Chapitres de maths en Terminale D

Cours sur la géométrie dans l’espace en Terminale D

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale D

Vous trouverez ci-dessous un résumé de cours sur la géométrie dans l’espace pour les élèves préparant le bac D.

1. Rappels sur le produit scalaire dans le plan

Définition

On appelle produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ , le réel $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ défini par:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \times cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ si aucun des deux vecteurs n’est nul

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\text{ si au moins l'un des vecteurs est nul}$

Autre expression du produit scalaire

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} \left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^{2}-||\overrightarrow{u}||^{2}-||\overrightarrow{v}||^{2}\right)$

Dans un repère orthonormé, si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont pour coordonnées respectives $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ \end{pmatrix}$ , alors:

$\boxed{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' = yy'}$

Propriétés

$\bullet$ Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ et pour tous réels $a$ , $b$ et $c$ :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$ (symétrie)

$(a\overrightarrow{u}).(b\overrightarrow{v}) = (ab)\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ (multiplication par un scalaire)

$\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$ (distributivité)}

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Un point $M$ vérifie $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}$ si et seulement si il appartient au cercle de diamètre $[AB]$ .

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2. Produit scalaire dans l’espace terminale D

Définition

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ des vecteurs non nuls, et $A$ un point de l’espace.

On note $B$ et $C$ les points de l’espace tels que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ .

Les points $A$ , $B$ et $C$ étant coplanaires, on définit le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ comme étant le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ dans tout plan passant par $A$ , $B$ et $C$ .

$\bullet$ Si $\overrightarrow{u}$ ou $\overrightarrow{v}$ est le vecteur nul, alors le produit scalaire $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ est nul.

Règle fondamentale

Toutes les propriétés du produit scalaire établies en géométrie plane sont valables dans l’espace, pour des points et des vecteurs coplanaires.

Expression du produit scalaire dans un repère orthonormal

Si l’espace est rapporté à un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ , alors le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ \end{pmatrix}$ vérifie:

${\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy' + zz'}$

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3. Représentation paramétrique d’une droite de l’espace

Soient $A(x_{0};y_{0};z_{0})$ et $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}$ un vecteur non nul. La droite $D$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ est l’ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que:

$\boxed{\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{u}\text{, }k \in \mathbb{R}}$

$\Updownarrow$

$\left \{ \begin{array}{c @{=} c c} x-x_{0} \text{ }&\text{ } ka \\ y-y_{0} \text{ }&\text{ } kb & \text{ (avec $k \in \mathbb{R}$)}\\ z-z_{0} \text{ }&\text{ } kc \\ \end{array} \right.$

$\Updownarrow$

$\boxed{\left \{ \begin{array}{c @{=} c c} x \text{ }&\text{ } x_{0}+ka \\ y \text{ }&\text{ } y_{0}+kb & \text{ (avec $k \in \mathbb{R}$)}\\ z \text{ }&\text{ } z_{0}+kc \\ \end{array} \right.}$

Ce système est appelé une représentation paramétrique de la droite $D$ .

4. Équation cartésienne d’un plan

On se place dans un repère orthonormal $(0,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ .

Soient $A$ un point de l’espace et $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}$ un vecteur non nul.

Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ est l’ensemble des points $M$ tels que les vecteurs

$\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{n}$ soient orthogonaux, c’est-à-dire l’ensemble des points $M$ tels que:

${\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0}$

Les plans admettant $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}$ pour vecteur normal ont une équation cartésienne du type:

${ax+by+cz+d=0\text{, avec }d \in \mathbb{R}}$

Toute équation du type $ax+by+cz+d=0$ , où $a$ , $b$ , $c$ et $d$ sont des réels non simultanément nuls, est une équation de plan, et $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à ce plan.

Soient $A(x_{0};y_{0};z_{0})$ et $P$ le plan d’équation $ax+by+cz+d=0$ . La distance du point $A$ au plan $P$ , notée $d(A,P)$ , vérifie:

${d(A,P) = \dfrac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

5. Intersection de deux plans, d’une droite et d’un plan, de trois plans

Intersection de deux plans

Soient $P$ et $P'$ deux plans de vecteurs normaux respectifs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n'}$ .

Si les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n'}$ sont colinéaires, alors les plans $P$ et $P'$ sont parallèles:

soit $P$ et $P'$ sont strictement parallèles: $P \cap P' = \emptyset$

soit $P$ et $P'$ sont confondus: $P \cap P' = P = P'$

Si les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n'}$ ne sont pas colinéaires, alors les plans $P$ et $P'$ sont sécants et leur intersection est une droite:

$P \cap P' = D$

Intersection d’une droite et d’un plan

Soient $P$ un plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et $D$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ .

Si les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux,

Alors la droite $D$ est parallèle au plan $P$ :

Soit $D$ est strictement parallèle à $P$ : $D \cap P = \emptyset$

Soit $D$ est incluse dans $P$ : $D \cap P = D$

Si les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ ne sont pas orthogonaux,

Alors la droite $D$ et le plan $P$ sont sécants. Leur intersection est un singleton, c’est-à-dire un ensemble formé d’un seul point :

$D \cap P = \{A\}$

Intersection de trois plans

L’intersection de trois plans est:

soit un singleton
soit une droite
soit un plan
soit l’ensemble vide

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