Chapitres de maths en Terminale S2

Cours sur les nombres complexes en Terminale S2

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale S2

Ce résumé de cours proposé aux élèves qui préparent le bac S2 vous permettra de réviser toutes les notions nécessaires sur les nombres complexes.

1. Notation et définition des complexes en terminale S2

Tout nombre complexe possède un affixe noté $z$ et possède une représentation dans une base orthonormale. Ce nombre possède alors des coordonnées cartésiennes et des coordonnées polaires.

Coordonnées cartésiennes d’un nombre complexe

Soit $(O,\overrightarrow{v_{x}},\overrightarrow{v_{y}})$ un repère cartésien (vecteurs fixes) du plan. Alors, tout point $A$ d’affixe $z \in \mathbb{C}$ est déterminé par le couple $(x,y)$ tels que :

$\overrightarrow{OA}=x.\overrightarrow{v_{x}}+y.\overrightarrow{v_{y}} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}$

Les réels $(x,y)$ sont les coordonnées cartésiennes du point $A$ dans la base $(\overrightarrow{v_{x}},\overrightarrow{v_{y}})$ .

Nous adopterons les appellations suivantes : $x$ est appelé partie réelle et $y$ partie imaginaire.

Voici l’écriture algébrique du nombre complexe $z$ :

$z = x + i.y = \Re(z) + i. \Im(z)$

Coordonnées polaires des nombres complexes

Soit un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{u_{r}},\overrightarrow{u_{\theta}})$ :

– le vecteur $\overrightarrow{u_{r}}$ est un vecteur unitaire dirigé vers le vecteur $\overrightarrow{OA}$ ;

– le vecteur orthoradial $\overrightarrow{u_{\theta}}$ est un vecteur unitaire orthogonal au vecteur $\overrightarrow{u_{r}}$ , avec un angle de $\dfrac{\pi}{2}$ dans le sens anti-horaire.

Dans ce repère, le point A d’affixe $z \in \mathbb{C}$ est décrit par $(r,\theta)$ , avec $r \geq 0$ et $\theta \in \mathbb{R}$ , tels que :

$\overrightarrow{OA} = r. \overrightarrow{u_{r}}$

Nous pouvons alors écrire la forme trigonométrique du complexe $z$ :

$z = r \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right)$

Le nombre $r \geq 0$ est le module de $z$ , noté $\vert z \vert$ , et le réel $\theta$ est appelé l’argument de $z$ .

Nous pouvons alors écrire :

$r = \vert z \vert = \left \| \overrightarrow{OA} \right \|$

$\theta = (\overrightarrow{u_{x}},\overrightarrow{OA})$ $[2\pi]$

Voici la notation exponentielle du complexe :

$e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$

$z = r e^{i \theta} = \vert z \vert e^{i \theta}$

Liens entre les coordonnées cartésiennes et polaires : module et argument

Il est possible de passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires.

$\left \| \overrightarrow{OM} \right \| = \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r = \vert z \vert$

$\cos(\theta) = \dfrac{x}{r}$ , si $r > 0$

$\sin(\theta) = \dfrac{y}{r}$ , si $r > 0$

$\tan(\theta) = \dfrac{y}{x}}$ , si $x > 0$

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2 – Conjugué, argument et module d’un nombre complexe en terminale S2

L’ensemble des complexes $\mathbb{C}$ contient donc l’ensemble des réels $\mathbb{R}$ . Les lois d’addition et de multiplication s’appliquent dans $\mathbb{C}$ .

Conjugué d’un nombre complexe

Soit $z \in \mathbb{C}$ , dont l’écriture algébrique est $z = a + i.b$ , avec $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ .

Le complexe conjugué de $z$ , noté $\overline{z}$ , est défini par:

$\overline{z} = a - i.b$

Soient $z$ et $z'$ deux complexes :

$z$ est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, donc si et seulement si $z = \overline{z}$ ;

$z$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle, donc si et seulement si $z = - \overline{z}$ ;

Les points d’affixes $z$ et $\overline{z}$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses :

$z + \overline{z} = 2 \Re(z)$ ;

$z - \overline{z} = 2i \Im(z)$ ;

$\overline{\overline{z}} = z$ ;

$\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$ ;

$\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$ ;

Si $z \neq 0$ , alors $\overline{\dfrac{1}{z}} = \dfrac{1}{\overline{z}}$ ;

Si $z' \neq 0$ , alors $\overline{\left( \dfrac{z}{z'} \right)} = \dfrac{ \overline{z} }{ \overline{z'} }$ ;

Si $n \in \mathbb{N}^{*}$ , alors $\overline{ z^{n} } = \left( \overline{z} \right)^{n}$ .

Argument d’un complexe

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. On note $arg(z)$ l’argument de $z$ .

$z \in \mathbb{R}$ ssi $arg(z) = 0$ $[\pi]$ ;

$z$ est imaginaire pur si et seulement si $arg(z) = \dfrac{\pi}{2}$ $[\pi]$ ;

$arg \left( z \times z' \right) = arg(z) + arg(z')$ $[2\pi]$ ;

$arg \left( \dfrac{1}{z} \right) = - arg(z)$ $[2\pi]$ ;

$arg \left( \dfrac{z}{z'} \right) = arg(z) - arg(z')$ $[2\pi]$ .

Module d’un complexe en terminale S2

Soit $z \in \mathbb{C}$ . Le module de ce nombre est :

$\vert z \vert = \sqrt{ \Re(z)^{2} + \Im(z)^{2} }$

Soient $z$ et $z'$ deux complexes :

$\vert z \vert \geq 0$ ;

$\vert z \vert = 0$ si et seulement si $z = 0$ ;

$\vert z + z' \vert \leq \vert z \vert + \vert z' \vert$

$\vert z \times z' \vert = \vert z \vert \times \vert z' \vert$ ;

Si $z' \neq 0$ , alors $\left \vert \dfrac{z}{z'} \right \vert = \dfrac{ \vert z \vert }{ \vert z' \vert }$ ;

$z \times \overline{z} = \vert z \vert^{2}$ ;

Si $n \in \mathbb{N}^{*}$ , $\left \vert z^{n} \right \vert = \vert z \vert^{n}$ .

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3 – Complexes et équations du second degré en terminale S2

Nous avons plusieurs cas à distinguer dans la résolution des équations du second degré

Cas n°1 : équation $z^{2} = \alpha$ , avec $\alpha \in \mathbb{R}$

2 cas se présentent à nouveau selon le signe de $\alpha$ .

1.1 : $\alpha \geq 0$

Si $\alpha = 0$ , alors $z^{2} = 0 \Longrightarrow \vert z \vert^{2} = 0 \Longrightarrow z = 0$ ;

Si $\alpha > 0$ , alors $z^{2} = \alpha \Longrightarrow \left( \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right)^{2} = 1$ .

Nous avons alors :

$\left \vert \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right \vert^{2} = 1$

$arg \left( \left( \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right)^{2} \right)= 2 arg \left( \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right)$

$= 2 \left( arg(z) - arg \left( \sqrt{\alpha} \right) \right) = arg(1)$

On en déduit que $\vert z \vert = \sqrt{\alpha}$ .

L’équation sur les arguments nous permet de déduire :

$2 arg(z) = 0$ $[2\pi] = 2k \pi$ , $k \in \mathbb{Z}$

$arg(z) = k \pi$ , $k \in \mathbb{Z}$

Le nombre $z$ est donc un nombre réel, dont le module vaut $\sqrt{\alpha}$ , et l’argument $0$ ou $\pi$ (module $2\pi$ ).

1.2 : $\alpha < 0$

Dans $\mathbb{C}$ ,

$\vert z \vert ^{2} = \vert \alpha \vert \Longrightarrow \vert z \vert = \sqrt{ \vert \alpha \vert }$

$arg \left( z^{2} \right) = 2 arg(z) = arg (\alpha)$

= $\pi + 2k \pi\text{, }k \in \mathbb{Z} \Longrightarrow arg(z) = \dfrac{\pi}{2} + k \pi\text{, }k \in \mathbb{Z}$

On a donc, $z$ qui est un nombre imaginaire pur, de module $\sqrt{ \vert \alpha \vert }$ , et d’argument $\dfrac{\pi}{2}$ $[\pi]$ .

Cas n°2 : équation $az^{2} + bz + c = 0$ , avec $z \in \mathbb{C}, a \in \mathbb{R}^{*}, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}$

Calculons le discriminant du polynôme : $\Delta = b^{2} - 4 ac$

Les coefficients $a$ , $b$ et $c$ sont réels, nous pouvons donc étudier le signe de $\Delta$ :

Si $\Delta > 0$ : le polynôme du 2nd degré admet deux racines réelles différentes :

$z_{1} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \in \mathbb{R}$

$z_{2} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \in \mathbb{R}$

Si $\Delta = 0$ : le polynôme admet une racine réelle double : $z_{0} = - \frac{b}{2a}$ ;

Si $\Delta < 0$ : le polynôme admet 2 racines complexes conjuguées :

$z_{1} = \dfrac{-b - i \sqrt{ \vert \Delta \vert }}{2a} \in \mathbb{C}$

$z_{2} = \dfrac{-b + i \sqrt{ \vert \Delta \vert }}{2a} = \overline{z_{1}}$

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