Exercices : Variables aléatoires discrètes en EGS1

Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Exercices – Variables aléatoires discrètes

Exercice :

Un couple de deux personnes $A$ et $B$ sont assises dans un même rang des gradins d’un stade. Ces personnes ne sont pas assises à côté et sont séparées par $n$ individus $I_1 , \cdots , I_n.$ Avant de s’asseoir, $B$ a demandé $A$ en mariage mais, sous l’effet de surprise, $A$ n’a pas pu lui répondre sur le coup. Une fois assis et les idées claires, $A$ donne sa réponse à l’individu $I_1$ (sous la forme de « oui » ou « non »). Dès lors $I_1$ transmet la réponse à $I_2$ qui la transmet à $I_3$ et ainsi de suite jusqu’à $I_n,$ qui délivre la réponse à $B.$ Malheureusement les individus $I_1, \cdots, I_n$ font des polissonneries (!) : chacun d’entre eux transmet la réponse entendue avec une probabilité $p \in \left] 0 , 1 \right[$ et le contraire avec une probabilité $q= 1 - p.$ Les réponses des individus sont indépendantes.

1) On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de transmissions de messages contraires transmis par $I_1, \cdots , I_n$ (par exemple $\left( X = 1 \right)$ signifie qu’un seul individu a transmis la réponse contraire à celle entendue). Justifier que $X$ est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2) On considère les événements $E$ : « $X$ est pair » et $F$ : « $X$ est impair ».

a) Justifier que $\mathbb{P} \left( E \right) + \mathbb{P} \left( F \right)= 1.$

b) Montrer que $\displaystyle\sum_{k=0}^n \left( - 1 \right)^k \binom{n}{k} q^k p^{n - k}$ $= \mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right).$

c) En déduire que $\mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right)$ $= \left( 1 - 2 q \right)^n$ puis que $\mathbb{P} \left( E \right)$ $= \dfrac{1+ \left( 1 - 2 q \right)^n}{2}.$

3) Quelle est la probabilité $p_n$ que la réponse de $A$ soit transmise à $B$ ?

4) Montrer que la suite $\left( p_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge et déterminer sa limite quand $n$ tend vers $+\infty.$

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