Chapitres Maths en ECG1

Exercices : Matrices en ECG1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Exercices – Matrices

Exercice 1 :

Soit $A= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$ Calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}.$

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Exercice 2 :

Soit $A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 6 & -5 & 6 \\ 3 & -3 & 4 \end{pmatrix}.$

1) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N},$ il existe $a_n \in \mathbb{R}$ tel que $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2a_n & 1 - 2 a_n & 2 a_n \\ a_n & - a_n & a_n + 1 \end{pmatrix}.$

2) Montrer que la suite $\left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est arithmético-géométrique. En déduire l’expression de $a_n$ puis celle de $A^n$ pour $n \in \mathbb{N} .$

Exercice 3 :

Une matrice $A \in \mathcal M_n \left( \mathbb{R} \right)$ est dite nilpotente s’il existe $k\in \mathbb{N}$ tel que $A^k = 0.$ Dans tout le reste de l’exercice, on se donne $A \in \mathcal M_n \left( \mathbb{R} \right)$ une matrice nilpotente.

1) Montrer qu’il existe $m \in \mathbb{N}^*$ tel que $A^{m - 1} \neq 0$ et $A^{m }=0.$ Cet entier $m$ s’appelle l’indice de nilpotence de $A.$

2) Montrer que $A$ n’est pas inversible.

3) Montrer que pour tout entier naturel $p,$ on a $A^p - I_n = \left( A - I_n \right) \displaystyle\sum_{k=0}^{p - 1} A^k.$ En déduire que $I_n - A$ est inversible et calculer son inverse.

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Exercice 4 :

1) Dire si les matrices suivantes sont inversibles, le cas échéant, calculer l’inverse de :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \, B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \,$ $C=\begin{pmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$

2) Montrer que les matrices suivantes ne sont pas inversibles :

$D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \,$

$E = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ - 2 & - 2 & -4 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.$

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