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Cours : Variables aléatoires discrètes en ECG1

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Résumé de cours et méthodes – Variables aléatoires discrètes

Méthode 1 : Donner la loi d’une variable aléatoire discrète.

Soit $\left( \Omega, \mathcal A , \mathrm{P} \right)$ un espace probabilisé.

1) Une variable aléatoire discrète sur $\left( \Omega, \mathcal A, \mathrm{P} \right)$ est une application $X$ de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ telle que $X \left( \Omega \right)$ est fini ou dénombrable et telle que pour tout $x \in X \left( \Omega \right),$ $\left( X = x \right) \in \mathcal A.$

Il est fondamental de retenir que si $X$ est une variable aléatoire discrète sur $\left( \Omega , \mathcal A , \mathrm{P} \right),$ la famille $\left( \left( X = x \right) \right)_{x \in X \left( \Omega \right)}$ est un système complet d’év\’nements.

2) Soit $X$ une variable aléatoire discrète. Donner la loi de $X,$ c’est donner :

$\bullet$ les valeurs prises par $X$ : l’ensemble $X \left( \Omega \right),$

$\bullet$ pour $x \in X \left( \Omega \right),$ la valeur $\mathrm{P} \left( X = x \right).$

En particulier, on a :

$\bullet$ si $X \left( \Omega \right)$ est fini, $\displaystyle\sum_{x \in X \left( \Omega \right) } \mathrm{P} \left( X = x \right) = 1,$

$\bullet$ si $X \left( \Omega \right)$ est une partie dénombrable, la série de terme général $\mathrm{P} \left( X = x \right)$ converge et $\displaystyle\sum_{x \in X \left( \Omega \right)} \mathrm{P} \left( X = x \right) =1.$

3) Vérifier que l’on a défini la loi d’une variable aléatoire discrète non finie, c’est s’assurer que

$\bullet$ l’on a précisé l’ensemble dénombrable $X \left( \Omega \right)$

$\bullet$ l’on a donné pour tout $x \in X \left( \Omega \right),$ la valeur de $\mathrm{P} \left( X = x \right)$ et montré que $\displaystyle\sum_{x \in X \left( \Omega \right)} \mathrm{P} \left( X = x \right) = 1.$

Exemple : Un sauteur en hauteur tente de franchir les hauteurs successives $1, 2, 3, \cdots , n, \cdots$ Le sauteur est éliminé à son premier échec. On suppose que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*,$ la probabilité de succès à la hauteur $n$ est $\dfrac1n.$ On note $X$ la variable aléatoire égale au numéro du dernier saut réussi.

Donner la loi de $X.$

Réponse :

On a $X \left( \Omega \right) = \mathbb{N}^*.$ En effet, le sauteur peut sauter un nombre arbitrairement élevé de barres. Pour $n \in \mathbb{N}^*,$ calculons $\mathrm{P} \left( X =n \right).$

On note

$R_k$ : « le sauteur franchit la hauteur

$k$ » et

$E_k = \overline{R_k}.$

$\left( X= n \right)$ signifie que le sauteur a réussi les

$n - 1$ premiers sauts et qu’il rate le

$n$ -ième, ainsi

$\mathrm{P} \left( X= n \right)$

$= \mathrm{P} \left( R_1 \cap \cdots \cap R_{n - 1} \cap E_n \right).$

En utilisant la formule des probabilités composées :

$\mathrm{P} \left( X= n \right)$

$= \mathrm{P} \left( R_1 \right) \times \mathrm{P}_{R_1} \left( R_2 \right)$

$\times \cdots \times \mathrm{P}_{R_1 \cap \cdots \cap R_{n - 2}} \left( R_{n - 1} \right)$

$\times \mathrm{P}_{R_1 \cap \cdots \cap R_{n - 1}} \left( E_n \right).$
Ainsi

$\mathrm{P} \left( X= n \right)$

$= 1 \times \dfrac12 \times \dfrac13 \times \cdots \times \dfrac{1}{n - 1} \times \left( 1 - \dfrac1n \right)$

$= \dfrac{1}{\left( n - 1 \right)!} \left( 1 - \dfrac1n \right)$

$= \dfrac{n - 1}{n!}.</div> <div> </div> <div style="text-align: justify">Si vous avez l'ambition de développer vos compétences en mathématiques, nous proposons des <a href="https://groupe-reussite.fr/cours-particuliers/maths/tous-niveaux/paris/)">cours de maths à Paris</a> spécialement conçus pour les élèves en ECG1</div> <div> </div> <div style="text-align: justify">[elementor-template id="184597"]</div> <div> </div> <b>Méthode 2 : Calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète.</b> Pour les <a href="https://groupe-reussite.fr/ressources/cours-en-ligne-variables-aleatoires-finies-ecs1/">variables aléatoires finies</a>, on se rapportera à la <b>méthode 3</b> du chapitre associé :$ X

$admet une espérance. On se place maintenant dans le cas où$ X

$est une variable aléatoire discrète sur$ \left( \Omega , \mathcal A , \mathrm{P} \right)

$.$ X

$admet une espérance si, et seulement si, la série de terme général$ x \mathrm{P} \left( X = x \right)

$est absolument convergente, et on définit l'espérance de$ X

$par$ \mathbb{E} \left( X \right)= \displaystyle\sum_{x \in X \left( \Omega \right)} x \mathrm{P} \left( X = x \right).

$<i>Remarque :</i> La linéarité de l'espérance vue au chapitre$ 7

$est encore valable : si$ X

$et$ Y

$sont des variables aléatoires discrètes définies sur$ \left( \Omega, \mathcal A, \mathrm{P} \right)

$admettant une espérance et si$ a

$et$ b

$sont des réels,$ a X + bY

$est une variable aléatoire sur$ \left( \Omega, \mathcal A, \mathrm{P} \right)

$admettant une espérance et$ \mathbb{E} \left( a X + b Y \right)= a \mathbb{E} \left( X \right) + b \mathbb{E} \left( Y \right).

$En particulier,$ \mathbb{E} \left( a X + b \right)= a \mathbb{E} \left( X \right) + b.

$Il est indispensable de parfaitement connaître les <a href="https://groupe-reussite.fr/ressources/cours-en-ligne-series-numeriques-ecs1/">séries usuelles</a>. <b>Exemple :</b>Soit$ p \in \left] 0 , 1 \right[

$et soit$ X

$une variable aléatoire à valeurs dans$ \mathbb{N}

$telle que$ \mathrm{P} \left( X = n \right)= \left( 1 – p \right) p^n.

$<b> a)</b> Vérifier que l'on a défini la loi d'une variable aléatoire$ X.

$<b> b)</b> Montrer que$ X

$admet une espérance et la calculer. <strong>Réponse</strong> : <strong>a)</strong> On remarque que pour tout$ n \in \mathbb{N},\mathrm{P} \left( X = n \right) \ge 0.

$De plus, la série de terme général$ \left( 1 – p \right) p^n

$converge car c'est une série géométrique à une constante multiplicative près et <div style="text-align: justify">$ \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathrm{P} \left( X = n \right)= \left( 1- p \right) \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} p^n= \left( 1- p \right) \times \dfrac{1}{1 – p}= 1.

$On a bien défini la loi d'une variable aléatoire$ X.

$</div> <div style="text-align: justify"> </div> <div style="text-align: justify"><strong>b)</strong> <span style="font-size: inherit">La série de terme général$ \left( 1- p \right) n p^n

$converge absolument car c'est une série géométrique dérivée d'ordre$ 1

$à une constante multiplicative près, donc$ X

$admet une espérance et :</span> <div> </div> <div>$ \mathbb{E} \left( X \right)= \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} n \mathrm{P} \left( X = n \right) = \left( 1- p \right) \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} n p^n = \left( 1 – p \right) \displaystyle\sum_{n= 1}^{+ \infty} n p^n = p \left( 1 – p \right) \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} n p^{n – 1} \underset{\text{somme de reference}}{=} p \left( 1 – p \right) \times \dfrac{1}{\left( 1 – p \right)^2} = \dfrac{p}{1 – p}

$.</div> <div> </div> <div> <b>Méthode 3 : Utiliser le théorème du transfert.</b> <b>1)</b> On admet que si$ X

$est une variable aléatoire discrète sur$ \left( \Omega, \mathcal A , \mathrm{P} \right)

$et si$ g

$est une <a href="https://groupe-reussite.fr/ressources/cours-en-ligne-fonctions-variables-reelles-ecs1/">fonction</a> de$ X \left( \Omega \right)

$dans$ \mathbb{R},g \left( X \right)

$est une variable aléatoire discrète sur$ \left( \Omega, \mathcal A , \mathrm{P} \right).

$<b>2) </b>énoncé du théorème de transfert On se place maintenant dans le cas où$ X

$est une variable aléatoire discrète sur$ \left( \Omega, \mathcal A , \mathrm{P} \right).

$Soit$ g

$une fonction de$ X \left( \Omega \right)

$dans$ \mathbb{R},g \left( X \right)

$admet une espérance si, et seulement si, la série de terme général$ g \left( x \right) \mathrm{P} \left( X = x \right)

$converge absolument, et dans ce cas$ \mathbb{E} \left( g \left( X \right) \right)= \displaystyle\sum_{x \in X \left( \Omega \right)} g \left( x \right) \mathrm{P} \left( X = x \right).

$En conséquence si$ X

$admet une espérance et si l'on se donne$ a

$et$ b

$deux réels,$ aX + b

$admet une espérance et$ \mathbb{E} \left( a X + b \right) = a \mathbb{E} \left( X \right) + b.

$<b>Exemple :</b> Soit$ X

$une variable aléatoire à valeurs dans$ \mathbb{N}

$telle que si$ n \in \mathbb{N},

$\text{[math]}$ \mathrm{P} \left( X =n \right)= e^{- \lambda} \dfrac{\lambda^n}{n!}

$où$ \lambda > 0.

$Montrer que la variable aléatoire$ Y = \dfrac{1}{X + 1}

$admet une espérance et la calculer. <strong>Réponse</strong> : Posons$ g \left( x \right) = \dfrac{1}{x + 1},g

$est définie sur$ \mathbb{N}.

$Pour montrer que$ Y

$admet une espérance, montrons que la série de terme général$ g \left( k \right) \mathrm{P} \left( X = k \right)

$converge absolument. Il suffit de remarquer que$ 0 \le g \left( k \right) \mathrm{P} \left( X = k \right)\le \mathrm{P} \left( X = k \right)

$et d'utiliser la convergence de la série de terme général$ \mathrm{P} \left( X = k \right),

$pour affirmer la <a href="https://groupe-reussite.fr/ressources/cours-en-ligne-convergences-approximations-ecs1/">convergence</a> absolue de la série de terme général$ g \left( k \right) \mathrm{P} \left( X = k \right).

$Par application du théorème du transfert :$ \mathbb{E} \left( Y \right)= \displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty} g \left( k \right) \mathrm{P} \left( X = k \right) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{k + 1} e^{- \lambda} \dfrac{\lambda^k}{k!} = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \left( e^{-\lambda} \dfrac{\lambda^k}{\left( k + 1 \right)!} \right)

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
 

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

= \dfrac{e^{- \lambda}}{\lambda} \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{\lambda^{k + 1}}{\left( k + 1 \right)!} = \dfrac{e^{- \lambda}}{\lambda} \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\lambda^{k }}{k!} = \dfrac{e^{- \lambda}}{\lambda} \left( e^{\lambda} – 1 \right)

$. <b>Méthode 4 : Savoir calculer un moment d'ordre$ r

$et la variance d'une variable aléatoire discrète.</b> On suppose ici que$ X

$est une variable aléatoire discrète sur$ \left( \Omega, \mathcal A, \mathrm{P} \right)

$et que$ X \left( \Omega \right)

$est infini. <b>1)</b> Si$ r \in \mathbb{N}^*,

$on dit que$ X

$admet un moment d'ordre$ r

$lorsque$ X^r

$admet une espérance ce qui revient à dire que la série de terme général$ x^r \mathrm{P} \left( X = x \right)

$converge absolument et dans ce cas$ m_r \left( X \right)= \mathbb{E} \left( X^r \right)= \displaystyle\sum_{x \in X \left( \Omega \right)} x^r \mathrm{P} \left( X = x \right).

$Si$ X

$admet un moment d'ordre$ r,X

$admet un moment d'ordre$ s

$pour tout$ s \in [\![ 1, r ]\!].

$<b>2)</b> Lorsque$ X

$admet un moment d'ordre$ 2

$(soit si$ X^2

$admet une espérance),$ X

$admet une espérance et on définit la variance de$ X

$par$ V \left( X \right) = \mathbb{E} \left( \left( X – \mathbb{E} \left( X \right) \right)^2 \right).

$Comme$ V \left( X \right) \ge 0,

$on définit l'écart-type de$ X

$par$ \sqrt{V \left( X \right)}.

$La formule de König-Huygens reste valable :$ V \left( X \right) = \mathbb{E} \left( X^2 \right)- \left( \mathbb{E} \left( X \right) \right)^2.

$<b>3)</b> Si$ X

$admet une variance et si$ a, b \in \mathbb{R},

$alors$ a X + b

$admet une variance et$ V \left( a X + b \right)= a^2 V \left( X \right).

$<b>4)</b>$ X

$admet une variance nulle si, et seulement si,$ \mathrm{P} \left( X = \mathbb{E} \left( X \right) \right)= 1,

$on dit que la variable aléatoire$ X

$est presque sûrement constante. [elementor-template id="186409"] <b>Méthode 5 : Donner la loi d'un couple de variables aléatoires discrètes.</b> <b>1)</b> Soient$ X

$et$ Y

$deux variables aléatoires discrètes. Donner la loi du couple$ \left( X, Y \right),

$c'est :$ \bullet

$donner les ensembles$ X \left( \Omega \right)

$et$ Y \left( \Omega \right),

$\text{[math]}$ \bullet

$pour$ \left( x , y \right) \in X \left( \Omega \right) \times Y \left( \Omega \right),

$calculer$ \mathrm{P} \left( \left( X = x \right) \cap \left( Y = y \right) \right).

$<b>2)</b> Si l'on connaît la loi du couple$ \left( X, Y \right),

$on en déduit les lois marginales : pour tout$ x \in X \left( \Omega \right),\mathrm{P} \left( X = x \right)= \displaystyle\sum_{y \in Y \left( \Omega \right)} \mathrm{P} \left( \left( X = x \right) \cap \left( Y= y\right) \right)

$pour tout$ y \in Y \left( \Omega \right),\mathrm{P} \left( Y = y \right)= \displaystyle\sum_{x \in X \left( \Omega \right)} \mathrm{P} \left( \left( X = x \right) \cap \left( Y= y \right) \right).

$<b>3)</b> On dit que deux variables aléatoires sont indépendantes si pour tout$ \left( x , y \right) \in X \left( \Omega \right) \times Y \left( \Omega \right),

$\text{[math]}$ \mathrm{P} \left( \left( X = x \right) \cap \left( Y = y \right) \right)= \mathrm{P} \left( X = x \right) \mathrm{P} \left( Y = y \right).

$Dans ce cas, pour tout$ x , y \in \mathbb{R},

$les événements$ \left( X \le x \right)

$et$ \left( Y \le y \right)

$sont indépendants. <b>4)</b> Si$ X

$et$ Y

$sont deux variables aléatoires discrètes indépendantes admettant chacune une variance, alors la variable aléatoire$ X + Y

$est une variable aléatoire discrète ayant une variance et$ V \left( X + Y \right)= V \left( X \right) + V \left( Y \right).

$<b>5) </b>Si$ X

$et$ Y

$sont deux variables aléatoires discrètes indépendantes admettant chacune une espérance, alors la variable aléatoire$ X Y

$est une variable aléatoire discrète ayant une espérance et$ \mathbb{E} \left( X Y \right)= \mathbb{E} \left( X \right) \mathbb{E} \left( Y \right).

$<b>Méthode 6 : Savoir calculer la fonction de répartition d'une variable aléatoire à valeurs dans$ \mathbb{N}.

$</b> Si$ X

$est une variable aléatoire sur$ \left( \Omega, \mathcal A , \mathrm{P} \right)

$à valeurs dans$ \mathbb{N},

$pour tout réel$ t,\left( X \le t \right) \in \mathcal A,

$la fonction de répartition de$ X

$est définie sur$ \mathbb{R}

$par$ F_X \left( t \right)= \mathrm{P} \left( X \le t \right).

$La fonction de répartition de$ X

$vérifie les propriétés suivantes :$ \bulletF_X

$est croissante sur$ \mathbb{R},

$\text{[math]}$ \bullet\lim_{x \to – \infty} F_X \left( x \right) = 0

$et$ \lim_{x \to + \infty} F_X \left( x \right) = 1,

$\text{[math]}$ \bulletF_X

$est continue à droite en tout point$ t

$et admet une limite à gauche en$ t

$ègale à$ \mathrm{P} \left( X < t \right),

$elle est continue en tout$ t

$tel que$ \mathrm{P} \left( X = t \right)= 0.

$\text{[math]}$ \bullet

$Pour tout$ n \in \mathbb{N}^*,\mathrm{P} \left( X = n \right)= F_X \left( n \right) – F_X \left( n – 1 \right)

$et$ \mathrm{P} \left( X = 0 \right)= F_X \left( 0 \right).

$\text{[math]}$ \bulletF_X

$caractérise la loi, c'est-à-dire que deux variables aléatoires$ X

$et$ Y

$suivent la même loi si et seulement si$ F_X = F_Y.

$<b>Exemple </b>: On rappelle que$ \lfloor x \rfloor

$est l'unique entier tel que$ \lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1.

$Montrer que la fonction$ F

$définie par$ F \left( x \right) = \begin{cases} = 0 & \text{si} \; x < 0 \\ \dfrac{\lfloor x \rfloor}{\lfloor x \rfloor + 1} & \text{si} \; x \ge 0 \end{cases}

$est la fonction de répartition d'une variable aléatoire$ X

$telle que$ X \left( \Omega \right) = \mathbb{N}^*.

$\text{[math]}$ X

$admet-elle une espérance ? <strong>Réponse</strong> : On raisonne par analyse-synthèse <div><i>Analyse :</i></div> <div> </div> <div>S'il existe une variable aléatoire$ X

$telle que$ X \left( \Omega \right) = \mathbb{N}^*

$de fonction de répartition égale à$ F,

$alors pour tout$ n \in \mathbb{N},\mathrm{P} \left( X \le n \right)= F \left( n \right)= \dfrac{n}{n + 1}.

$</div> <div> </div> <div>En utilisant si$ n \in \mathbb{N}^*,\left( X \le n \right)= \left( X =n \right) \cup \left( X \le n – 1 \right)

$et$ \mathrm{P} \left( X \le n \right)= \mathrm{P} \left( X =n \right) + \mathrm{P} \left( X \le n – 1 \right)\mathrm{P} \left( X = n \right)= \mathrm{P} \left( X \le n \right) – \mathrm{P} \left( X \le n – 1 \right)= \dfrac{n}{n + 1} – \dfrac{n – 1}{n}= \dfrac{1}{n \left( n + 1 \right)}.

$</div> <div><i> </i></div> <div><i>Synthèse :</i></div> <div> </div> <div>Les conditions$ X \left( \Omega \right) = \mathbb{N}^*

$et si$ n \in \mathbb{N}^*,\mathrm{P} \left( X = n \right)= \dfrac{1}{n \left( n + 1 \right)}

$définissent la loi d'une variable aléatoire car la série de terme général$ \dfrac{1}{n \left( n + 1 \right)} \underset{n \to + \infty}{\sim} \dfrac{1}{n^2}

$est convergente et$ \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k \left( k + 1 \right)}= \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( \dfrac{1}{k} – \dfrac{1}{k + 1} \right)= 1 – \dfrac{1}{n + 1}

$par télescopage.</div> <div> </div> <div>Donc si$ n

$tend vers$ + \infty

$:$ \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{1}{n \left( n + 1 \right)}= 1.

$</div> <div> </div> <div>On définit maintenant la fonction de répartition de$ X.

$</div> <div> </div> <div>Si$ x < 1,\mathrm{P} \left( X \le x \right)= \mathrm{P} \left( \emptyset \right) = 0.

$</div> <div> </div> <div>Si$ x \ge 1,

$on note$ n = \lfloor x \rfloor,

$alors$ \mathrm{P} \left( X \le x \right)= \mathrm{P} \left( X \le n \right)= \displaystyle\sum_{k=1}^n \mathrm{P} \left( X= k \right)= \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k \left( k + 1 \right)}.

$Grâce au calcul précédent,$ F \left( x \right)= \dfrac{n}{n + 1}= \dfrac{\lfloor x \rfloor}{\lfloor x \rfloor + 1},

$la formule reste vraie pour$ x \in \left[ 0 , 1 \right[.

$</div> <div> </div> <div>$ F

$est bien la fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète.</div> <div> </div> <div>La série de terme général$ n \mathrm{P} \left( X = n \right)= \dfrac{1}{n + 1}

$est divergente, donc$ X

$n'a pas d'espérance.</div> <b>Méthode 7 : Méthode 7 : Reconnaître une loi géométrique.</b> On obtient une variable aléatoire de loi géométrique dans la situation suivante. On effectue une <a href="https://groupe-reussite.fr/ressources/cours-en-ligne-suites-reelles-ecs1/">suite</a> d'épreuves indépendantes ayant deux issues possibles : le "succès" de probabilité$ p

$et l'échec de probabilité$ q = 1 – p.

$On démontre que la probabilité de ne jamais avoir un succès est nulle. On note$ X

$le rang du premier succès,$ X

$est une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre$ p.

$<div> </div> <div><b style="font-size: inherit">Exemple </b><span style="font-size: inherit">:</span></div> <div> </div> <div> Deux joueurs$ A

$et$ B

$lancent chacun une pièce donnant Pile est$ \dfrac13

$jusqu'à l'obtention d'un Pile. On note$ X_A

$(respectivement$ X_B

$) le nombre de lancers nécessaires au joueur$ A

$(respectivement au joueur$ B

$). <b>1)</b> Donner les lois de$ X_A

$et$ X_B

$ainsi que leur espérance et leur variance. <b>2) </b>Calculer$ \mathrm{P} \left( X_A = X_B \right).

$<strong>Réponse</strong> : <strong>1)</strong> Le joueur$ A

$effectue une série d'épreuves indépendantes, ayant deux issues possibles. On s'intéresse au premier succès,$ X_A

$suit dont une loi géométrique de paramètre$ \dfrac13.

$Il en va de même pour le joueur$ B.

$<div>On a donc$ \mathbb{E} \left( X_A \right)= \mathbb{E} \left( X_B \right) = 3

$et$ V \left( X_A \right)= V \left( X_B \right) = 6.

$</div> <div> </div> <div><strong>2)</strong> <span style="font-size: inherit">On écrit$ \left( X_A = X_B \right)= \displaystyle\bigcup_{n=1}^{+ \infty} \left( X_A = n \cup X_B = n \right).

$</span> <div> </div> <div>Les événements étant deux à deux incompatibles,</div> <div> </div> <div>$ \mathrm{P} \left( X_A = X_B \right)= \mathrm{P} \left( \displaystyle\bigcup_{n=1}^{+ \infty} \left( X_A = n \cup X_B = n \right) \right)= \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \mathrm{P} \left( X_A = n \cap X_B = n \right).

$Comme$ X_A

$et$ X_B

$sont indépendantes, on a</div> <div> </div> <div>$ \mathrm{P} \left( X_A = X_B \right)= \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \mathrm{P} \left( X_A = n \right) \mathrm{P} \left( X_B = n \right),

$puis</div> <div> </div> <div style="text-align: justify">$ \mathrm{P} \left( X_A = X_B \right)= \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \left( \left( \dfrac23 \right)^{n – 1} \times \dfrac13 \right)^2 = \dfrac19 \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \left( \dfrac49 \right)^{n – 1} = \dfrac19 \times \dfrac{1}{1 – \dfrac49} = \dfrac15$.

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Résumé de cours et méthodes – Variables aléatoires discrètes

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