Cours en ligne Physique-Chimie en Maths Spé

Chapitres Physique-Chimie en MP, PSI, PC, MPI, TSI, PT

Cour sur la magnétostatique & induction MP, PC, PSI, MPI et PT

Il est crucial de réviser le cours sur le magnétostatique & induction en physique chimie lors de la première année en maths spé, en raison de son importance dans le programme. Vous allez aborder dans le cours de physique-chimie : Théorème d’Ampère, Propriétés topographiques de $\vec{B}$ ,Champ magnétique du solénoïde, Force de Laplace, Auto et mutuelle induction, Couplage électromécanique. Il est évident que la réussite aux concours est difficile sans une solide maîtrise de la physique. Si vous éprouvez des difficultés en physique chimie, il est recommandé de bénéficier d’un professeur de physique chimie pendant votre année de maths spé.

Théorème d’Ampère en prépa

Méthode 1 : application du théorème d’Ampère.

1. Les symétries et antisymétries de la distribution de courant permettent de déterminer la direction du champ magnétique. La règle de la main droite (ou du bonhomme d’Ampère) permet de déterminer en plus le sens de $\vec{B}$ .

2. Les invariances permettent de déterminer de quelle variable $\vec{B}$ dépend.

3. On dessine le circuit d’Ampère $\mathcal{C}$ en vert et on l’oriente. En quelques points bien choisis de ce circuit, on dessine $\vec{B}$ en rouge et $d\vec{\ell}$ en vert.

4. On applique le théorème d’Ampère

$\oint_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_0I_{\mathrm{enlac\acute{e}}}$

On en déduit $\vec{B}$

Exemple.

Le champ magnétique créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant $I$ dans la direction et le sens de $\vec{u}_z$ , à la distance $r$ de ce fil vaut

$\vec{B}=B(r)\vec{u}_{\theta}$

Déterminer $B(r)$

Méthode 2 : utiliser le théorème de superposition

Le champ $\vec{B}$ créé par la superposition de deux distributions de courants est la somme des champs magnétiques créés par chaque distribution si elle était seule. Cette propriété découle de la linéarité des équations de Maxwell.

Exemple.

Deux fils rectilignes infinis parallèles, $(A,z)$ et $(B,z)$ , avec $\vec{AB}\cdot \vec{u}_z=0$ , distants de $2D$ , sont parcourus par des courants de même intensité $I$ .

Quel est le champ magnétique en $O$ , milieu de $[AB]$ si les courants sont dans le même sens ? s’ils sont dans des sens opposés ?

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Propriétés topographiques de $\vec{B}$

Méthode : analyser une carte de champ magnétique.

1. Une ligne de champ a pour tangente $\vec{B}$ en tout point.

2. Le champ $\vec{B}$ sort de la face nord, entre dans la face sud d’un aimant.

3. $\vec{B}$ étant à flux conservatif (corollaire de div $\vec{B}$ =0), le long d’un tube de champ magnétique, plus sa section est étroite, plus le champ $\vec{B}$ est fort.

Exemple d’analyse de carte de champ magnétique

Voici l’allure des lignes de champ pour un aimant droit. Où le champ est-il le plus fort ?

Champ magnétique du solénoïde en maths spé

Méthode : savoir démontrer et connaître l’expression de $\vec{B}$ créé par un solénoïde.

1. On << néglige les effets de bord >>, c’est-à-dire qu’on calcule le champ comme si le solénoïde était infiniment long.

2. On admet que le champ magnétique est nul à l’extérieur du solénoïde.

3. Soit $M$ un point à l’intérieur du solénoïde, à la distance $r$ de l’axe $(O,z)$ Le plan passant par $M$ et orthogonal à $z$ est plan de symétrie des courants donc

$\vec{B}=B(r,\theta,z)\vec{u}_z$

4. Il y a invariance par rotation d’angle $\theta$ et translation selon $\vec{u}_z$ donc

$\vec{B}=B(r)\vec{u}_z$

5. Le circuit d’Ampère est un rectangle de longueur $h$ arbitraire sortant du solénoïde.

6. En notant $i$ l’intensité parcourant le solénoïde et $n$ le nombre de spires par mètre, il y a $nh$ spires enlacées donc le théorème d’Ampère donne

$B\cdot h+0+0+0=\mu_0ni$

donc $\vec{B}=\mu_0ni\vec{u}_z$

Exemple.de champ magnétique de solénoïde

Le fil utilisé pour faire le bobinage a pour diamètre $d$ . Quel est le champ magnétique créé par un courant $i$ ?

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Force de Laplace en prépa MP, MPI, PC, PSI et PT

Méthode 1 : force de Laplace à $\vec{B}$ uniforme et tige rectiligne.

Notons que le programme est formel : seul ce cas doit, théoriquement, être traité. Dans les faits, les suivants sont souvent rencontrés.

1. On oriente le vecteur $\vec{\ell}$ le long de la tige et dans le sens du courant $i$ .

2. La force de Laplace (attention à ne pas confondre avec la force de Lorentz) vaut

$\vec{F}_L=i\vec{\ell}\wedge\vec{B}$

Exemple.

Une tige de longueur $D$ , parcourue par $i$ , est placée parallèlement à un fil rectiligne infini parcouru par $I$ , dans le même sens que $i$ distant de $D$ .

Quelle est la force de Laplace subie par la tige ?

Méthode 2 : calcul intégral des forces de Laplace réparties.

Si $\vec{B}$ n’est pas uniforme, si la tige n’est pas rectiligne

$vec{F}_L=\int_{\mathrm{tige~orient\acute{e}e}}id\vec{\ell}\wedge\vec{B}$

Exemple.

Une tige de longueur $D$ , parcourue par $i$ , est placée orthogonalement à un fil rectiligne infini parcouru par $I$ , de façon coplanaire, les extrémités de la tige sont $A$ à la distance $D$ et $B$ à la distance $2D$ du fil.

Quelle est la force de Laplace subie par la tige ?

Auto et mutuelle induction en prépa

Méthode 1 : calcul direct d’une inductance propre

1. On définit l’intensité $i$ circulant dans le circuit. Son sens oriente le circuit. On calcule $\vec{B}$ grâce au théorème d’Ampère.

2. On calcule le flux propre $\Phi$ de ce champ magnétique créé par le circuit à travers lui-même.

3. On écrit $\Phi=Li$ et on en déduit

$\displaystyle{L=\frac{\Phi}{i}}$

4. La loi de Faraday donne en convention générateur

$\displaystyle{e=-\frac{d\Phi}{dt}=-L\frac{di}{dt}}$

Exemple.

Un solénoïde comporte $N$ spires, a une longueur $D$ et un rayon $b$ .

Quelle est son inductance propre $L$ ?

Méthode 2 : calcul d’une inductance propre par méthode énergétique.

1. On définit l’intensité $i$ circulant dans le circuit. Son sens oriente le circuit. On calcule $\vec{B}$ grâce au théorème d’Ampère.

2. On calcule l’énergie magnétique

$\displaystyle{U_m=\iiint\frac{B^2}{2\mu_0}d\tau}$

3. On identifie cette énergie à l’énergie électrocinétique

$\displaystyle{U_m =\frac12Li^2}$

On en déduit $L$

Exemple.

Un solénoïde comporte $N$ spires, a une longueur $D$ et un rayon $b$ .

Quelle est son énergie magnétique quand il est parcouru par $i$ ?

Méthode 3 : calcul d’une mutuelle-inductance.

1. On définit $i_1$ l’intensité du courant dans le bobinage 1, $i_2$ dans le 2. On détermine les champs $\vec{B}_1$ et $\vec{B}_2$ par application du théorème d’Ampère.

2. On calcule, au choix

* le flux $\Phi_{1,2}$ de $\vec{B}_1$ à travers le bobinage 2

* ou le flux $\Phi_{2,1}$ de $\vec{B}_2$ à travers le bobinage 1

3. On écrit $\Phi_{1,2}=Mi_1$ ou $\Phi_{2,1}=Mi_2$ et on en déduit la mutuelle inductance $M$ (l’égalité des expressions obtenue par l’une ou l’autre méthode est le théorème de Neumann).

Exemple.

Un solénoÏde comportant $N$ spires est emboîté dans un autre solénoïde comportant $2N$ spires, ils on même rayon $b$ et même longueur $D$ .

Quelle est la mutuelle inductance $M$ ?

Méthode 4 : étude d’un circuit couplé par inductance mutuelle.

1. En notant $u_1$ la tension aux bornes de la bobine 1 parcourue par $i_1$ et $u_2$ celle aux bornes de la bobine 2 parcourue par $i_2$ , les lois électriques sont

$\displaystyle{\left\{\begin{array}{l}u_1=L_1\frac{di_1}{dt}+M\frac{di_2}{dt} \\ u_2=M\frac{di_1}{dt}+L_2\frac{di_2}{dt} \end{array}\right.}$

2. En multipliant la première équation par $i_1$ et la seconde par $i_2$ , on voit apparaître les énergies

$\displaystyle{\mathcal{E}_1=\frac12L_1i_1^2}$

$\displaystyle{\mathcal{E}_2=\frac12L_2i_2^2}$

et l’énergie de couplage

$\displaystyle{\mathcal{E}_{1,2}=Mi_1i_2}$

Exemple.

On alimente la bobine 1 avec un générateur de tension $E$ de résistance interne $r$ , on ferme la bobine 2 sur un résistor $r$ .

Quel est le système d’équations vérifiées par $(i_1,i_2)$ ?

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Couplage électromécanique

Méthode : étude d’un système électromécanique.

L’exemple typique est l’étude de la tige sur les rails de Laplace.

1. On définit qualitativement la généalogie des phénomènes : quelle est l’origine du phénomène (force, mouvement, générateur, etc.), puis la chaîne des conséquences par aspect mécanique, électrique, induction, force de Laplace, etc.

2. On flèche le circuit et on définit des axes.

3. On écrit l’équation mécanique sans oublier la force de Laplace.

4. On dessine le circuit électrique équivalent, sans oublier la fém d’induction.

5. Deux alternatives sont possibles.

5.a. On résout le système dont les inconnues sont en général l’intensité $i(t)$ et la position du rail de Laplace $x(t)$

5.b. En multipliant l’équation électrique par $i$ et l’équation mécanique par la vitesse, on obtient deux équations homogènes à des puissances. On met en exergue, on nomme et on interprète les différents termes, et on veille à vérifier une loi importante, qui traduit le couplage électromécanique : la puissance de la force de Laplace est exactement opposée à la puissance d’induction.

Exemple de système électro mécanique

Un rail de Laplace de longueur $D$ et de masse $m$ se déplace en translation ( $x(t)$ ) sans frottement sur des rails horizontaux parallèles plongés dans un champ magnétique vertical $\vec{B}=B\vec{u}_z$ . Le circuit comporte un générateur $E$ , la résistance de la tige est $r$ .

Quel est le système vérifié par $(i(t),x(t))$ ?

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Méthode 2 : utiliser le théorème de superposition

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Propriétés topographiques de $\vec{B}$

Méthode : analyser une carte de champ magnétique.

Exemple d’analyse de carte de champ magnétique

Champ magnétique du solénoïde en maths spé

Méthode : savoir démontrer et connaître l’expression de $\vec{B}$ créé par un solénoïde.

Exemple.de champ magnétique de solénoïde

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Force de Laplace en prépa MP, MPI, PC, PSI et PT

Méthode 1 : force de Laplace à $\vec{B}$ uniforme et tige rectiligne.

Méthode 2 : calcul intégral des forces de Laplace réparties.

Auto et mutuelle induction en prépa

Méthode 1 : calcul direct d’une inductance propre

Méthode 2 : calcul d’une inductance propre par méthode énergétique.

Méthode 3 : calcul d’une mutuelle-inductance.

Méthode 4 : étude d’un circuit couplé par inductance mutuelle.

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Couplage électromécanique

Méthode : étude d’un système électromécanique.

Exemple de système électro mécanique

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