Chapitres de maths en Terminale S2

Exercices et corrigés sur la géométrie dans l’espace en Terminale S2

N’hésitez pas à consulter et à travailler les exercices corrigés sur la géométrie dans l’espace en terminale S2.

QCM sur la géométrie dans l’espace en terminale S2

Dans le repère orthonormé $(0;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ de l’espace, on considère les points $A(1;3;2)$ , $B(-1;3;3)$ , $C(0;3;-2)$ , $D(2;-2;0)$ et $E(8;-2;-3)$

Question 1 :

Le plan $ABC$ est parallèle

a. au plan $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

b. au plan $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{k})$

c. au plan $(O;\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$

d. aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.

Question 2 :

Une équation paramétrique de la droite $(BD)$ est

a. $\left\{ \begin{array}{ccl} x & = & -6t+5 \\ y & = & 10t-7 \qquad\text{ où }\quad t\in \mathbb{R}\\ z & = & 6t-3 \\ \end{array} \right.$

b. $\left\{ \begin{array}{ccl} x & = & -t+2 \\ y & = & 3t-2 \qquad\text{ où }\quad t\in \mathbb{R}\\ z & = & 3t \\ \end{array} \right.$

c. $\left\{ \begin{array}{ccl} x & = & 3t+1 \\ y & = & -5t-3 \qquad\text{ où }\quad t\in \mathbb{R}\\ z & = & -3t-3 \\ \end{array} \right.$

d. aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.

Question 3 :

Une équation cartésienne du plan passant par $D$ et perpendiculaire à $(AB)$ est

a. $-2x+z=-6$

b. $6x-3z=18$

c. $6y+5z=12$

d. aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.

Exercices distance d’un point à un plan en terminale S2

Soit $P$ le plan d’équation :

$P$ : $x+2y+z=5$

Question 1 :

Déterminer l’expression analytique de la projection orthogonale $p$ sur le plan $P$ .

Question 2 :

Pour tout point $M$ de l’espace, on note $M'$ son image par $p$ .

Montrer que pour tout point $N \in P$ , $MN \geq MM'$

Pour tout point $N \in P$ , $MN=MM' \Longleftrightarrow M'=N$

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Corrigé du QCM de terminale S2 géométrie dans l’espace

Question 1 :

On sait que $\overrightarrow{i}(1;0;0)$ \qquad $\overrightarrow{j}(0;1;0)$ et $\overrightarrow{k}(0;0;1)$

De plus $\overrightarrow{AB}(-1-1; 3-3; 3-2)$ soit $\overrightarrow{AB}(-2;0;1)$

$\overrightarrow{AC}(0-1; 3-3; -2-2)$ soit $\overrightarrow{AC}(-1;0;-4)$

$\overrightarrow{BC}(0-(-1); 3-3; -2-3)$ soit $\overrightarrow{BC}(1;0;-5)$

Donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{j}=-2\times 0+0\times 1+1\times 0=0$

Donc $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{j}=-1\times 0+0\times 1+(-4)\times 0=0$ donc $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{j}=1\times 0+0\times 1+(-5)\times 0=0$ donc $\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{j}$

Donc 3 vecteurs du plan $(ABC)$ sont normaux à $\overrightarrow{j}$

Donc $\overrightarrow{j}$ est normal au plan $(ABC)$

Donc $(ABC)$ est parallèle au plan $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{k})$

Question 2 :

Les méthodes classiques de détermination d’une équation paramétrique de droite (utiliser l’expression $\overrightarrow{BM}=t\overrightarrow{BD}$ ou $\overrightarrow{DM}=t\overrightarrow{BD}$ ) ne conduisent pas à l’une des équations proposées en a. b. ou c.

Comme une représentation paramétrique n’est pas unique, nous devons donc tester chaque représentation paramétrique proposée afin de voir si les coordonnées des points $B$ et $D$ respectent cette représentation

a. $\left\{ \begin{array}{ccccc} x_B & = & -6t+5&=&-1 \\ y_B & = & 10t-7 &=&3\\ z_B & = & 6t-3 &=&3\\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{ccc} -6t&=&-6 \\ 10t &=&10\\ 6t &=&6\\ \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{ccc} t&=&1 \\ t &=&1\\ t &=&1\\ \end{array} \right.$ donc $B$ appartient bien à la droite de cette représentation.

$\left\{ \begin{array}{ccccc} x_D & = & -6t+5&=&2 \\ y_D & = & 10t-7 &=&-2\\ z_D & = & 6t-3 &=&0\\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{ccc} -6t&=&-3 \\ 10t &=&5\\ 6t &=&3\\ \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{ccc} t&=&\frac{1}{2} \\ t &=&\frac{2}{2}\\ t &=&\frac{1}{2}\\ \end{array} \right.$ donc $D$ appartient bien à la droite de cette représentation.

Question 3 :

Soit $P$ le plan passant par $D$ et perpendiculaire à $(AB)$

On a donc $\overrightarrow{AB}(-2;0;1)$ qui est un vecteur normal à $P$

Donc l’équation cartésienne de $P$ est de la forme $-2x+0y+1z+d=0$

Soit $-2x+z+d=0$

On sait que $D(2;-2;0 )\in P$

Donc $-2\times 2+0+d=0\Leftrightarrow -4+d=0 \Leftrightarrow d=4$

Donc l’équation cartésienne de $P$ est de la forme

$-2x+z+4=0\Leftrightarrow -2x+z=-4\neq -6$

$\Leftrightarrow 6x-3z=12 \neq 18$

Corrigé des exercices géométrie dans l’espace

Corrigé de l’exercice la distance d’un point à un plan

Question 1 :

Soit $M(x;y;z)$ un point de l’espace et $M'(x';y';z')$ sont image par $p$ . On sait que $M' \in P$ , donc ses coordonnées vérifient:

$x'+2y'+z'=5$ . De plus, $\overrightarrow{MM'}$ est orthogonal à $P$ (par définition de la projection orthogonale), donc

$\overrightarrow{MM'}$ est colinéaire au vecteur normal de $P$ , $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$ . Il existe donc un réel $t$ tel que $\overrightarrow{MM'} = t \overrightarrow{n}$ , ou encore:

$\left \{ \begin{array}{c @{=} c} x' - x = t \\ y' - y = 2t \\ z' - z = t \\ \end{array} \right.$

$\Updownarrow$

$\left \{ \begin{array}{c @{=} c} x' = t + x \\ y' = 2t + y \\ z' = t + z \\ \end{array} \right.$

$x'+2y'+z'=5$

$\Longrightarrow (t+x)+2(2t+y)+(t+z)=5$

$\Longrightarrow t = -\frac{1}{6} (x+2y+z-5)$

Finalement, une expression analytique de la projection orthogonale $p$ sur $P$ est:

${\left \{ \begin{array}{c @{=} c} x' = \displaystyle {\frac{1}{6}} (5x-2y-z+5) \\ y' = \displaystyle{\frac{1}{6}} (-2x+2y-2z+10) \\ z' = \displaystyle {\frac{1}{6}} (-x-2y+5z+5) \\ \end{array} \right.}$