Chapitres de maths en Terminale S2

Résumé de cours sur l’intégration en Terminale S2

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale S2

1- Définition la notion d’intégrale en terminale S2

Définition : intégrale d’une fonction continue et positive

Soit $g$ une fonction définie et continue sur un intervalle $[a;b]$

On appelle intégrale de la fonction $g$ sur $[a;b]$ l’aire entre l’axe des abscisses et la courbe notée $\int_{a}^{b} g(x) dx$

Propriétés des intégrales vues en cours en terminale S2

Soit $g$ une fonction continue et positive sur l’intervalle $[a;b]$ . Pour tout réel $c$ de l’intervalle $[a;b]$ ,

$\int_{c}^{c} g(x) dx = 0$

Positivité de l’intégration

Soit $g$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$ . Alors:

$\int_{a}^{b} g(x) dx \geq 0$

Comparaison des intégrales

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur $[a;b]$ , telles que $f \leq g$ , c’est-à-dire telles que pour tout $x \in [a;b]\text{, }f(x) \leq g(x)$ .

Alors :

$\int_{a}^{b} f(x) dx \leq \int_{a}^{b} g(x) dx$

Relation de Chasles pour les intégrales

Soit $g$ une fonction définie, continue et positive sur $[a;b]$ . Soit $c \in [a;b]$ ,

alors :

$\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{c} g(x) dx + \int_{c}^{b} g(x) dx$

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2 – Calcul d’intégrales en terminale S2

Soit $g$ une fonction continue, monotone et positive sur l’intervalle $[a;b]$ . On note $(I)$ le domaine entre la courbe et l’axe des abscisses.

Par définition de l’intégrale:

$Aire(I) = \int_{a}^{b} g(x) dx$

Afin d’approcher la valeur de cette intégrale, on partage l’intervalle $[a;b]$ en $n$ intervalles $[x_{i},x_{i+1}]$ de longueur identique

Soit $h$ le pas de la subdivision. Sur chaque subdivision, on construit un rectangle situé sous la courbe et un autre rectangle situé au-dessus et contenant $(I)$ .

Équation de la tangente en un point

Soit $g$ une fonction dérivable sur un intervalle I contenant un réel $a$ et $C_{g}$ sa courbe représentative.

La courbe $C_{g}$ admet au point de coordonnées $(a;g(a))$ une tangente d’équation :

${T_{a}$ : $y=g'(a)(x-a)+g(a)$

3 – Dérivation et intégration en terminale S2

Théorème

Soit $g$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$ , la fonction définie sur $[a;b]$ par

$G_{a}$ : $x \in [a;b] \longmapsto \int_{a}^{x} g(t) dt$

est dérivable sur $[a;b]$ et sa fonction dérivée est la fonction $g$ .

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4 – Calcul de primitives en terminale S2

Définition

Soit $g$ une fonction continue sur un intervalle $I$ . On dit qu’une fonction $G$ , définie sur $I$ , est une primitive de la fonction $g$ sur I si :

La fonction $G$ est dérivable sur I;

Pour tout $x$ de I, $G'(x)=g(x)$ .

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Propriété

Soit $g$ une fonction continue sur un intervalle $I$ .

Soit $F$ et $G$ deux de ses primitives. Alors la fonction $F-G$ est une fonction constante sur $I$ .

Soit $F$ une de ses primitives. Alors l’ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est égal à l’ensemble des fonctions de la forme $F+k$ , où $k$ est une constante.

Propriété: primitives et intégrales

Soit $g$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$ et $G$ une de ses primitives.

On a alors :

$\int_{a}^{b} g(x) dx = G(b) - G(a)$

Primitives des fonctions usuelles en terminale S2

Voici les propriétés des intégrales et des primitives en terminale S2 :

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