Chapitres de maths en Terminale D

Cours sur les intégrales et primitives en Terminale D

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale D

Le résumé de cours suivant sur les intégrales pourra vous aider à préparer le bac D. Si vous avez besoin de plus d’aide, n’hésitez pas à faire appel à nos professeurs particuliers en maths.

1- Définition géométrique de l’intégrale en terminale D

Définition : intégrale d’une fonction continue et positive

Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $[a;b]$ , continue et positive sur $[a;b]$ .

On appelle $E$ le domaine du plan limité par la courbe $C_{f}$ représentant $f$ , l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$ .

On appelle intégrale de la fonction $f$ sur $[a;b]$ la mesure de l’aire du domaine $E$ en unités d’aire. Ce nombre est noté :

$\int_{a}^{b} f(x) dx$

Remarque :

L’aire du domaine $E$ s’appelle aussi aire sous la courbe. On a donc : $aire(E) = \int_{a}^{b} f(x) dx$ u.a.

Le domaine $E$ peut aussi être défini par le système d’inégalités suivant:

$M(x,y) \in E \Longleftrightarrow \left \{ \begin{array}{c} a \leq x \leq b \\ 0 \leq y \leq f(x) \\ \end{array} \right.$

Le nombre $\int_{a}^{b} f(x) dx$ se lit « intégrale de $a$ à $b$ de $f(x) dx$ » ou « somme de $a$ à $b$ de $f(x) dx$ « .

Les réels $a$ et $b$ sont appelés les bornes de l’intégrale.

La définition géométrique de l’intégrale permet d’obtenir les premières propriétés suivantes :

Propriété

Soit $f$ une fonction continue et positive sur l’intervalle $[a;b]$ . Pour tout réel $c$ de l’intervalle $[a;b]$ ,

Nous avons :

$\int_{c}^{c} f(x) dx = 0$

Propriété : positivité de l’intégration

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$ . Alors:

$\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$

Propriété : comparaison

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur $[a;b]$ , telles que $f \leq g$ , c’est-à-dire telles que pour tout $x \in [a;b]\text{, }f(x) \leq g(x)$ .

Alors :

$\int_{a}^{b} f(x) dx \leq \int_{a}^{b} g(x) dx$

Propriété : relation de Chasles

Soit $f$ une fonction définie, continue et positive sur $[a;b]$ . Soit $c \in [a;b]$ ,

alors :

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$

Définition : valeur moyenne d’une fonction

La valeur moyenne d’une fonction $f$ continue et positive sur $[a;b]$ ( $a \neq b$ ),

est égale au nombre:

$\dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$

Propriété : inégalité de la moyenne

Soit une fonction $f$ continue et positive sur $[a;b]$ ( $a \neq b$ ), et deux nombres $m$ et $M$

tels que:

$\forall x \in [a;b]$ , $m \leq f(x) \leq M$

Alors, en posant $\mu = \displaystyle{\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx}$ la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[a;b]$ ,

nous avons l’encadrement suivant:

$m \leq \mu \leq M$

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2 – Calcul approché de l’intégrale en terminale D

Calcul approché de l’intégrale d’une fonction continue monotone positive

Soit $f$ une fonction continue, monotone et positive sur l’intervalle $[a;b]$ . On note $(E)$ le domaine limité par la représentation graphique de la fonction $f$ , l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=a$ et $x=b$ .

Par définition de l’intégrale:

$Aire(E) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

Afin d’approcher la valeur de cette intégrale, on partage l’intervalle $[a;b]$ en $n$ intervalles $[x_{i},x_{i+1}]$ de longueur identique $h=\dfrac{b-a}{n}$ ( $n \geq 1$ ), avec $x_{0} = a$ et $x_{n}=b$ .

Ces intervalles sont appelés subdivisions de $[a;b]$ , et $h$ est le pas de la subdivision. Sur chaque subdivision, on construit un rectangle situé sous la courbe et un autre rectangle situé au-dessus et contenant $(E)$ , comme l’illustrent les figures ci-dessous.

Définition : dérivabilité sur un intervalle

Une fonction $f$ est dite dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout réel de $I$ .

La fonction qui a tout réel $x$ de $I$ associe son nombre dérivé en $x$ est appelée fonction dérivée de $f$ et est notée $f'$ .

Propriété : équation de la tangente en un point

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I contenant un réel $a$ et $C_{f}$ sa courbe représentative.

La courbe $C_{f}$ admet au point de coordonnées $(a;f(a))$ une tangente d’équation :

${T_{a}$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$

Dans le cas où $f$ est croissante sur $[a;b]$ , on note $u_{n}$ la mesure de l’aire totale des rectangles situés sous la courbe et $v_{n}$ la mesure de l’aire totale des rectangles situés au-dessus de la courbe et contenant le domaine $(E)$ .

On obtient ainsi deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ encadrant la mesure $\int_{a}^{b} f(x) dx$ de l’aire de $(E)$ .

Ainsi, pour tout $n \geq 1$ , on a :

$u_{n} \leq \int_{a}^{b} f(x) dx \leq v_{n}$

En sommant les aires des différents rectangles, nous pouvons expliciter les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ :

$u_{n} = \sum_{k=0}^{n-1} h \times f(a+kh)$

$= \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{b-a}{n} \times f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)$

$= \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)$

$v_{n} = \sum_{k=1}^{n} h \times f(a+kh)$

$= \sum_{k=1}^{n} \dfrac{b-a}{n} \times f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)$

$= \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)$

Propriété

Soit $f$ une fonction continue, positive et monotone sur un intervalle $[a;b]$ , et $(u_{n})$ et $(v_{n})$

les suites définies par:

$u_{n} = \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)$ et

$v_{n} = \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)$

Alors:

Si $f$ est croissante, nous avons pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n} \leq \int_{a}^{b} f(x) dx \leq v_{n}$

Si $f$ est décroissante, nous avons pour tout entier naturel $n$ :

$v_{n} \leq \int_{a}^{b} f(x) dx \leq u_{n}$

$\int_{a}^{b} f(x) dx$

$= \lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)$

3 – Intégration et dérivation

Théorème fondamental

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$ , la fonction définie sur $[a;b]$ par

$F_{a}$ : $x \in [a;b] \longmapsto \int_{a}^{x} f(t) dt$

est dérivable sur $[a;b]$ et sa fonction dérivée est la fonction $f$ .

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4 – Primitives en terminale D

Définition

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ . On dit qu’une fonction $F$ , définie sur $I$ , est une primitive de la fonction $f$ sur I si :

La fonction $F$ est dérivable sur I;

Pour tout $x$ de I, $F'(x)=f(x)$ .

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Propriété

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ .

Soit $F$ et $G$ deux de ses primitives. Alors la fonction $F-G$ est une fonction constante sur $I$ .

Soit $F$ une de ses primitives. Alors l’ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est égal à l’ensemble des fonctions de la forme $F+k$ , où $k$ est une constante.

Soit $x_{0}$ un élément de $I$ et $y_{0}$ un nombre réel. Alors il existe une et une seule primitive de $f$ sur $I$ qui prend la valeur $y_{0}$ en $x_{0}$ .

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels de $I$ . Soit $F$ une des primitives de la fonction $f$ sur $I$ . La différence $F(b)-F(a)$ ne dépend pas de la primitive choisie.

Propriété: primitive et intégrales

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$ et $F$ une de ses primitives.

On a alors :

$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$

Primitives des fonctions usuelles

Expression de $f(x)$ sur $I$ & $I$ & Expression de $F(x)$ sur $I$

$f(x) = 0$ | $I=\mathbb{R}$ | $F(x) = k$ , $k \in \mathbb{R}$

$f(x) = 1$ | $I=\mathbb{R}$ | $F(x) = x+k$ , $k \in \mathbb{R}$

$f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x^{2}}}$ | $I= ]0;+\infty[$ ou $I=]-\infty;0[$ | $F(x) = -\displaystyle{\frac{1}{x} + k}$ , $k \in \mathbb{R}$

$f(x) = \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ | $I=]0;+\infty[$ | $F(x) = 2\sqrt{x} + k$ , $k \in \mathbb{R}$

$f(x) = x^{n}$ , $n \in \mathbb{N}$ | $I=\mathbb{R}$ | $F(x) = \displaystyle{\frac{1}{n+1} x^{n+1} + k}$ , $k \in \mathbb{R}$

$f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x^{n}} = x^{-n}}$ , $n \geq 2$ | $I=]0;+\infty[$ ou $I=]-\infty;0[$ |

$F(x) = - \displaystyle{\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + k}$

= $\displaystyle{\frac{1}{-n+1} x^{-n+1} + k}$ , $k \in \mathbb{R}$

$f(x) = cos(x)$ | $I = \mathbb{R}$ | $F(x) = sin(x) + k$ , $k \in \mathbb{R}$

$f(x) = sin(x)$ | $I = \mathbb{R}$ | $F(x) = -cos(x) + k$ , $k \in \mathbb{R}$

$f(x) = e^{x}$ | $I = \mathbb{R}$ | $F(x) = e^{x} + k$ , $k \in \mathbb{R}$

$f(x) = \dfrac{1}{x}$ | $I = ]0;+\infty[$ | $F(x) = ln(x) + k$ , $k \in \mathbb{R}$

Dans le tableau suivant, $f$ , $g$ , $u$ , $v$ sont des fonctions continues sur un intervalle $I$ , les fonctions $F$ et $G$ sont des primitives des fonctions $f$ et $g$ sur $I$ . Les notations $\alpha, \beta$ désignent des nombres réels, et $k$ désigne une constante.

5 – Primitives et intégrales d’une fonction en terminale D

Primitives et intégrales d’une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle

Dans cette section, on considérera, sauf mention contraire, des fonctions continues et de signe quelconque sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ . On généralise les résultats précédemment énoncés pour les fonctions continues et positives.

Définition: intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux nombres réels de $I$ .

Soit $F$ une des primitives de la fonction $f$ sur $I$ .

On appelle intégrale de $a$ à $b$ de la fonction $f$ le nombre $F(b)-F(a)$ et on note

$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$

Théorème

Soit $f$ une fonction continue sur $[a;b]$ , la fonction $G$ définie sur $[a;b]$ par

$G$ : $x \in [a;b] \longmapsto G(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$

est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$ .

Propriété

$\int_{a}^{b} f(t) dt = - \int_{b}^{a} f(t) dt$

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 0$

Propriété: linéarité de l’intégrale

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l’intervalle $[a;b]$ .

$\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}$ , $\int_{a}^{b} (\alpha f(t) + \beta g(t)) dt$

$= \alpha \int_{a}^{b} f(t) dt + \beta \int_{a}^{b} g(t) dt$

Propriété: relation de Chasles

Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $[a;b]$ .

$\forall c \in [a;b]$ , $\int_{a}^{c} f(t) dt + \int_{c}^{b} f(t) dt$

$= \int_{a}^{b} f(t) dt$

Propriété: positivité

On suppose ici que $f$ une fonction continue et positive sur l’intervalle $I$ .

$\forall a,b \in I$ , $a \leq b$ : $\int_{a}^{b} f(t) dt \geq 0$

ATTENTION. La propriété de positivité de l’intégrale ne se généralise pas aux fonctions continues de signe quelconque !

Propriété: encadrement

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ , telles que $f \leq g$ , c’est-à-dire telles que $f(x) \leq g(x)$ pour tout $x$ de $I$ . Soit $a$ et $b$ dans $I$ tels que
$a \leq b$ , alors:

$\int_{a}^{b} f(t) dt \leq \int_{a}^{b} g(t) dt$

Définition: valeur moyenne d’une fonction continue

La valeur moyenne d’une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a;b]$ , avec $a < b$ , est égale au nombre

$\dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t) dt$

Propriété: inégalité de la moyenne

Soit une fonction $f$ continue sur l’intervalle $[a;b]$ , avec $a \neq b$ , et deux nombres $m$ et $M$ tels que

$\forall x \in [a;b]$ , $m \leq f(x) \leq M$

Alors:

$m \leq \mu \leq M$

où $\mu = \dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t)dt$ est la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[a;b]$ .

Propriété : aire entre deux courbes

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l’intervalle $[a;b]$ , telles que, pour tout $t$ de $[a;b]$ , $f(t) \leq g(t)$ .

L’aire du domaine $E$ limité par la courbe représentative de $f$ , celle de $g$ et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$ mesure

$\int_{a}^{b} \left[g(t)-f(t)\right] dt$ en unités d’aire

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Propriété

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Propriété: primitive et intégrales

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Primitives et intégrales d’une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle

Propriété: linéarité de l’intégrale

Propriété: positivité

Propriété: encadrement

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