Exercices : Variables aléatoires à densité en ECG1

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Cours en ligne de Maths en ECG1

Exercices – Variables aléatoires à densité

Exercice :

On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale centrée réduite (d’espérance nulle et de variance $1$ ) et on note $\phi$ la fonction de répartition de $X.$

On pose $Y = \left| X \right|$ et on admet que $Y$ est une variable aléatoire. On note $F_Y$ la fonction de répartition de $Y.$

1) a) Exprimer, pour tout $x > 0,$ $F_Y \left( x \right)$ à l’aide de $\phi \left( x \right).$

b) En déduire que $Y$ est une variable aléatoire à densité et donner une densité $f_Y$ de $Y.$

c) Montrer que $Y$ possède une espérance et la calculer.

d) Montrer que $Y$ possède une variance et la calculer.

2) On considère la fonction définie par :

$g \left( x \right) = \begin{cases} \dfrac{ e^{- x} }{\sqrt{\pi x}} & \text{si} \; x> 0 \\ 0 & \text{si} \; x \le 0 \end{cases}.$

a) Vérifier, en justifiant que l’on peut utiliser le changement de variable $u =\sqrt{2t},$ que :

$\int_0^{+\infty} g \left( t \right) dt$ $= \sqrt{ \dfrac{2}{\pi} } \int_0^{+\infty} e^{- \dfrac{u^2}{2} } du .$

b) En déduire que $g$ est une densité.

3) Dans cette question, $Z$ est une variable aléatoire de densité $g$ de fonction de répartition $G.$

a) On note $T=\sqrt{2 Z}$ et on admet que $T$ est une variable à densité. Exprimer la fonction de répartition $F_T$ de $T$ en fonction de $G$ puis en déduire une densité $f_T$ de $T$ et vérifier que $T$ suit la même loi que $Y.$