Tout sur le Programme de Maths Approfondies en ECG 1
Programme maths approfondies en ECG 1 : algèbre, analyse
Le programme de maths approfondies d’ECG 1 est dans la continuité du programme de maths de terminale. Il s’organise autour de 6 thèmes principaux : algèbre linéaire, analyse, probabilités, raisonnement et vocabulaire ensemblistes, polynômes, informatique. Ces thèmes seront ensuite approfondis dans le programme de maths d’ECG 2.
En prépa ECG, les maths sont la matière la plus importante aux concours. En effet elle représente environ 35% des coefficients de la BCE. Par conséquent, il est essentiel d’y obtenir de bons résultats aux concours pour intégrer les écoles en haut du classement des écoles de commerce de France.
Le contenu du programme de maths approfondies en prepa ECG 1
Découpage officiel par semestre, chapitres exigibles et points de vigilance sur chaque partie du programme.
10 parties du programme affichées
| Période | Partie du programme | Chapitres et sous-parties | Ce qu'il faut retenir |
|---|---|---|---|
| Premier semestre | Raisonnement et vocabulaire ensembliste | Éléments de logique ; raisonnement par récurrence, calcul de sommes et de produits ; ensembles et parties d'un ensemble ; applications | Aucun exposé théorique n'est attendu. Ce qui change par rapport à la terminale, c'est la rédaction : quantificateurs, types de raisonnement, récurrence menée proprement. |
| Premier semestre | Polynômes | Polynômes à coefficients réels, degré, ensembles Rn[x], division euclidienne, multiples et diviseurs, racines et ordre de multiplicité, cas du degré 2, formule de Taylor pour un polynôme | Premier chapitre réellement nouveau. La construction formelle reste hors programme et les nombres complexes ne figurent pas au programme d'ECG. |
| Premier semestre | Algèbre linéaire | Calcul matriciel : matrices rectangulaires, cas des matrices carrées ; systèmes linéaires ; introduction aux espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels | L'algèbre linéaire entre par le calcul. Le pivot de Gauss est présenté sur des exemples et tout développement théorique est écarté. Les espaces vectoriels ne sont ici qu'introduits. |
| Premier semestre | Suites de nombres réels | Vocabulaire sur l'ensemble R des nombres réels ; exemples de suites réelles ; convergence des suites réelles et théorèmes fondamentaux | Le fond est connu du lycée mais l'exigence de rigueur monte d'un cran. Le théorème de limite monotone sert de socle aux séries numériques du second semestre. |
| Premier semestre | Fonctions réelles d'une variable réelle | Limite et continuité en un point ; étude globale des fonctions sur un intervalle ; dérivation ; intégration sur un segment | Les fonctions trigonométriques ne sont pas supposées connues et arctan, la valeur absolue et la partie entière rejoignent les fonctions de référence. La dérivation va jusqu'au théorème de Rolle, l'intégration jusqu'aux sommes de Riemann. |
| Premier semestre | Probabilités sur un ensemble fini | Généralités : expérience aléatoire et événements, probabilité, probabilité conditionnelle, indépendance ; variables aléatoires réelles finies ; lois usuelles | Tout se joue sur un univers fini et le mot tribu n'est pas employé à ce stade. Le programme demande aussi d'éviter un usage avancé de la combinatoire. |
| Second semestre | Algèbre linéaire | Espaces vectoriels de dimension finie ; compléments sur les espaces vectoriels ; applications linéaires : cas général, cas de la dimension finie, matrices et applications linéaires, endomorphismes et matrices carrées | On passe du calcul aux structures : familles libres, bases, dimension, rang. C'est le moment de l'année où l'écart se creuse selon l'aisance avec l'abstraction. |
| Second semestre | Compléments d'analyse | Étude asymptotique des suites ; comparaison des fonctions au voisinage d'un point ; séries numériques ; intégrales sur un intervalle quelconque ; dérivées successives ; formules de Taylor ; développements limités ; extremum ; fonctions convexes ; graphes de fonctions | Dix sections, c'est le bloc le plus lourd de l'année. Les séries numériques et les intégrales sur un intervalle quelconque sont les deux vraies nouveautés, elles préparent les variables aléatoires à densité de l'ECG 2. |
| Second semestre | Probabilités sur un ensemble quelconque | Espace probabilisé ; variables aléatoires réelles discrètes ; lois de variables aléatoires discrètes usuelles ; couples de variables aléatoires discrètes ; convergences et approximations | On quitte le cadre fini. Lois géométrique et de Poisson, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, sans définir la convergence en probabilité ni la convergence en loi. Les variables à densité attendent la deuxième année. |
| Toute l'année | Informatique et algorithmique | Programmation d'algorithmes et de fonctions ; commandes exigibles dans la base de Python, numpy, numpy.linalg, numpy.random, scipy.special, matplotlib.pyplot et la fonction Axes3D ; savoir-faire exigibles de première année | Python est le seul langage retenu par le programme. L'enseignement n'a pas d'horaire séparé, il est adossé aux chapitres de maths sur l'année entière et non réservé au second semestre. |
Source : Ministère de l'enseignement supérieur, de la recherche et de l'innovation, 2021, programme de maths approfondies et informatique de la classe d'ECG, première année.
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Ce que le premier semestre change par rapport à la terminale
Le premier semestre commence par de la logique et du vocabulaire ensembliste, ce qui surprend souvent. L’objectif n’est pas d’ajouter des connaissances mais de fixer une manière d’écrire, avec les quantificateurs, les différents types de raisonnement et la rédaction propre d’une récurrence.
Les polynômes forment le premier chapitre réellement nouveau. On travaille dans R[x] avec le degré, la division euclidienne, les racines et leur ordre de multiplicité. La construction formelle reste hors programme, polynômes et fonctions polynomiales sont identifiés.
L’algèbre linéaire arrive dès ce semestre, par le calcul. Les élèves qui n’ont pas suivi l’option maths expertes en terminale découvrent le calcul matriciel de zéro : opérations, produit, transposée, matrices carrées, inversibilité. Les systèmes linéaires se résolvent par la méthode du pivot de Gauss, présentée sur des exemples puisque tout développement théorique est écarté. Les espaces vectoriels ne sont ici qu’introduits, leur étude en dimension finie attend le semestre suivant.
En analyse, suites et fonctions sont reprises avec une exigence de rigueur nouvelle. Le programme ajoute quelques fonctions de référence à connaître, dont arctan, la valeur absolue et la partie entière, et précise que les fonctions trigonométriques ne sont pas supposées connues. La dérivation va jusqu’au théorème de Rolle, l’intégration sur un segment jusqu’aux sommes de Riemann.
Les probabilités restent sur des univers finis. On reprend les probabilités conditionnelles et l’indépendance, on formalise les variables aléatoires réelles finies puis on installe les premières lois usuelles.
Ce qui s’ajoute au second semestre
Le second semestre généralise. L’algèbre linéaire passe du calcul aux structures : bases, dimension, rang, applications linéaires et leur traduction matricielle, endomorphismes. C’est là que l’écart se creuse entre les élèves selon leur aisance avec l’abstraction.
En analyse, les compléments occupent une place considérable, dix sections à eux seuls. Les séries numériques et les intégrales sur un intervalle quelconque sont les deux nouveautés lourdes. S’y ajoutent la comparaison asymptotique, les formules de Taylor, les développements limités, la convexité et la recherche d’extremums.
Les probabilités changent de cadre. On quitte le fini pour l’espace probabilisé, avec les tribus et le théorème de la limite monotone. Suivent les variables aléatoires discrètes, les lois géométrique et de Poisson, les couples de variables discrètes puis les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev. Les variables à densité, elles, attendent l’ECG 2.
L’informatique accompagne ces chapitres toute l’année. Le langage retenu par l’arrêté est Python, et uniquement Python. Les commandes exigibles se limitent à un socle précis réparti entre la base du langage, numpy, scipy.special et matplotlib.pyplot, ce qui n’interdit pas d’en introduire d’autres avec parcimonie.
Maths approfondies ou maths appliquées : quelle différence en ECG1 ?
Le choix entre les deux enseignements de maths se fait à l’entrée en prépa et engage les deux années, puisque horaires et esprit du programme sont identiques en première et en deuxième année. Les maths approfondies pèsent une heure de plus par semaine et vont plus loin du côté du formalisme, avec les espaces vectoriels abstraits, les polynômes de R[x] et les développements limités. Les maths appliquées gardent un ancrage plus concret, avec la théorie des graphes, les statistiques univariées et les équations différentielles.
Il n’y a pas de voie faible. La vraie question porte sur le rapport à l’abstraction et sur le niveau de maths atteint en terminale, pas sur un prestige supposé de l’un ou l’autre parcours.
| Critère | Maths approfondies | Maths appliquées |
|---|---|---|
| Horaire hebdomadaire | Maths approfondies9 heures7 heures de cours et 2 heures de travaux dirigés, en première comme en deuxième année | Maths appliquées8 heures6 heures de cours et 2 heures de travaux dirigés, en première comme en deuxième année |
| Semaine totale de la filière | Maths approfondies28 heures avec l'HGG, 29 heures avec l'ESH. Les maths pèsent près d'un tiers du temps de cours | Maths appliquées27 heures avec l'HGG, 28 heures avec l'ESH. Les maths pèsent un peu moins de 30% du temps de cours |
| Esprit du programme | Maths approfondiesLes objets sont posés dans leur cadre général avant d'être manipulés. Le formalisme et la démonstration structurent l'année | Maths appliquéesLes objets sont introduits par le calcul et la modélisation, avec une place nette donnée à la lecture et au traitement de données |
| Algèbre | Maths approfondiesCalcul matriciel, systèmes linéaires, polynômes de R[x], espaces vectoriels et sous-espaces, dimension finie, applications linéaires et endomorphismes | Maths appliquéesSystèmes linéaires, calcul matriciel, théorie des graphes, espace Rⁿ et ses sous-espaces vectoriels, applications linéaires entre espaces Rⁿ |
| Analyse | Maths approfondiesSuites, limites et continuité, dérivation, intégration sur un segment, puis séries numériques, intégrales sur un intervalle quelconque, formules de Taylor, développements limités, convexité | Maths appliquéesSuites, fonctions usuelles, limites et continuité, calcul différentiel, convexité, intégration sur un segment, séries numériques, équations différentielles linéaires à coefficients constants |
| Probabilités | Maths approfondiesUnivers finis au premier semestre, puis espace probabilisé et tribus, variables aléatoires discrètes, couples de variables, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev | Maths appliquéesStatistiques univariées, événements, coefficients binomiaux, probabilité conditionnelle et indépendance, puis espace probabilisé, variables aléatoires discrètes et lois usuelles |
| Informatique | Maths approfondiesEnseignement annuel d'informatique et d'algorithmique en Python, adossé aux chapitres de maths. Aucun horaire séparé dans l'arrêté | Maths appliquéesPython également, avec un programme d'informatique découpé par semestre, dont les graphes finis et la simulation de phénomènes aléatoires |
Source : Ministère de l'enseignement supérieur, de la recherche et de l'innovation, arrêté du 5 janvier 2021 relatif aux programmes de la classe préparatoire ECG et arrêté du 5 janvier 2021 fixant l'horaire hebdomadaire des classes préparatoires économiques et commerciales générales.
Comment travailler les maths en ECG 1 ?
Le décrochage se joue vite. Le rythme du premier semestre laisse peu de place pour revenir sur un chapitre mal digéré et les notions du second semestre se construisent directement dessus. Trois réflexes reviennent chez les élèves qui s’en sortent bien : apprendre le cours avant de faire les exercices et non l’inverse, tenir un carnet d’erreurs pour ne pas buter deux fois au même endroit et traiter les colles comme un entraînement plutôt que comme un verdict.
Certains chapitres concentrent à eux seuls la majorité des demandes d’aide. Le calcul matriciel en début d’année pour les élèves arrivés sans l’option maths expertes, puis le passage aux espaces vectoriels et aux applications linéaires au second semestre, où la difficulté n’est plus le calcul mais la manière de rédiger une démonstration. Viennent ensuite les séries numériques et l’espace probabilisé, deux chapitres où une notion mal comprise en février se paie encore aux concours deux ans plus tard. C’est précisément ce que vise un accompagnement individuel : reprendre un point précis du programme, refaire les exercices classiques du chapitre et travailler la rédaction, là où le cours en classe ne peut pas ralentir. Les professeurs particuliers de maths en prépa ECG de Groupe Réussite sont issus de CPGE ou agrégés, ils connaissent le découpage semestriel du programme et savent sur quel chapitre porter l’effort selon la période de l’année. Beaucoup d’élèves démarrent par quelques heures avant un DS puis installent un rendez-vous régulier avec un professeur de cours particuliers en maths sur le semestre entier.
Le calendrier du programme se prête bien à un travail par blocs pendant les vacances. Un stage intensif en prépa ECG 1 permet de prendre en main la logique, le vocabulaire ensembliste et le calcul matriciel avant que la classe ne les traite en septembre, ce qui change beaucoup pour les élèves qui n’ont eu que la spécialité maths en terminale. À la Toussaint, l’enjeu se déplace vers les suites, les fonctions et les probabilités sur un ensemble fini, avant les premiers concours blancs. En février puis à Pâques, les stages portent sur les gros morceaux du second semestre, applications linéaires, séries et variables aléatoires discrètes, qui forment aussi les fondations du programme d’ECG 2. Les stages de maths en prépa ECG 1 de Groupe Réussite fonctionnent en petits groupes de niveau, avec un temps important laissé aux exercices plutôt qu’à la reprise du cours, et sont ouverts aux élèves de toute la France comme de l’étranger.
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Questions fréquentes sur les maths approfondies ECG1
L’arrêté fixe 9 heures par semaine, réparties en 7 heures de cours et 2 heures de travaux dirigés, en première comme en deuxième année. C’est le plus gros volume de la filière, devant l’ESH à 8 heures et l’HGG à 7 heures. Selon la combinaison choisie, la semaine totale atteint 28 ou 29 heures, ce qui place les mathématiques à près d’un tiers du temps de cours. L’informatique n’a pas d’horaire séparé, elle est intégrée à l’enseignement de mathématiques.
Les polynômes à coefficients réels, le calcul matriciel pour qui n’a pas suivi l’option mathématiques expertes, les espaces vectoriels, les séries numériques et les intégrales sur un intervalle quelconque. La logique et le vocabulaire ensembliste du début d’année ne sont pas nouveaux sur le fond mais relèvent le niveau d’exigence à l’écrit. Deux notions sortent en revanche du champ : les nombres complexes ne figurent pas au programme d’ECG et les variables aléatoires à densité sont reportées en deuxième année.
Python, et uniquement Python. Scilab appartenait aux anciens programmes d’ECS et d’ECE, il a disparu avec la réforme de 2021. Les commandes exigibles couvrent la base du langage puis les bibliothèques numpy, numpy.linalg, numpy.random, scipy.special et matplotlib.pyplot, ainsi que la fonction Axes3D. L’informatique n’est pas une matière à part, elle est enseignée sur toute l’année en appui des chapitres de mathématiques.
Le volume horaire double presque et les attentes de rédaction montent d’un cran, en particulier sur les démonstrations. Le programme n’attend pas, le premier semestre avance vite dès septembre. Le plus efficace consiste à apprendre le cours avant les exercices, à tenir un carnet d’erreurs et à ne jamais laisser un chapitre en suspens puisque le second semestre s’appuie directement dessus. Les élèves arrivés sans l’option mathématiques expertes en terminale gagnent à consolider le calcul matriciel et les techniques de calcul pendant l’été, avant que la classe ne les traite en septembre. Quel est le volume horaire de maths approfondies en ECG 1 ?
Quels chapitres sont vraiment nouveaux par rapport à la terminale ?
Quel langage de programmation utilise-t-on en maths approfondies en ECG 1 ?
Comment réussir la transition entre la terminale et l'ECG 1 en maths ?
Pour plus d’informations sur les programmes des matières en ECG 1, veuillez consulter :
- Le programme de maths appliquées en ECG 1
- Le programme d’ESH en ECG 1
- Le programme d’HGGMC en ECG 1
- Le programme de CG en ECG 1
- Le programme d’anglais en ECG 1
N’hésitez pas à télécharger le PDF du programme de maths approfondies en ECG1 ci-dessous :