1. Vrai. Car $(MJ)\perp (ML)$ .

2. Faux. Car $OU=1\neq OJ = 2$ .

3. Faux. Car tout triplet de points non alignés peut toujours former un repère. Par exemple $(O;U,V)$ est un repère du plan mais il n’est ni orthogonale ni orthonormé.

4. Faux. Car tout point $M(x,y)$ aligné aux deux points $I$ et $J$ dans le repère orthonormé $(O;I,J)$ doit vérifier $x+y=1$ pour tous réels $x,y$ . Or, $x_L+y_L=-2+4=2\neq 1$ .