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Cours sur les nombres réels, ensembles et intervalles

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Seconde générale

Les cours sur les nombres réels, ensembles et intervalles font partie des cours important de mathématique en seconde générale. Découvrez toutes les définitions indispensables pour réussir augmentez votre moyenne en maths ! Cependant, ne faites pas l’impasse sur les cours en ligne de maths sur l’arithmétique, la variation de fonctions etc… Par ailleurs, envisager des cours particuliers en maths peut être une excellente option pour ceux qui souhaitent approfondir leur compréhension des concepts mathématiques.

Entiers naturels et nombres réels : définitions

Définition : Appartenance

On considère un ensemble E. On dit que x est un élément de E si x appartient à l’ensemble E. On note alors : $x \in E$ .

Définition : ensembles de nombres

$\bullet$ L’ensemble des entiers naturels est l’ensemble des nombres : 0, 1, 2, … On le note $\mathbb {N}$ : $\mathbb {N}$ = { $0;1;2;3;...$ }

$\bullet$ L’ensemble des entiers relatifs est l’ensemble composé des entiers naturels et de leur opposés. On le note $\mathbb {Z}$ :

$\mathbb {Z}$ = { $...;−3;−2;−1;0;1;2;3;...$ }

$\bullet$ L’ensemble des nombres décimaux est l’ensemble de tous les nombres qui s’écrivent sous la forme $a \times 10^{n}$ , où a et n sont deux entiers relatifs.

On le note $\mathbb{D}$ . C’est l’ensemble des nombres à virgule à écriture finie.

$\mathbb{D}$ = { $a \times 10^{n}$ , $a \in \mathbb{Z}$ , $n \in \mathbb{Z}$ }

$\bullet$ L’ensemble des nombres rationnels est l’ensemble de tous les nombres pouvant s’écrire sous la forme $\dfrac {a} {b}$ , où a et b sont deux entiers relatifs, avec $b \ne 0$ . On le note Q :

$\mathbb{Q}$ = { $\dfrac {a} {b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ , $b \in \mathbb{Z}$ , $b \ne 0$ }

Exemple :

Déterminer une écriture sous la forme $\dfrac{p}{q}$ avec $p\in \mathbb{Z}$ et $q\in \mathbb{N}^*$ de 0,125 parmi les réponses suivantes :

a. $\dfrac{125}{100}$

b. $\dfrac{125}{1000}$

c. $\dfrac{125}{10000}$

Réponse :
On a :
$\begin{align*} 0,125= & 125\times 10^{-3} \\ 0,125= & \dfrac{125}{10^{3}} \\ 0,125= & \dfrac{125}{1000} \end{align*}$

D’où, sous la forme $\dfrac{p}{q}$ , $0,125= \dfrac{125}{1000}$ avec $p=125 \in \mathbb{Z}$ et $q=1000 \in \mathbb{N}^*$

b) Représentation de ces ensembles

L’ensemble des réels : l’ensemble des nombres réels est représenté par une droite graduée où l’on peut renseigner tout nombre réel.

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Diagramme de Venn

Définition : inclusion

Soient E et F deux ensembles. Si tous les éléments de F sont aussi dans E, alors on dit que F est inclus dans E, et on note :

$\begin{cases} F \subset E & \text{si E est plus grand} \\ & \text{que F} \\ F \subseteq E & \text{ si F peut être} \\ & \text{confondu avec E} \end{cases}$

Quelques propriétés :

$\bullet$ Tous les nombres rationnels sont aussi des nombres réels, donc $\mathbb{Q} \in \mathbb{R}$ .

$\bullet$ Tous les nombres décimaux sont aussi des nombres rationnels, donc $\mathbb{D} \in \mathbb{Q}$ .

$\bullet$ Tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs, donc $\mathbb{N} \in \mathbb{Z}$ .

$\bullet$ Tous les entiers relatifs sont aussi des nombres décimaux, donc $\mathbb{Z} \in \mathbb{D}$ .

On a alors :

$\mathbb{N} \in \mathbb{Z} \in \mathbb{D} \in \mathbb{Q} \in \mathbb{R}$ .

Ceci est représenté par le diagramme de Ven suivant :

Définition Intervalles

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a$ < $b$ .

Définition : Intervalle fermé

On notera [ $a$ ; $b$ ] l’ensemble des nombres réels compris entre $a$ et $b$ . Ici, $a$ et $b$ sont compris dans l’intervalle car les crochets sont dirigés vers l’intérieur.

On dira que [ $a$ ; $b$ ] est un intervalle fermé.

- Exemple 1

On représentera [−4 ; 3] ainsi :

Définition : Intervalle ouvert

On notera ] $a$ ; $b$ [ l’ensemble des nombres compris entre $a$ et $b$ , avec $a$ et $b$ qui ne sont pas compris dans l’intervalle car les crochets sont dirigés vers l’extérieur.

On dira que [ $a$ ; $b$ ] est un intervalle ouvert

- Exemple 2

On représentera ]−4 ; 3[ ainsi :

Définition : Intervalle semi-ouvert à gauche

On notera ] $a$ ; $b$ ] l’ensemble des nombres compris entre $a$ et $b$ , avec $a$ non compris dans l’intervalle (car le crochet est dirigé vers l’extérieur du côté de $a$ ) et $b$ compris dans l’intervalle (car le crochet est dirigé vers l’intérieur du côté de $b$ ).

- Exemple 3

On représentera ]−3 ; 4] ainsi :

Définition : Intervalle semi-ouvert à droite

On notera [a ; $b$ [ l’ensemble des nombres compris entre $a$ et $b$ , avec $a$ compris dans l’intervalle (car le crochet est dirigé vers l’intérieur du côté de $a$ ) et $b$ non compris dans l’intervalle (car le crochet est dirigé vers l’extérieur du côté de $b$ ).

- Exemple 4

On représentera [−3 ; 4[ ainsi :

Définition : Intervalle infini

On notera ]−∞ ; $a$ [ l’ensemble des nombres strictement plus petits que $a$ .

On notera ]−∞ ; $a$ ] l’ensemble des nombres plus petits que $a$ ou égaux à $a$ .

On notera ] $a$ ; +∞[ l’ensemble des nombres strictement plus grands que $a$ .

On notera [ $a$ ; +∞[ l’ensemble des nombres plus grands que $a$ ou égaux à $a$ .

Appartenance à un intervalle

Pour écrire qu’un nombre x appartient à un intervalle [ $a$ ; $b$ ], on écrira :

$x$ $\in$ [ $a$ ; $b$ ].

Cela signifie que $x$ est compris entre $a$ et $b$ et on pourra donc l’écrire aussi :

$a$ $\leqslant$ $x$ $\leqslant$ $b$ .

Les signes strictes ou larges des inégalités sont choisis en fonction du sens des crochets de l’intervalle :

$x$ $\in$ [ $a$ ; $b$ ] $\implies$ $a$ $\leqslant$ $x$ $\leqslant$ $b$

$x$ $\in$ ] $a$ ; $b$ [ $\implies$ $a$ < $x$ < $b$

$x$ $\in$ ] $a$ ; $b$ ] $\implies$ $a$ < $x$ $\leqslant$ $b$

$x$ $\in$ [ $a$ ; $b$ [ $\implies$ $a$ $\leqslant$ $x$ < $b$

$x$ $\in$ [ $a$ ; +∞[ $\implies$ $x$ $\geqslant$ $a$

$x$ $\in$ ]−∞ ; $a$ [ $\implies$ $x$ < $a$

- Exemple

Comment s’écrit sous la forme $a\leq x\leq b$ l’intervalle suivant:

$x\in [-1;2[$

a) $-1 < x < 2$

b) $-1 \leq x \leq 2$

c) $-1\leq x < 2$

d) $-1 < x \leq 2$

On rappelle que :

$x$ $\in$ [ $a$ ; $b$ [ $\implies$ $a$ $\leqslant$ $x$ < $b$

Union et intersection d’intervalles

Pour écrire qu’un nombre $x$ appartient à un intervalle [ $a$ ; $b$ ] ou à un intervalle [ $c$ ; $d$ ], on écrira : $x$ $\in$ [ $a$ ; $b$ ] $\cup$ [ $c$ ; $d$ ].

On représentera l’union ainsi :

Pour écrire qu’un nombre $x$ appartient à un intervalle [ $a$ ; $b$ ] et à un intervalle [ $c$ ; $d$ ], on écrira : $x$ $\in$ [ $a$ ; $b$ ]∩[ $c$ ; $d$ ].