Exercices : Variables aléatoires finies en ECG1

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Exercices – Variables aléatoires finies

Exercice 1 :

On réalise une suite de lancers d’une pièce équilibré, chaque lancer amenant donc « Pile » ou « Face » avec une probabilité égale à $\dfrac12.$ On note $P_k$ (respectivement $F_k$ ) l’événement : « on obtient « Pile » (respectivement « Face ») au $k$ -ième lancer ».

Pour ne pas surcharger l’écriture, on écrira, par exemple, $P_1 F_2$ à la place de $P_1 \cap F_2.$

On note $X$ la variable aléatoire qui prend la valeur $k$ ( $k$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$ ) si l’on obtient pour la première fois « Pile » puis « Face » dans cet ordre aux rangs $k- 1$ et $k,$ $X$ prenant la valeur $0$ si l’on obtient jamais une telle succession.

1) Calculer $\mathbb{P} \left( X =2 \right).$

2) a) En remarquant que $\left( X = 3 \right) = P_1 P_2 F_3 \cup F_1 P_2 F_3,$ calculer $\mathbb{P} \left( X = 3 \right).$

b) Sur le modèle de la question précédente, écrire, pour tout entier $k \ge 3,$ l’événement $\left( X= k \right)$ comme réunion de $k - 1$ événements incompatibles.

c) Déterminer $\mathbb{P} \left( X = k \right)$ pour $k \ge 2.$

d) Calculer $\mathbb{P} \left( X = 0 \right).$

3) On se propose, dans cette question, de retrouver le résultat de la question 2) c), par une autre méthode.

a) Soit $k \ge 3.$ Montrer que si le premier lancer est « Pile », alors il faut que $P_2 P_3 \cdots P_{k - 1} F_k$ se réalise pour que $\left( X = k \right)$ se réalise.

b) En déduire, en utilisant la formule des probabilités totales, que pour tout $k \ge 3,$

$\mathbb{P} \left( X = k \right)$ $= \dfrac12 \mathbb{P} \left( X = k - 1 \right) + \dfrac{1}{2^k}.$

c) On pose, pour $k \ge 2,$ $u_k = 2^k \mathbb{P} \left( X= k \right).$ Montrer que la suite $\left( u_k \right)_{k \ge 2}$ est arithmétique. Retrouver le résultat annoncé.

4) Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.

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