Chapitres Maths en ECG1

Cours : Formules de Taylor et développements limités en ECG 1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

1. Savoir utiliser les relations de comparaison en prepa HEC ECG

Méthode 1 : La relation de négligeabilité.

$\bullet$ Pour les suites : Soient $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ et $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites.

Si vous rencontrez des problèmes en mathématiques, nos cours particuliers de maths visent spécifiquement à assister les élèves en ECG1 dans leur démarche pour exceller en maths.

On suppose que la suite $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ ne s’annule pas à partir d’un certain rang. Pour montrer que $u_n \underset{n \to + \infty}{=} o \left( v_n \right),$ on montre que $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 0.$

$\bullet$ Pour les fonctions : Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un voisinage de $a$ ( $a \in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\}$ ). On suppose que la fonction $g$ ne s’annule pas au voisinage de $a$ (sauf éventuellement en $a$ lorsque $a$ est réel). Pour montrer que $f \left( x \right) \underset{x \to a}{=} o \left( g \left( x \right) \right),$ on montre que $\lim_{x \to a} \dfrac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = 0.$

Cas particuliers : on peut traduire les résultats sur les puissances comparées avec la notation « $o$ » : pour tout réel $\alpha$ et pour tout $\beta > 0,$

$\ln^{\alpha } \left( x \right) \underset{x \to +\infty}{=} o \left( x^{\beta} \right), x^{\alpha} \underset{x \to +\infty}{=} o$

$\left( e^{\beta x} \right) \; \text{et} \; {\alpha}^n \underset{n \to +\infty}{=} o \left( n! \right) .$

Piège : Pour les fonctions, il faut bien indiquer le point en lequel on travaille, ici $a.$ En effet, on peut très bien avoir

$f \left( x \right) \underset{x \to a}{=} o \left( g \left( x \right) \right)$ et $g \left( x \right) \underset{x \to b}{=} o \left( f \left( x \right) \right),$ ainsi si l’on omet de mettre le point, il peut y avoir des ambiguïtés.

Par contre, pour les suites, il n’y a pas d’ambiguïté car les limites se considèrent uniquement lorsque $n$ tend vers $+\infty.$

Exemple : Montrer les relations de négligeabilité suivantes :

1) $n^2 + n + 1 \underset{n \to +\infty}{=} o \left( n^4 \right),$

2) $\cos \left( x \right) - 1 \underset{x \to 0}{=} o \left( x \right).$

Réponse :

1) Le quotient $\dfrac{n^2 + n + 1}{n^4}$ donne :

$\dfrac{n^2 + n + 1}{n^4} = \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{1}{n^3} + \dfrac{1}{n^4}.$

Ainsi

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 + n + 1}{n^4}$ $= \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{1}{n^3} + \dfrac{1}{n^4} \right) = 0.$

D’où $n^2 + n + 1 \underset{n \to + \infty}{=} o \left( n^4 \right).$

2) On a $\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos \left( x \right) - 1}{x} = \cos' \left( 0 \right) = - \sin \left( 0 \right) = 0$ (c’est un taux d’accroissement).

D’où $\cos \left( x \right) - 1 \underset{x \to 0}{=} o \left( x \right).$

Méthode 2 : La relation d’équivalence.

$\bullet$ Pour les suites : Soient $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ et $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites.

Pour montrer que $u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n ,$ on montre qu’il existe une suite $\left( w_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ de limite $1$ et telle que $u_n = v_n w_n.$ Lorsque la suite $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ ne s’annule pas à partir d’un certain rang, on montre que $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 1.$

$\bullet$ Pour les fonctions : Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un voisinage de $a$ ( $a \in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\}$ ).

Pour montrer que $f \left( x \right) \underset{x \to a}{\sim} g \left( x \right),$ on montre qu’il existe une fonction $h$ définie sur un voisinage de $a$ de limite $1$ et telle que $f = g h.$

Lorsque la fonction $g$ ne s’annule pas sur un voisinage de $a,$ sauf éventuellement en $a$ si $a$ est fini, on montre que $\lim_{x \to a} \dfrac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = 1.$

Equivalents et limites : on fera attention de distinguer les résultats suivants :

$\bullet$ Si la suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers le réel non nul $L,$ alors $u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} L.$ Si la fonction $f$ admet une limite finie non nulle $L$ en $a,$ alors $f \left( x \right) \underset{x \to a}{\sim} L.$

$\bullet$ Si $u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n$ et si $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une limite $L$ (finie ou infinie), il en est de même de la suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}.$ Si $f \left( x \right) \underset{x \to a}{\sim} g \left( x \right)$ et si la fonction $g$ admet une limite finie ou infinie $L$ en $a,$ il en est de même de la fonction $f.$

$\bullet$ Il est utile de savoir que si $P \left( x \right) = \sum_{k=0}^n a_k x^k$ avec $a_n \neq 0,$ alors $P \left( x \right) \underset{x \to \pm \infty}{\sim} a_n x^n.$

$\bullet$ Les équivalents « passent » bien au produit, au quotient et à la puissance, c’est-à-dire que si $u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n$ et $x_n \underset{n \to +\infty}{\sim} y_n,$ alors $u_n \times x_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n \times y_n,$ $\dfrac{u_n}{x_n} \underset{n \to +\infty}{\sim} \dfrac{v_n}{y_n},$ lorsque $y_n \neq 0$ à partir d’un certain rang.

$\star$ Si pour tout $n \in \mathbb{N},$ on a $u_n > 0$ et $v_n > 0,$ alors pour tout $\beta \in \mathbb{R},$ $u_n^{\beta} \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n^{\beta}.$

$\star$ Si $\beta \in \mathbb{N},$ si $u_n \underset{n \to + \infty}{\sim} v_n,$ alors $u_n^{\beta} \underset{n \to + \infty}{\sim} v_n^{\beta}$ (pas d’hypothèse sur le signe de $u_n$ et $v_n$ ).

$\star$ Si $\beta \in \mathbb{Z} \backslash \mathbb{N},$ si $u_n \underset{n \to + \infty}{\sim} v_n$ et si $u_n$ ne s’annule pas à partir d’un certain rang (il en est donc de même pour $v_n$ ), alors $u_n^{\beta} \underset{n \to + \infty}{\sim} v_n^{\beta}.$

$\bullet$ Pour trouver un équivalent d’une somme de termes dont au moins l’un tend vers l’infini, mettre en facteur le terme qui tend le plus vite vers l’infini.

$\bullet$ Pour trouver un équivalent d’une somme de termes qui admettent tous $0$ pour limite, mettre en facteur le terme qui tend le moins vite vers $0.$

$\bullet$ C’est une erreur classique que de penser que l’on peut composer les équivalents par la fonction l’exponentielle : si $u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n,$ nous n’avons pas en général $e^{u_n} \underset{n \to +\infty}{\sim} e^{v_n}.$ Pour s’en convaincre, il suffit de prendre $u_n = n$ et $v_n = n + 1.$

$\bullet$ On retiendra aussi, qu’il est impossible de composer des équivalents par la fonction $\ln.$

Par exemple, $u_n = \dfrac{n}{n + 1}$ et $v_n =\dfrac{n^2}{n^2 + 1}$ sont strictement positifs, vérifient $u_n \underset{n \to + \infty}{\sim} v_n \underset{n \to + \infty}{\sim} 1.$

Pourtant, $\ln \left( u_n \right) \underset{n \to + \infty}{\sim} - \dfrac1n$ et $\ln \left( v_n \right) \underset{n \to + \infty}{\sim} - \dfrac{1}{n^2}.$ $\ln \left( u_n \right)$ n’est donc pas équivalent à $\ln \left( v_n \right).$

Quelques équivalents usuels à retenir :

Exemple : 1) Montrer la relation d’équivalence suivante :

$\sqrt{1 + 2x} - \sqrt{1 - 2x} \underset{x \to 0}{\sim} 2x,$

2) Trouver un équivalent de : $- \ln \left( x \right) + \ln^2 \left( x \right) + x^3$ en $+ \infty$ et en $0,$

Réponse :

1) Si l’on pose $f \left( x \right) = \sqrt{1 + 2x} - \sqrt{1 - 2x},$ $f$ est dérivable en $0$ et $f ' \left( 0 \right) = \dfrac{2}{2 \sqrt{1 + 2 \times 0}} + \dfrac{2}{2 \sqrt{1 - 2 \times 0}}$ $= 2,$ $\dfrac{f \left( x \right) }{x}$ $= \dfrac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right)}{x},$ donc $\lim_{x \to 0} \dfrac{f \left( x \right)}{x}$ $= 2$ soit $\sqrt{1 + 2x} - \sqrt{1 - 2 x} \underset{x \to 0}{\sim } 2x.$

2) En $+\infty$ :

L’expression est la somme de trois termes qui divergent vers l’infini. On met en facteur le terme qui tend le plus vite vers l’infini :

$x^3.$ On a

$- \ln \left( x \right) + \ln^2 \left( x \right) + x^3$

$= x^3 \left( 1 - \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} + \dfrac{\ln^2 \left( x \right)}{x^3} \right).$

En utilisant les croissances comparées,

$\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3}$

$= \lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln^2 \left( x \right)}{x^3}$

$= 0,$ donc

$\lim_{x \to + \infty} \left( 1 - \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} + \dfrac{\ln^2 \left( x \right)}{x^3} \right)$

$= 1,$ ce qui prouve que

$-\ln \left( x \right) + \ln^2 \left( x \right) + x^3 \underset{x \to + \infty}{\sim} x^3.$

En $0$ :

$- \ln \left( x \right) + \ln^2 \left( x \right) + x^3$ est une somme de termes qui tendent vers l’infini ou

$0,$ on met en facteur

$\ln^2 \left( x \right)$ qui est le terme qui tend le plus vite vers l’infini.

$- \ln \left( x \right) + \ln^2 \left( x \right) + x^3$

$= \ln^2 \left( x \right) \left( 1 - \dfrac{1}{\ln \left( x \right)} + \dfrac{x^3}{\ln^2 \left( x \right)} \right),$

comme

$\lim_{x \to 0} \left( 1 - \dfrac{1}{\ln \left( x \right)} + \dfrac{x^3}{\ln^2 \left( x \right)} \right) = 1,$ on a finalement

$- \ln \left( x \right) + \ln^2 \left( x \right) + x^3 \underset{x \to 0}{\sim} \ln^2 \left( x \right).$

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2. Formules de Taylor en prepa HEC ECG

Méthode 3 : Appliquer l’inégalité de Taylor-Lagrange.

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^{n + 1}$ sur un intervalle $I$ telle que $f^{\left( n + 1 \right)}$ soit bornée sur $I.$ Soient $a$ et $b$ deux points de $I,$ alors :

$\left| f \left( b \right) - \displaystyle\sum_{k= 0 }^n \dfrac{f^{\left( k \right)} \left( a \right) }{k!} \left( b - a \right)^k \right|$

$\le \dfrac{ \left| b - a \right|^{n + 1} }{\left( n + 1 \right)!} \sup_{t \in I} \left| f^{\left(n + 1 \right)} \left( t \right) \right|.$

Remarque : lorsque l’on ne suppose pas $f^{\left( n + 1 \right)}$ bornée sur $I,$ on peut quand même écrire : pour tout $a, b \in I,$

$\left| f \left( b \right) - \displaystyle\sum_{k= 0 }^n \dfrac{f^{\left( k \right)} \left( a \right) }{k!} \left( b - a \right)^k \right|$

$\le \dfrac{ \left| b - a \right|^{n + 1} }{\left( n + 1 \right)!} \sup_{t \in \left[ \min \left\{ a, b \right\} , \max \left\{ a , b \right\} \right]} \left| f^{\left(n + 1 \right)} \left( t \right) \right|.$

Cette formule servira dans les cas suivants :

$\bullet$ lorsque l’on doit montrer des inégalités faisant intervenir les dérivées successives d’une fonction,

$\bullet$ et dans les exercices plus théoriques faisant intervenir des dérivées successives en un même point (c’est vague, je sais…).

Exemple :Montrer que tout réel $x,$ on a

$e^x = \lim_{n \to +\infty} \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}.$

Réponse : Il suffit d’écrire l’inégalité de Taylor-Lagrange avec

$f=\exp, I= \mathbb{R}, b=x, a= 0,$

en remarquant que pour tout $k \in \mathbb{N},$ $f^{\left( k \right) } \left( 0 \right) = 1$ et $f^{\left( n + 1 \right) } \left( x \right) = e^x.$

Si $x \ge 0,$ $\sup_{t \in \left[ 0 , x \right]} \left| f^{\left( n + 1 \right)} \left( t \right) \right| = e^x$ et si $x \le 0,$ $\sup_{t \in \left[ x , 0 \right]} \left| f^{\left( n + 1 \right)} \left( t \right) \right| = e^0.$ Dans tous les cas, $\sup_{t \in \left[ \min \left\{ 0, x \right\} , \max \left\{ 0 , x \right\} \right]}$ $\le e^{\left| x \right|}.$ D’où :

$\left| f \left( x \right) - \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{\left( k \right)} \left( 0 \right) }{k!} x^k \right|$

$\le \dfrac{ \left| x^{n + 1} \right| }{\left( n + 1 \right)!} e^{\left| x \right|},$

soit

$\left| f \left( x \right) - \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k }{k!} \right|$

$\le \dfrac{ \left| x^{n + 1} \right| }{\left( n + 1 \right)!} e^{\left| x \right|}.$

Comme

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\left| x \right|^{n + 1}}{ \left( n + 1 \right)!} = 0$ (croissance comparée), on a par encadrement

$\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} =e^x.$

Méthode 4 : Appliquer l’égalité de Taylor avec reste intégral.

On la rappelle ci-après : soit

$f$ une fonction de classe

$C^{n + 1}$ sur un intervalle

$I$ à valeurs dans

$\mathbb{R},$ alors pour tout

$a, b \in I,$ on a :

$f \left( b \right)$

$= \displaystyle\sum_{k= 0}^n \dfrac{f^{\left( k \right)} \left( a \right) }{k!} \left( b - a \right)^k$

$+ \int_a^b f^{\left( n + 1 \right)} \left( t \right) \dfrac{ \left( b - t \right)^n }{n!} dt.$

Soyons clair, cette formule sert assez rarement… Ce n’est pas une raison pour ne pas la connaître !

Exemple : Montrer que pour tout réel

$x \ge 0,$ on a

$0 \le e^x - 1 -x \le \dfrac{x^2}{2} e^x.$

Réponse : On applique la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction

$f =\exp$ sur

$\left[ 0 , x \right]$ avec

$x \ge 0$ :

$f \left( x \right) - \displaystyle\sum_{k=0}^1 \dfrac{f^{ \left( k \right) } \left( 0 \right)}{k!} x^k$

$= \int_0^x f^{\left( 2 \right)} \left( t \right) \dfrac{ \left( x - t \right)^1 }{1!} dt,$

soit

$e^x - 1 - x = \int_0^x e^t \left( x - t \right) dt.$

Comme pour tout

$t \in \left[ 0 , x \right],$ on a

$0 \le e^t \left( x - t \right) \le e^x \left( x - t \right),$ par croissance de l’intégrale

$0 \le \int_0^x e^t \left( x - t \right) dt \le \int_0^x e^x \left( x - t \right) dt.$

Un simple calcul donne

$\int_0^x e^x \left( x - t \right) dt = e^x \dfrac{x^2}{2},$ cela donne l’inégalité demandée.

Méthode 5 : Appliquer la formule de Taylor-Young.

Nous rappelons la formule de Taylor-Young ci-dessous :

Soient

$f$ une fonction de classe

$C^n$ sur un intervalle

$I$ et

$a \in I$

$f \left( x \right) \underset{x \to a}{=} \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{\left( k \right)} \left( a \right)}{k!} \left( x - a \right)^k + o \left( \left( x - a \right)^n \right).$

Nous rappelons que cette relation signifie uniquement

$\lim_{x \to a} \dfrac{f \left( x \right) - \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{\left( k \right)} \left( a \right) }{k!} \left( x - a \right)^k }{\left( x - a \right)^n} = 0.$

La formule de Taylor-Young sert :

$\bullet$ à écrire des développements limités, nous vous renvoyons à la méthode relative aux développements limités,

$\bullet$ à déterminer des limites.

Exemple : Soit

$f$ une fonction de classe

$C^2$ définie sur

$\mathbb{R}.$ Pour

$a \in \mathbb{R},$ calculer

$\lim_{h \to 0} \dfrac{f \left( a + h \right) + f \left( a - h \right) - 2 f \left( a \right)}{h^2}.$

Réponse :

On écrit la formule de Taylor-Young à l’ordre

$2$ entre

$a + h$ et

$a,$ on a :

$f \left( a + h \right)$

$\underset{h \to 0}{=} f \left( a \right) + f' \left( a \right) h + \dfrac{f'' \left( a \right)}{2} h^2 + o \left( h^2 \right).$

En remplaçant

$h$ par

$-h,$ cela donne :

$f \left( a - h \right)$

$\underset{h \to 0}{=} f \left( a \right) + f' \left( a \right) \left( -h \right) + \dfrac{f'' \left( a \right)}{2} \left( -h \right)^2 + o \left( h^2 \right).$

On somme les deux lignes pour obtenir :

$f \left( a + h \right) + f \left( a - h \right)$

$\underset{h \to 0}{=} 2 f \left( a \right) + f'' \left( a \right) h^2 + o \left( h^2 \right).$
Puis,

$\dfrac{f \left( a + h \right) + f \left( a - h \right) - 2 f \left( a \right)}{h^2}$

$\underset{h \to 0}{=} f'' \left( a \right) + o \left( 1 \right).$

Donc

$\lim_{h \to 0 } \dfrac{f \left( a + h \right) + f \left( a - h \right) - 2 f \left( a \right)}{h^2}$

$= f'' \left( a \right).$

Remarque : Et maintenant la question que vous vous posez, quelle formule de Taylor choisir ? $\bullet$ Vous cherchez une propriété valable au voisinage d’un point $a$ (ce que l’on appelle une propriété locale) : pensez à la formule de Taylor-Young.

$\bullet$ Vous cherchez une propriété valable sur tout un intervalle (ce que l’on appelle une propriété globale) :

$\star$ elle contient une valeur absolue ; pensez inégalité de Taylor-Lagrange,

$\star$ il n’y a pas de valeur absolue : vous avez la malchance de devoir vous souvenir de la formule de Taylor avec reste intégral, mais rassurez-vous, la situation est rare.

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3. Développements limités en prepa ECG

Méthode 6 : Savoir faire un développement limité.

On donne ci-dessous la liste des développements limités usuels au voisinage de $0.$ Il faut absolument la connaître sur le bout des doigts.

On rappelle que ces développements limités sont une conséquence de la formule de Taylor-Young : si $f$ est une fonction de classe $C^n$ au voisinage d’un point $a,$ alors $f$ admet un développement limité à l’ordre $n$ en $a$ et :

$f \left( x \right)$ $\underset{x \to a}{=} f \left( a \right)+ f' \left( a \right) \left( x - a \right)$ $+ \cdots + \dfrac{f^{\left( n \right)} \left( a \right) }{n!} \left( x - a \right)^n + o \left( \left( x - a \right)^n \right).$

Les développements limités servent principalement à :

$\bullet$ calculer des limites (lorsqu’il y a des formes indéterminées),

$\bullet$ faire l’étude de fonction au voisinage d’un point (continuité, dérivabilité, signe, etc.),

$\bullet$ trouver un équivalent simple dans le cas d’une somme de fonctions. On retiendra que c’est le premier terme non nul du développement limité.

Remarque : $\bullet$ le choix de l’ordre d’un développement limité pour lever une forme indéterminée est crucial : il doit être assez élevé pour lever l’indétermination mais pas trop pour éviter de faire trop de calculs,

$\bullet$ lorsque l’on demande un développement limité en $a \neq 0,$ la méthode la plus simple est de faire le changement de variable $x = a + h$ avec $h \to 0$ quand $x \to a$ et de faire un développement limité en $0$ en fonction des puissances de $h$ puis d’exprimer le résultat en fonction des puissances de $x - a$ sans les développer.

Exemple : Calculer les développements limités à l’ordre et au point indiqué pour les fonctions suivantes :

1) $x \mapsto \dfrac{\sin \left( x^2 \right)}{x^2}$ en $0$ à l’ordre $4,$

2) $x \mapsto \sin \left( 2x \right)$ en $\dfrac{\pi}{2}$ à l’ordre $4,$

Réponse : 1) Sachant que l’on doit diviser le développement de $\sin \left( x^2 \right)$ par $x^2,$ pour obtenir le développement limité à l’ordre $4,$ il faut écrire celui de $\sin \left( x^2 \right)$ à l’ordre $6$ donc celui de $\sin \left( u \right)$ à l’ordre $3.$

Le développement limité de $\sin$ en $0$ à l’ordre $3$ donne :

$\sin \left( x \right) \underset{x \to 0}{=} x - \dfrac{x^3}{6} + o \left( x ^3 \right).$

En remplaçant

$x$ par

$x^2$ et en divisant par

$x^2,$ on a

$\dfrac{\sin \left( x^2 \right)}{x^2} \underset{x \to 0}{=} 1- \dfrac{x^4}{6} + o \left( x^4 \right).$

2) Le développement limité demandé n’est pas au voisinage de $0.$ On pose $x = \dfrac{\pi}{2} + h$ de sorte que lorsque $x \to \dfrac{\pi}{2},$ $h \to 0.$ On a :

$\sin \left( 2 x \right)$

$= \sin \left( 2 \left( \dfrac{\pi}{2} + h \right) \right)$

$= \sin \left( \pi + 2h \right)$

$= - \sin \left( 2 h \right)$ .

$- \sin \left( 2h \right) \underset{h \to 0}{=} - \left( 2h \right) + \dfrac{\left(2h \right)^3}{6} + o \left( h^4 \right),$

puis en remplaçant $h$ par $x - \dfrac{\pi}{2},$ on a :

$\sin \left( 2 x \right)$

$\underset{x \to \dfrac{\pi}{2}}{=} - 2 \left( x - \dfrac{\pi}{2} \right) + \dfrac43 \left( x - \dfrac{\pi}{2} \right)^3$

$+ o \left( \left( x - \dfrac{\pi}{2} \right)^4 \right).$
évidemment, on ne développe pas !D’autres chapitres au programme de maths en ECG1 peuvent également être travaillés grâce à nos cours en ligne :

Cours : Formules de Taylor et développements limités en ECG 1

1. Savoir utiliser les relations de comparaison en prepa HEC ECG

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3. Développements limités en prepa ECG

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