Corrigés : Variables aléatoires discrètes en ECG1

Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Corrigés – Variables aléatoires discrètes

Exercice :

1) $X$ suit une loi binomiale $\mathcal B \left( n , q \right).$ En effet, $X$ compte le nombre de transmissions de messages contraires qui est une répétition de $n$ d’épreuves indépendantes ayant $2$ issues possibles : le message transmis est le contraire du message précédent avec une probabilité $q$ et coïncide avec le message reçu avec une probabilité $p.$

2) a) Comme la variable aléatoire $X$ est à valeurs entières, si $\omega \in \Omega,$ $X \left( \omega \right)$ est un entier naturel pair ou impair donc, on a $E = \overline{F}.$ Ainsi

$\mathbb{P} \left( E \right) + \mathbb{P} \left( F \right)$

$= \mathbb{P} \left( E \right) + \mathbb{P} \left( \overline{E} \right)$

$= 1.$

b) On a

$\mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right)$ $= \mathbb{P} \left( \displaystyle\bigcup_{k=0 \atop k \, \text{pair}}^n \left( X = k \right) \right)$ $- \mathbb{P} \left( \displaystyle\bigcup_{k=0 \atop k \, \text{impair}}^n \left( X = k \right) \right).$

Les événements sont deux à deux incompatibles, on récupère

$\mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right)$

$=\displaystyle\sum_{k=0 \atop k \, \text{pair}}^n \mathbb{P} \left( X = k \right) - \displaystyle\sum_{k=0 \atop k \, \text{impair}}^n \mathbb{P} \left( X = k \right).$
Cela donne les calculs suivants :

$\mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right)$

$= \displaystyle\sum_{k \in [\![ 0, n ]\!] \atop k \; \text{pair}} \binom{n}{k} q^{k} p^{n - k}$

$- \displaystyle\sum_{k \in [\![ 0, n ]\!] \atop k \; \text{impair}} \binom{n}{k} q^k p^{n - k}$

$= \displaystyle\sum_{0 \le 2k \le n } \binom{n}{2k} q^{2k} p^{n - 2k}$

$- \displaystyle\sum_{0 \le 2k + 1 \le n } \binom{n}{2k + 1} q^{2k + 1} p^{n - \left( 2k + 1 \right)}$

$= \displaystyle\sum_{0 \le 2k \le n } \binom{n}{2k} \left( - 1 \right)^{2k} q^{2k} p^{n - 2k} + \displaystyle\sum_{0 \le 2k + 1 \le n } \binom{n}{2k + 1} \left( - 1 \right)^{2 k + 1} q^{2k + 1}$

$\times p^{n - \left( 2k + 1 \right)}$

$= \displaystyle\sum_{0 \le 2k \le n } \binom{n}{2k} \left( - q \right)^{2k} p^{n - 2k}$

$+ \displaystyle\sum_{0 \le 2k + 1 \le n } \binom{n}{2k + 1} \left( - q \right)^{2 k + 1} p^{n - \left( 2k + 1 \right)}$

$= \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left( - q \right)^k p^{n - k }$

c) On reconnaît la formule du binôme de Newton dans cette dernière expression, ainsi $\mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right)$ $= \left( - q + p \right)^n.$ Or $p= 1 - q$ donc

$\mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right)$

$= \left( 1 - 2 q \right)^n.$
Pour calculer

$\mathbb{P} \left( E \right),$ il faut remarquer que l’on a établi le système d’équations suivant portant sur

$\mathbb{P} \left( E \right)$ et

$\mathbb{P} \left( F \right)$ :

$\begin{cases} \mathbb{P} \left( E \right) + \mathbb{P} \left( F \right) & = 1 \\ \mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right) & = \left( 1 - 2 q \right)^n \end{cases}.$

La résolution de ce système donne $\mathbb{P} \left( E \right)$ $= \dfrac{1 + \left( 1 - 2 q \right)^n}{2}.$

3) Soit

$G$ l’événement : « la réponse de

$A$ est transmise à

$B$ « . Remarquons que

$G = E.$ Pour s’en convaincre, on remarque qu’un nombre impair de messages transmis de façon erronée fournit à la fin un message erroné, alors qu’un nombre pair de messages erronés rétablit la vérité en fin de transmission.