Cours en ligne Physique-Chimie en Maths Spé

Chapitres Physique-Chimie en MP, PSI, PC, MPI, TSI, PT

Cours sur l’électrostatique en prépa MP, MPI, PC, PSI et PT

Il est essentiel de consacrer du temps à étudier le cours sur l’électrostatique en maths spé en physique chimie, car cette matière revêt une grande importance dans le programme de maths spé. Bien sûr, on va revoir les notions en physique et chimie, tels que Théorème de Gauss Théorème de Gauss gravitationnel, cartes de champ et de potentiel et dipôles électriques Il peut également être bénéfique de suivre des cours avec des profs de physique chimie afin de combler d’éventuelles lacunes. Il est clair que la réussite aux concours est difficile sans une solide maîtrise de la physique chimie.

Théorème de Gauss en prépa maths spé

Méthode 1 : Application du théorème de Gauss.

1. On affirme les symétries de la répartition des charges, on en déduit la direction du champ électrique. On peut la vérifier et prévoir le sens en appliquant la règle simple : « le champ électrique fuit les charges positives ».

2. On affirme les invariances, on en déduit de quelle variable géométrique dépend $\vec{E}$

3. On dessine la surface de Gauss choisie en vert. On trace en $M$ , éventuellement en quelques autres points, le vecteur $d\vec{S}$ en vert et le vecteur $\vec{E}$ en rouge, en faisant apparaître clairement leur colinéarité ou leur orthogonalité.

4. On applique le théorème de Gauss

$\displaystyle{\iint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}}$

et on en déduit $\vec{E}(M)$ .

Exemple.

Une bille sphérique de centre $O$ et de rayon $b$ porte $\rho$ uniforme.

Déterminer $\vec{E}$ en un point $M$ défini par $\vec{OM}=r\vec{u}_r$ .

Méthode 2 : théorème de superposition

Lorsque la géométrie de la distribution de charges ne présente pas de symétrie particulière, c’est la plupart du temps que cette distribution est la superposition de deux distributions simples et possédant, elles, des symétries. On applique alors le théorème de superposition, résultant de la linéarité des équations de Maxwell : le champ créé par la superposition de deux distributions de charge est la somme des champs créés séparément par ces deux distributions.

Exemple.

Le champ créé par une plaque infinie portant une densité surfacique $\sigma$ uniforme crée un champ

$\displaystyle{\pm\vec{E}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec{u}_z}$

(+ au dessus, – en dessous)

Quel est le champ électrique créé par deux plans parallèles portant respectivement $+\sigma$ et $-\sigma$ ?

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Théorème de Gauss gravitationnel en prépa MP, PC, MPI, PT et PSI

Méthode : application du théorème de Gauss gravitationnel.

On ne démontre pas le théorème, on l’écrit en faisant l’analogie entre la force de gravitation entre deux masses et la force de Coulomb électrostatique entre deux charges ponctuelles. On en déduit

$\iint\vec{g}\cdot d\vec{S}=-4\pi\mathcal{G}M_{\mathrm{int}}$

Exemple d’application du théorème de Gauss

Une planète sphérique de masse $m_P$ , de centre $O$ et de rayon $b$ possède une masse volumique $\mu$ uniforme.

Déterminer $\vec{g}$ en un point $M$ défini par $\vec{OM}=r\vec{u}_r$ .

Partie 3. Calcul de capacités

Méthode 1 : Calcul de la capacité d’un condensateur par méthode directe.

Soient deux plaques séparées par du vide. L’une d’elles porte la charge $+q$ et est au potentiel $V_P$ , l’autre porte $-q$ et est à $V_N$ .

1. On calcule $\vec{E}$ entre les plaques grâce au théorème de Gauss.

2. On en déduit le potentiel $V$ en intégrant $\vec{E}=-\vec{\mathrm{grad}}V$ et en tenant compte des CL sur les plaques.

3. On en déduit la tension $U=V_P-V_N$ .

4. On en déduit la capacité en écrivant $q=CU$ .

Exemple.

Un condensateur sphérique est constitué par une sphère de rayon $a$ portant $+q$ et une de rayon $b$ portant $-q$ avec $a<b$ .

Calculer la capacité $C$ de ce condensateur.

Méthode 2 : calcul de la capacité d’un condensateur par méthode énergétique.

Soient deux plaques séparées par du vide. L’une d’elles porte la charge $+q$ et est au potentiel $V_P$ , l’autre porte $-q$ et est à $V_N$ .

1. On calcule $\vec{E}$ entre les plaques grâce au théorème de Gauss.

2. On en déduit l’énergie électrique emmagasinée entre les plaques

$\displaystyle{U_e=\iiint u_e d\tau=\iiint \frac12\varepsilon_0E^2d\tau}$

3. On en déduit la capacité en identifiant cette énergie à

$\displaystyle{U_e=\frac12CU^2=\frac12\frac{q^2}{C}}$

Exemple

Déterminer la capacité d’un condensateur sphérique dont les plaques ont même centre $O$ et sont des sphères de rayons $a$ et $b>a$ .

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Cartes de champ et de potentiel en maths spé

Méthode : lire une carte de champ et de potentiel.

Une carte de champ électrique donne les vecteurs $\vec{E}$ en des points bien choisis, en général régulièrement répartis dans le plan de la figure.

Les lignes de champ sont telles qu’en tout point d’une de ces lignes, le champ est tangent à la ligne.

Les surfaces équipotentielles (on ne voit que des lignes dans le plan de la figure) sont définies par $V=\mathrm{cste}$

Voici les propriétés topographiques :

(P1) Les lignes de champ sont orientées des charges positives vers les charges négatives.

(P2) En un point où il n’y a pas de charge, et où le champ n’est pas nul, deux lignes de champ ne peuvent pas se croiser.

(P3) Les lignes de champ sont orthogonales aux surfaces équipotentielles.

(P4) En particulier, les lignes de champ sont orthogonales aux surfaces des conducteurs parfaits.

(P5) Plus les surfaces équipotentielles sont rapprochées, plus la norme du champ $\vec{E}$ est grande.

Exemple de carte de champ et potentiel

Commenter le graphe suivant des lignes de champ et des équipotentielles au voisinage d’une charge électrique positive ponctuelle.

Dipôles électriques en prépa

Méthode 1 : calculer un champ dipolaire.

Le champ électrique créé par le dipôle est exprimé en coordonnées sphériques.

L’axe $(O,z)$ a pour origine le centre $O$ du dipôle, les charges sont situées

en $P(+q, z=a/2)$ et en $N(-q,z=-a/2)$

Le moment dipolaire est donc

$\vec{P}=qa\vec{u}_z$

On repère un point $M$ dans l’espace par $\vec{OM}=r\vec{u}_r$

1. On calcule d’abord le potentiel électrique $V(M)=V_P(M)+V_N(M)$

2. On fait l’approximation dipolaire $r\gg a$ et on fait le DL de $V(M)$

3. On en déduit $\vec{E}=-\vec{\mathrm{grad}} V$

Exemple.

Exprimer et justifier le champ électrique dipolaire.

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Méthode 2 : étudier les actions subies par un dipôle placé dans un champ extérieur.

1. Le moment des forces électriques que subit un dipôle de moment dipolaire $\vec{P}$ placé dans un champ électrique $\vec{E}$ est

$\mathcal{M}=\vec{P}\wedge\vec{E}$

2. Ces forces dérivent de l’énergie potentielle d’interaction

$Ep=-\vec{P}\cdot\vec{E}$

3. La conséquence qualitative se résume ainsi :

3.a. Le dipôle tend à s’orienter selon le champ électrique

3.b. Il tend ensuite à migrer vers les zones de champ fort.

Exemple.

Un dipôle électrique est placé à proximité d’une charge ponctuelle fixe négative $-Q$ placée en $O$ . Comment évolue-t-il ?

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Théorème de Gauss en prépa maths spé

Méthode 1 : Application du théorème de Gauss.

Méthode 2 : théorème de superposition

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Théorème de Gauss gravitationnel en prépa MP, PC, MPI, PT et PSI

Méthode : application du théorème de Gauss gravitationnel.

Exemple d’application du théorème de Gauss

Partie 3. Calcul de capacités

Méthode 1 : Calcul de la capacité d’un condensateur par méthode directe.

Méthode 2 : calcul de la capacité d’un condensateur par méthode énergétique.

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Cartes de champ et de potentiel en maths spé

Méthode : lire une carte de champ et de potentiel.

Exemple de carte de champ et potentiel

Dipôles électriques en prépa

Méthode 1 : calculer un champ dipolaire.

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