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Cours sur les fonctions de référence : fonction carré, inverse,

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Seconde générale

Ce cours sur la fonction carré vous donne les clés pour comprendre cette fonction essentielle en mathématiques. En étudiant ses propriétés, comme sa symétrie et son sens de variation, vous serez mieux équipé pour résoudre des équations et inéquations. Si certains concepts restent flous, les cours particuliers de maths peuvent vous aider à les clarifier.

Fonction carré : définition

La fonction carré est la fonction qui à tout réel $x$ associe son carré $x^2$ .

On la note :

$x \mapsto x^2.$

Propriété 1 : La fonction carré est paire.

Démonstration

Posons $f(x) = x^2$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ , ensemble centré en $0$ .

De plus, pour tout réel $x$ ,

$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x),$

Ce qui justifie que $f$ est paire.

Courbe représentative de la fonction carré

Afin de tracer la courbe représentative de la fonction carré sur un intervalle $[-4;4]$ par exemple, on peut avant tout souhaiter la tracer sur l’intervalle $[0;4]$ car la fonction est paire (ce qui signifie que la courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, d’où le fait de tracer la courbe uniquement sur $[0;4]$ ).

On obtient alors :

Par symétrie, on obtient la courbe représentative complète sur $[-4;4]$

On dit que cette courbe est une parabole.

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Sens de la variation de la fonction carré en 2nde

On peut bien entendu voir sur le graphique les variations de la fonction carré, mais on aurait pu aussi trouver les variations avant de construire la courbe.

Pour cela, on aurait pu prendre deux nombres $a$ et $b$ sur l’intervalle $[0; +\infty[$ , et comparer $a^2$ et $b^2$ :

$0 \leq a < b$ $\Rightarrow$ a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) < 0

$\Rightarrow$ a^2 < b^2

$\Rightarrow$ la fonction carré est strictement croissante sur $[0; +\infty[.$

Par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, on peut en déduire que la fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty; 0]$ .

Le tableau de variation de la fonction carré sur $\mathbb{R}$ est donc le suivant :

Équations avec la fonction carré en seconde

Propriété 2 : Pour tout nombre $a > 0$ ,

$x^2 = a \Leftrightarrow x = -\sqrt{a} \text{ ou } x = \sqrt{a}.$

Inéquations avec la fonction carré en seconde

Pour tout nombres $a > 0$ ,

$x^2 < a \Leftrightarrow -\sqrt{a} < x < \sqrt{a}.$

$x^2 < 9 \Leftrightarrow -3 < x < 3$ .

Graphiquement, cela revient à trouver tous les antécédents dont l’image est plus petite que 9 par la fonction carré :

Pour tout réel $a > 0$ , $x^2 > a \Leftrightarrow x \in ]-\infty; -\sqrt{a}] \cup [\sqrt{a} ; +\infty[.$

Cours fonction racine carrée en seconde

Rappels : règles de calcul sur les racines carrées

Propriété : Soit $a$ et $b$ deux nombres positifs, alors,

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}$

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Si $0 < a < b$ , alors $0 < \sqrt{a} < \sqrt{b}$

Mais, comme pour les identités remarquables, $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ et $\sqrt{a-b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}$

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Fonction racine carrée en seconde générale

Définition : La fonction racine carrée est la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$ .

D’après la propriété précédente, si $0<a<b$ , alors $0<\sqrt{a}<\sqrt{b}$ , soit aussi, $0<f(a)<f(b)$ . On en déduit la propriété:

Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ .

Fonction inverse en 2nde

Définition : La fonction inverse est la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $\dsp f(x)=\dfrac{1}{x}$ .

Propriété : La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ . Sa représentation graphique est une courbe $\mathcal{H}$ appelée hyperbole.

Démonstration :

Sens de variation : Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels négatifs tels que $x_1<x_2<0$ …

Courbe représentative : Tableau de valeurs :

Propriété : Pour tout nombre réel $x$ , $\dsp f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$ : La fonction inverse est impaire : sa courbe représentative admet l’origine du repère comme centre de symétrie.

Fonction du second degré en seconde

Définition : Une fonction du second degré est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par une expression de la forme: \mbox{ $f(x)=ax^2+bx+c$ }, où $a\not=0$ , $b$ et $c$ sont trois nombres réels quelconques.

Propriété : Soit $f$ une fonction du second degré définie par l’expression

$f(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\not=0$ , $b$ et $c$ trois nombres réels quelconques, alors, pour tout nombre réel $x$ ,

$\dsp f(x)=a\lp x+\dfrac{b}{2a}\rp^2 -\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ , et donc,

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