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Exercices corrigés sur les équations de droites en seconde

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Seconde Générale

Nos exercices sur les équations de droites offrent aux élèves de seconde une manière ludique et éducative de se familiariser avec les concepts de vecteurs et d’équations cartésiennes. Un incontournable pour ceux qui souhaitent exceller en maths. Pour une progression encore plus solide, envisager de faire appel à un prof de maths à domicile. Un tel accompagnement offre une approche adaptée en 2nde, permet de cibler et de surmonter les difficultés et encourage une meilleure compréhension des concepts, essentielle pour une maîtrise complète des mathématiques.

Exercice 1 de mathématique sur les équations de droites niveau seconde

On considère une droite $\mathscr{D}$ et quatre points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ représentés sur la figure ci-après.

À partir des informations sur le graphique :

1. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ .

2. Déterminer le réel $k$ tel que $\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{AB}$ .

3. En déduire que le vecteur $\overrightarrow{DC}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ .

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Exercice 2 de maths d’équation de droite en 2nde

1. Déterminer une équation cartésienne à coefficients entiers de la droite d’équation réduite :

(a) $y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}$

(b) $y=-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{7}{2}$

2. Donner l’équation réduite de la droite ayant pour équation cartésienne:

(a) $5x-3y+3=0$

(b) $-3x+4y+1=0$

Quiz 3 de maths pour réviser les équations de droites en seconde

Soit $\mathscr{D}$ une droite d’équation cartésienne $ax+by+c=0$ .

Dire si l’affirmation est vraie ou fausse. Démontrer votre réponse.

1. Tout vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est colinéaire au vecteur $\begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}$ .

2. La droite $\mathscr{D}$ peut ne pas avoir une équation réduite.

3. Pour tous réels $a$ et $b$ , il existe un réel $t$ tel que $\begin{pmatrix} 1 \\ t \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ .

4. Il existe une droite $\mathscr{D}'$ , sécante $\mathscr{D}$ telle que $\mathscr{D}\cap \mathscr{D}'=\emptyset$ .

5. Pour $b\neq 0$ , il existe des réels a, b, c tel que le coefficient directeur de $\mathscr{D}: ax+by+c=0$ est égale à son ordonnée à l’origine.

6. Pour tout couple de réel $(x,y)$ , $ax+by \neq 0$ dès que $a$ et $b$ sont non nuls.

Exercice 4 sur les équations de droite en maths pour la seconde

On donne deux droites d’équation $\mathscr{D}: ax+by=c$ et $\mathscr{M} : rx+sy=t$ .

Démontrer que la fonction IntersectionDroite codée en Python suivante permet de déterminer si les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{M}$ sont parallèles et renvoie aux coordonnées du point d’intersection de $\mathscr{D}$ et de $\mathscr{M}$ si les deux droites sont sécantes.

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Corrigé de l’exercice 1 de maths en seconde sur les equations de droites

On a la droite $\mathscr{D}$ et quatre points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ du plan.

1. Par lecture graphique:

Les coordonnées du point $A$ sont $(1;5)$ et celles de $B$ $(5;3)$ ;

La droite $\mathscr{D}$ passe par les points de coordonnées $(-4;4)$ et $(4;0)$ que l’on notera respectivement par $E$ et $F$ .

À partir des coordonnées des points $A$ , $B$ , $E$ et $F$ , on a :

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5-1\\ 3-5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ -2 \end{pmatrix}$ .

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EF}$ sont $\begin{pmatrix} x_F-x_E\\ y_F-y_E \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4+4\\ 0-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\\ -4 \end{pmatrix}$ .

Alors, $\hbox{\bf Det}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{EF})=(4)(-4)-(-2)(8)=-16+16=0$ .

Ce qui implique que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{EF}$ sont colinéaires.

Comme le vecteur $\overrightarrow{EF}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ et un vecteur colinéaire à un vecteur directeur est un vecteur directeur, alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ .

2. Par lecture graphique, on a les coordonnées :

Du point $C(-5;0)$ ;

Du point $D(3;-4)$ .

Donc, $\overrightarrow{DC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_C-x_D\\ y_C-y_D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5-3\\ 0+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8\\ 4 \end{pmatrix}$ .

Or, $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 4\\ -2 \end{pmatrix}$ . Alors, pour que $\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{AB}$ , $k=-2$ .

3. D’après la question 2., il existe $k=-2$ tel que

$\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{AB}$ .

Donc, les vecteurs $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

On en déduit que le vecteur $\overrightarrow{DC}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ .

Réponse à l’exercice 2 de maths sur les équations de droites en seconde

1. a) En multipliant l’équation $y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}$ par 3, on a les équivalences:

$y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3} & \Longleftrightarrow 6y=-3x-2$

$y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3} & \Longleftrightarrow 3x+6y+2=0$

Donc, à partir de l’équation réduite $y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}$ , on obtient l’équation cartésienne $3x+6y+2=0$ .

b) En multipliant l’équation $y=-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{7}{2}$ par 4, on a les équivalences:

$y=-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{7}{2} & \Longleftrightarrow 4y=-3x-14$

$y=-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{7}{2} & \Longleftrightarrow 3x+4y+14=0$

Donc, à partir de l’équation réduite $y=-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{7}{2}$ , on obtient l’équation cartésienne $3x+4y+14=0$ .

2. a) En isolant $y$ dans l’équation $5x-3y+3=0$ , on a les équivalences:

$5x-3y+3=0 & \Longleftrightarrow -3y=-5x-3$

$5x-3y+3=0 & \Longleftrightarrow y=\dfrac{-5}{-3}x-\dfrac{3}{-3}$

Alors, à partir de l’équation cartésienne $5x-3y+3=0$ , on obtient l’équation réduite $y=\dfrac{5}{3}x+1$ .

b) En isolant $y$ dans l’équation $-3x+4y+1=0$ , on a les équivalences :

$-3x+4y+1=0 & \Longleftrightarrow 4y=3x-1$

$-3x+4y+1=0 & \Longleftrightarrow y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{4}$

Alors, à partir de l’équation cartésienne $-3x+4y+1=0$ , on obtient l’équation réduite $y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{4}$ .

Correction au QCM 3 sur les équations de droite en maths niveau seconde

On considère une droite $\mathscr{D}$ d’équation cartésienne $ax+by+c=0$ .

1. Vrai. Par raisonnement direct.

D’après l’équation cartésienne de la droite $\mathscr{D}$ , le vecteur $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur. Comme $\begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ , alors le vecteur $\begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ . Comme tout vecteur colinéaire à un vecteur directeur est un vecteur directeur, alors tout vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est colinéaire au vecteur $\begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}$ .

2. Vrai.

L’équation réduite d’une droite est de la forme $y=mx+p$ où $m$ et $p$ sont des réels. Dans le cas où $b=0$ , l’équation $ax+by+c=0$ est réduite à $ax+c=0$ . Donc, il est impossible d’exprimer $y$ en fonction de $x$ . En résumé, les droites verticales n’ont pas d’équation réduite. Le coefficient directeur d’une droite verticale n’est pas défini.

3. Faux. Par l’absurde

On suppose que pour tout $(a,b)\in \mathbb{R}^2$ , il existe un réel $t$ tel que $\begin{pmatrix} 1 \\ t \end{pmatrix}$ soit un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ . Comme les vecteurs directeurs sont colinéaires alors le déterminant $\begin{vmatrix} a & 1\\ b & t\end{vmatrix}=0$ . Ce qui donne l’équation $at=b$ . Cette équation mène à une contradiction en choisissant $a=0$ et $b=1$ . Ainsi, il existe au moins un couple $(0,1)$ où cette assertion est fausse.

4. Faux. Raisonnement par l’absurde.

On suppose qu’il existe une droite $\mathscr{D}'$ d’équation cartésienne $a'x+b'y+c'=0$ sécante à $\mathscr{D}$ mais $\mathscr{D}\cap \mathscr{D}'=\emptyset$ .

Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont sécantes, alors leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. C’est-à-dire que le déterminant

$\begin{vmatrix} b & b' \\ -a & -a'\end{vmatrix}=-ba'+b'a\neq 0$

L’intersection $\mathscr{D}\cap \mathscr{D}'$ est vide, alors le système $\begin{cases} ax+by=-c \\ a'x+b'y=-c' \end{cases}$ n’a pas de solution. Ce qui donne $ab'-ba'=0$ .

Ces deux affirmations sont contradictoires. Donc, l’affirmation ne peut pas être vraie.

5. Vrai. Par raisonnement direct.

Si $\mathscr{D}$ a une équation cartésienne $ax+by+c=0$ avec $b\neq 0$ alors $\mathscr{D}$ a pour équation réduite $y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$ . Donc, son coefficient directeur vaut $-\dfrac{a}{b}$ et son ordonnée à l’origine vaut $-\dfrac{c}{b}$ . Par conséquent, pour un réel non nul $b$ , il suffit que $a=c$ pour avoir l’égalité entre le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine.

6. Faux. Un contre exemple.

En prenant $a=1,\ x=-1,\ b=1$ et $y=1$ . Alors, on obtient $ax+by=(1)(-1)+(1)(1)=1-1=0$ . Donc, on a un couple de réel $(x,y)=(1,-1)$ tel que $a$ et $b$ ne sont pas nuls alors que $ax+by=0$

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Corrigé du test 4 de maths sur les équations de droite en seconde

On a deux droites d’équation $\mathscr{D}:ax+by=c$ et $\mathscr{M}:rx+sy=t$ .

Par raisonnement direct.

On considère la fonction {\color{manga} IntersectionDroite} codée en Python.

Les lignes 2,…,7 correspondent aux saisis des coefficients $a,b,c,r,s$ et $t$ de deux droites.

La ligne 8 est une expression conditionnelle qui teste si $as=br$ . C’est-à-dire, $as-br=0$ .

Or $\begin{pmatrix} b\\ -a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ et $\begin{pmatrix} -s\\ r \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr{M}$ .

Alors, si $br-(-a)(-s)=0$ , c’est à dire si $as-br=0$ , les vecteurs

$\begin{pmatrix} b\\ -a \end{pmatrix}$

et $\begin{pmatrix} -s\\ r \end{pmatrix}$ sont deux vecteurs colinéaires. Donc, les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{M}$ sont parallèles.

La ligne 9 correspond au cas où le test est vrai et affiche le résultat.

Les lignes 10 et 11 correspondent au cas contraire. C’est-à-dire que les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{M}$ sont sécantes. Donc, le système $\begin{cases} ax+by=c\\ rx+sy=t \end{cases}$ admet une solution.

Par la méthode par addition.

Éliminer $x$ pour calculer $y$ .

En multipliant la première équation par $(-r)$ et la deuxième équation par $a$ , on obtient:

$\begin{cases} -rax-rby=-rc\\ arx+asy=at \end{cases}$

Par addition, on a $(-rax-rby)+(arx+asy)=-rc+at$ . Ce qui donne $y(as-rb)=at-rc$ . Donc, $y=\dfrac{(at-rc)}{as-rb}$ .

Ce qui correspond à la deuxième valeur de retour à la ligne 11.

Éliminer $y$ pour calculer $x$ .

En multipliant la première équation par $s$ et la deuxième équation par $-b$ , on obtient:

$\begin{cases} sax+sby=sc\\ -brx-bsy=-bt \end{cases}$

Pa addition, on a $(sax+sby)+(-brx-bsy)=sc-bt$ . Ce qui donne $x(sa-br)=sc-bt$ . Donc, $x=\dfrac{sc-bt}{sa-br}$ . C’est-à-dire, $x=\dfrac{cr-tb}{as-rb}$ .

Ce qui correspond à la première valeur de retour à la ligne 11.

Par conséquent, l’algorithme affiche que les deux droites sont parallèles à la ligne 9 si le test est vrai, et retourne les coordonnées du point d’intersection à la ligne 11 sinon.

Consultez nos exercices en ligne de maths en seconde générale :

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