Chapitres de maths en Terminale S2

Résumé de cours sur la géométrie plane et dans l’espace en Terminale S2

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale S2

1. Produit scalaire en terminale S2

On appelle produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ , le réel $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$ défini par :

$\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = ||\overrightarrow{v}|| \times ||\overrightarrow{w}|| \times cos(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ si aucun des deux vecteurs n’est nul

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$ si au moins l’un des vecteurs est nul

Autre définition du produit scalaire

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ :

$\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = \dfrac{1}{2} \left(||\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}||^{2}-||\overrightarrow{v}||^{2}-||\overrightarrow{w}||^{2}\right)$

Dans un repère orthonormé, si les vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ont pour coordonnées respectives $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ \end{pmatrix}$ , alors:

$\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = xx' = yy'$

Propriétés du produit scalaire au bac S2

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ et pour tous réels $a$ , $b$ et $c$ :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$ (symétrie)

$(a\overrightarrow{u}).(b\overrightarrow{v}) = (ab)\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ (multiplication par un scalaire)

$\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$ (distributivité)}

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Un point $M$ vérifie $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}$ si et seulement si il appartient au cercle de diamètre $[AB]$ .

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2. Définition et propriétés du produit scalaire dans l’espace

Soient $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ des vecteurs non nuls, et $A$ un point de l’espace.

On note $B$ et $C$ les points de l’espace tels que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{w}$ .

Les points $A$ , $B$ et $C$ étant coplanaires, on définit le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ comme étant le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ dans tout plan passant par $A$ , $B$ et $C$ .

Toutes les propriétés du produit scalaire établies en géométrie plane sont valables dans l’espace, pour des points et des vecteurs coplanaires.

Si l’espace est rapporté à un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ , alors le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ \end{pmatrix}$ vérifie:

${\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy' + zz'}$

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3. Représentation paramétrique d’une droite en terminale S2

Soient $A(x_{0};y_{0};z_{0})$ et $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}$ un vecteur non nul. La droite $D$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ est l’ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que:

$\boxed{\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{u}\text{, }k \in \mathbb{R}}$

$\Updownarrow$

$\left \{ \begin{array}{c @{=} c c} x-x_{0} \text{ }&\text{ } ka \\ y-y_{0} \text{ }&\text{ } kb & \text{ (avec $k \in \mathbb{R}$)}\\ z-z_{0} \text{ }&\text{ } kc \\ \end{array} \right.$

$\Updownarrow$

$\boxed{\left \{ \begin{array}{c @{=} c c} x \text{ }&\text{ } x_{0}+ka \\ y \text{ }&\text{ } y_{0}+kb & \text{ (avec $k \in \mathbb{R}$)}\\ z \text{ }&\text{ } z_{0}+kc \\ \end{array} \right.}$

Ce système est appelé une représentation paramétrique de la droite $D$ .

4. Équation cartésienne d’un plan en terminale S2

On se place dans un repère orthonormal $(0,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ .

Soient $A$ un point de l’espace et $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}$ un vecteur non nul.

Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ est l’ensemble des points $M$ tels que les vecteurs

$\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{n}$ soient orthogonaux, c’est-à-dire l’ensemble des points $M$ tels que:

${\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0}$

Les plans admettant $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}$ pour vecteur normal ont une équation cartésienne du type:

${ax+by+cz+d=0\text{, avec }d \in \mathbb{R}}$

Toute équation du type $ax+by+cz+d=0$ , où $a$ , $b$ , $c$ et $d$ sont des réels non simultanément nuls, est une équation de plan, et $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à ce plan.

Soient $A(x_{0};y_{0};z_{0})$ et $P$ le plan d’équation $ax+by+cz+d=0$ . La distance du point $A$ au plan $P$ , notée $d(A,P)$ , vérifie:

${d(A,P) = \dfrac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

5. Intersection de plans, d’une droite et d’un plan en terminale S2

Intersection de deux plans

Soient $P$ et $P'$ deux plans de vecteurs normaux respectifs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n'}$ .

Si les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n'}$ sont colinéaires, alors les plans $P$ et $P'$ sont parallèles:

soit $P$ et $P'$ sont strictement parallèles: $P \cap P' = \emptyset$

soit $P$ et $P'$ sont confondus: $P \cap P' = P = P'$

Si les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n'}$ ne sont pas colinéaires, alors les plans $P$ et $P'$ sont sécants et leur intersection est une droite:

$P \cap P' = D$

Intersection d’une droite et d’un plan

Soient $P$ un plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et $D$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ .

Si les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux,

Alors la droite $D$ est parallèle au plan $P$ :

Soit $D$ est strictement parallèle à $P$ : $D \cap P = \emptyset$

Soit $D$ est incluse dans $P$ : $D \cap P = D$

Si les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ ne sont pas orthogonaux,

Alors la droite $D$ et le plan $P$ sont sécants. Leur intersection est un singleton, c’est-à-dire un ensemble formé d’un seul point :

$D \cap P = \{A\}$

Intersection de trois plans

L’intersection de trois plans est soit :

un singleton
une droite
un plan
l’ensemble vide

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